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1、4 积分方程的近似解法 对Fr方程的线性代数方程组的逼近法 Fr方程 （1）可按形式 （2）来逼近，其中xk(k=1,2,n)是区间a,b上n个适当选定的求积节点，常数k是对应的求积系数。如果要求在每点xk(k=1,2,n)处，（2）式两边相等，则得到关于n个未知函数y(x1),y(x2),y(xn)的n个线性方程： （3）式中y(xi)(i=1,2,n)为未知函数y(x)分别在n个点xi(i=1,2,n)处指定的近似值。若令（3）可改写为 (i=1,2,n)写成矩阵形式为y=F+KWy或 Ay=F （4）式中A=I-KW,I为n阶单位矩阵，K=（Kij），W为对角线矩阵W=1,2,n,y=(

2、y1,y2,yn),F=(F1,F2,Fn) 例 解第二类Fr方程解 1 在这个特例中，积分方程可化为具端点条件y(0)=0,y(1)=1的微分方程其精确解为 2 用逼近法来求近似解。取n=5个等距节点：可以算出矩阵K 为如果采用梯形法求积，那么求积系数的对角线矩阵W为W= 由于=1，则而 解线性方程组，计算到小数点后四位得到y1=0, y2=0.2943, y3=0.5702, y4=0.8104, y5=1与精确解y(x)在点x=0,和1的值y1=0, y2=0.2940, y3=0.5697, y4=0.8100, y5=1进行比较，可以看到误差程度。上述方法显然可以用来求第一类Fr方程

3、的近似解，以及处理特征值的问题。应当指出，当核K(x,)不是以分析表达式给定，而由实验数据确定时，上述方法特别有用。待定系数逼近法 为了求积分方程 （1）的解，可适当选择n个函数，用它们的线性组合来逼近 其中n个系数ak（k=n）可以这样决定：使这个线性组合尽可能近似地满足（1），即 （axb）令上式变成 （axb） （2）待定系数a1,a2,an可由n个条件决定，方法如下： 1 配置法 令 （axb） （3）为决定这n个常数a1,a2,an，在区间a,b上适当选择ax1x2xnb(xi称为配置点)，使 （i=1,2,n）其矩阵形式为 =F (4)式中=(ij)=(j(xi),F=(F(x1)

4、,F(x2),F(xn)为已知量， =（1,2,n线性方程组（4）便得到所求的系数1,2,n。2 权函数法 设1(x),2(x),n(x)为区间a,b上n个线性无关的函数（称为权函数）。为决定系数1,2,n，可以要求（3）式两边之差与这n个权函数正交，即使得 (i=1,2,n)其矩阵形式为 A=b (5)式中 为已知量， =（1,2,n为未知量。解线性方程组（5）便得到所求的系数1,2,n。通常选取权函数i(x)与近似函数i(x)恒等比较方便，一般都取为1,x,x2,xn1核的逼近法 1指出Fr方程的核可用x和的一个多项式或一个更一般形式的可分离核来逼近，并用那里的方法来解所得的近似方程。例 积分方程 (1)中的核可用多项式A1+A2x+A3x2或更适当的形式x(1-x)(B1+B2x+B3x2)来逼近，其中A,B为包含的参数，采用权函数或配置点可决定A与B。 首先取一个粗糙的逼近形式它在端点x=0和x=1是精确的，为决定系数B，可要求在0,1上核的积分等于它的近似表达式的积分，即直接计算得B=1-)并把对应的近似核代入(1)导出近似积分方程 (2)令(2)式化为 y(x)=x+3cx(1-x) (3)为了决定c