山西省长治市第十九中学高三数学文期末试题含解析

1、山西省长治市第十九中学高三数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数，若 ,则的值为（ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2参考答案：B2. 已知函数，则直线的斜率为（ ）A1 B C D1参考答案：A略3. 已知，且，若，则（ ）A BC D参考答案：B试题分析：由题意得，因为，则或，当时，所以；当时，所以，故选B.考点：对数的性质；不等式的性质.4. 如图是某光纤电缆的截面图，其构成为七个大小相同的小圆外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，恰好在小圆内的概率为A. B. C. D.参

2、考答案：A5. 已知函数（为自然对数的底数）在(0,+)上有两个零点，则m的范围是（ ）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】利用参数分离法进行转化，设（且），构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可【详解】解：由得，当时，方程不成立，即，则，设（且），则，且，由得，当时，函数为增函数，当且时，函数为减函数，则当时函数取得极小值，极小值为，当时，且单调递减，作出函数的图象如图：要使有两个不同的根，则即可，即实数的取值范围是.方法2：由得，设，当时，则为增函数，设与，相切时的切点为，切线斜率，则切线方程为，当切线过时，即，即，得或（舍），则切线斜率，要使与在

3、上有两个不同的交点，则，即实数的取值范围是.故选：D【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键6. 已知实数满足不等式组，则的最大值为（ ）A.3 B.4 C.6 D.9参考答案：C【知识点】简单的线性规划问题作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数z=2x+y可得y=-2x+z，平移直线y=-2x可知，当直线经过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得z=2x+y的最大值为6 【思路点拨】作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得7. 已知函数f（x）=x（

4、1+a|x|）（aR），则在同一个坐标系下函数f（x+a）与f（x）的图象不可能的是（）ABCD参考答案：D【考点】函数的图象【分析】去绝对值化简f（x）解析式，对a进行讨论，根据二次函数的性质判断f（x）的单调性，再根据函数平移规律得出两函数图象【解答】解：f（x）=x（1+a|x|）=x+ax|x|=，（1）若a0，则当x0时，对称轴为x=0，开口向上，x0时，对称轴为x=0，开口向下，f（x）在（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递增，且f（0）=0，f（x+a）是由f（x）向左平移a的单位得到的，此时函数图象为B，（2）若a0，则当x0时，对称轴为x=0，开口向下，x0时，对称轴为x

5、=0，开口向上，f（x）在（0，+）上先减后增，在（，0）先减后增，且f（0）=0，f（x+a）是由f（x）向右平移|a|的单位得到的，此时函数图象为A或C，故选D8. 已知抛物线，过点的直线与相交于两点，为坐标原点，若，则的取值范围是 （ ）A(,0) B(0,1) C. (1,+ ) D 1参考答案：B9. 已知是函数的图象与轴的两个不同交点，其图象的顶点为，则面积的最小值是（）A B C D参考答案：A略10. 若，则A B. C. D. 参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知且，则的值等于_.参考答案：9【分析】由已知展开倍角公式求得，再由两角和与差

6、的正切求解【详解】解：由，且，得，解得（舍，故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，是基础的计算题12. 若，则_.参考答案：略13. 设双曲线 的右焦点为，直线:x= 与两条渐近线交于两点，如果是等边三角形，则双曲线的离心率的值为-.参考答案：略14. 函数处取得极值，则的值为 参考答案：答案：015. 将4个半径都是的球体完全装入底面半径是的圆柱形桶中，则桶的最小高度是 .参考答案：16. 下图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点

7、A的坐标为，如图3图3中直线与x轴交于点，则m的象就是n，记作 下列说法:；是奇函数; 在定义域上单调函数; 的图象关于点对称 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）参考答案：17. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为参考答案：【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2b2=4，代入“三斜求积”公式即可计算得解【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA，可

8、得：ac=4，由于（a+c）2=12+b2，可得：a2+c2b2=4，可得：=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且=（）求角A的大小；（）若，求角C的取值范围参考答案：考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：（I）由已知可得2cosB=，求得sin2A=1，可得A的值（II）由B+C=，且 =+tanC，求得tanC1，从而得到C的范围解答：解：（I）由已知 =，可得2cosB=而ABC为斜三角

9、形，cosB0，sin2A=1A（0，），2A=，A=（II）B+C=，且 =+tanC，即tanC1，C点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的正弦公式、诱导公式，属于基础题19. （本小题满分12分）学生的数学学习水平按成绩可分成8个等级，等级系数X依次为1，2，8，其中为标准A，为标准B.已知甲学校执行标准A考评学生，学生平均用于数学的学习时间为3.5小时/天；乙学校执行标准B考评学生，学生平均用于数学的学习时间为2.5小时/天.假定甲、乙两学校都符合相应的执行标准.（）已知甲学校学生的数学学习水平的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数

10、学期望EX1=6，求a、b的值；（）为分析乙学校学生的数学学习水平的等级系数X2，从该校随机选取了30名学生，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；（）在（）、（）的条件下，哪个学校的数学学习效率更高？说明理由.(注：) 参考答案：=20. .定义函数，为型函数，共中（1）若是型函数，求函数的值域；（2）若是型函数，求函极值点个数；（3）若是型函数，在上有三点A、B、C横坐标分別为、，其中，试判断直线AB

11、的斜率与直线BC的斜率的大小并说明理由参考答案：（1）；（2）1个；（3）见解析.【分析】（1）先对函数求导求出其单调性，结合端点值求出值域；（2）先求导令导数等于0，求极值点个数只需判断导数零点的个数，化简整理后得，将导数零点转化为两个函数的交点问题，利用图像观察求出交点个数；（3）先求导再进行二阶求导，利用二阶导数研究一阶导数的单调性与范围，再得出原函数的单调性，因为二阶导数小于0，所以函数是三凸的单调递减函数，结合函数图像很容易得出两直线斜率的关系.【详解】解：（1）因为，所以当时，单调递增当时，单调递减又因为，所以函数的值域为（2）因为，所以，当时，结合函数图像易知与在上有且只有一个交

12、点当，时，当时，当时，且当时，当 时，函数单调递增当 时，函数单调递减所以函数只有一个极大值点，极值点个数为1个（3）因为，所以所以所以在上单调递减，且，所以构造函数则记,则当时，单调递增当时，单调递减又因为，所以，所以所以在和上单调递减因为所以所以所以直线AB的斜率大于直线BC的斜率【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值、极值，遇到一阶导数等于0不好解时，常继续进行二阶求导，在解题的过程中多结合函数简图可以更加形象直观.21. 某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下表：每分钟跳绳个数145,155)155,165)165,175)175,185)185,+

13、)得分1617181920年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期

14、望与方差.附：若随机变量X服从正态分布，则，.参考答案：（1）；（2）（i）1683；（ii）.【分析】（1）根据频率分布直方图得到16分，17分，18分的人数，再根据古典概率的计算公式求解。（2）根据离散型随机变量的分布列和数学期望与方差的公式进行求解。【详解】（1）设“两人得分之和小于35分”为事件，则事件包括以下四种情况：两人得分均为16分；两人中一人16分，一人17分；两人中一人16分，一人18分；两人均17分.由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，则由古典概型的概率计算公式可得.所以两人得分之和小于35的概率为.（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：（个）.又由，得标准差，所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.（i）因为，所以，故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为（人）.（ii）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为，所以，所有可能的取值为0，1，2，3.所以，故的分布列为：0123所以，.22.