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文档简介
1、山西省长治市第十九中学高三数学文期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 函数,若 ,则的值为( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2参考答案:B2. 已知函数,则直线的斜率为( )A1 B C D1参考答案:A略3. 已知,且,若,则( )A BC D参考答案:B试题分析:由题意得,因为,则或,当时,所以;当时,所以,故选B.考点:对数的性质;不等式的性质.4. 如图是某光纤电缆的截面图,其构成为七个大小相同的小圆外切,且外侧六个小圆与大圆内切,现从大圆内任取一点,恰好在小圆内的概率为A. B. C. D.参
2、考答案:A5. 已知函数(为自然对数的底数)在(0,+)上有两个零点,则m的范围是( )A. B. C. D. 参考答案:D【分析】利用参数分离法进行转化,设(且),构造函数,求函数的导数,研究函数的单调性和极值,利用数形结合进行求解即可【详解】解:由得,当时,方程不成立,即,则,设(且),则,且,由得,当时,函数为增函数,当且时,函数为减函数,则当时函数取得极小值,极小值为,当时,且单调递减,作出函数的图象如图:要使有两个不同的根,则即可,即实数的取值范围是.方法2:由得,设,当时,则为增函数,设与,相切时的切点为,切线斜率,则切线方程为,当切线过时,即,即,得或(舍),则切线斜率,要使与在
3、上有两个不同的交点,则,即实数的取值范围是.故选:D【点睛】本题主要考查函数极值的应用,利用数形结合以及参数分离法进行转化,求函数的导数研究函数的单调性极值,利用数形结合是解决本题的关键6. 已知实数满足不等式组,则的最大值为( )A.3 B.4 C.6 D.9参考答案:C【知识点】简单的线性规划问题作出不等式组所对应的可行域(如图阴影),变形目标函数z=2x+y可得y=-2x+z,平移直线y=-2x可知,当直线经过点A(3,0)时,z取最大值,代值计算可得z=2x+y的最大值为6 【思路点拨】作出可行域,平行直线可得直线过点A(3,0)时,z取最大值,代值计算可得7. 已知函数f(x)=x(
4、1+a|x|)(aR),则在同一个坐标系下函数f(x+a)与f(x)的图象不可能的是()ABCD参考答案:D【考点】函数的图象【分析】去绝对值化简f(x)解析式,对a进行讨论,根据二次函数的性质判断f(x)的单调性,再根据函数平移规律得出两函数图象【解答】解:f(x)=x(1+a|x|)=x+ax|x|=,(1)若a0,则当x0时,对称轴为x=0,开口向上,x0时,对称轴为x=0,开口向下,f(x)在(0,+)上单调递增,在(,0)上单调递增,且f(0)=0,f(x+a)是由f(x)向左平移a的单位得到的,此时函数图象为B,(2)若a0,则当x0时,对称轴为x=0,开口向下,x0时,对称轴为x
5、=0,开口向上,f(x)在(0,+)上先减后增,在(,0)先减后增,且f(0)=0,f(x+a)是由f(x)向右平移|a|的单位得到的,此时函数图象为A或C,故选D8. 已知抛物线,过点的直线与相交于两点,为坐标原点,若,则的取值范围是 ( )A(,0) B(0,1) C. (1,+ ) D 1参考答案:B9. 已知是函数的图象与轴的两个不同交点,其图象的顶点为,则面积的最小值是()A B C D参考答案:A略10. 若,则A B. C. D. 参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知且,则的值等于_.参考答案:9【分析】由已知展开倍角公式求得,再由两角和与差
6、的正切求解【详解】解:由,且,得,解得(舍,故答案为:【点睛】本题考查两角和与差的三角函数,是基础的计算题12. 若,则_.参考答案:略13. 设双曲线 的右焦点为,直线:x= 与两条渐近线交于两点,如果是等边三角形,则双曲线的离心率的值为-.参考答案:略14. 函数处取得极值,则的值为 参考答案:答案:015. 将4个半径都是的球体完全装入底面半径是的圆柱形桶中,则桶的最小高度是 .参考答案:16. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程:区间中的实数m对应数轴上的点M,如图1;将线段围成一个圆,使两端点A、B恰好重合,如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y轴上,点
7、A的坐标为,如图3图3中直线与x轴交于点,则m的象就是n,记作 下列说法:;是奇函数; 在定义域上单调函数; 的图象关于点对称 其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)参考答案:17. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为参考答案:【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值,可求a2+c2b2=4,代入“三斜求积”公式即可计算得解【解答】解:根据正弦定理:由a2sinC=4sinA,可
8、得:ac=4,由于(a+c)2=12+b2,可得:a2+c2b2=4,可得:=故答案为:【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在斜三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b,c,且=()求角A的大小;()若,求角C的取值范围参考答案:考点:正弦定理;余弦定理 专题:解三角形分析:(I)由已知可得2cosB=,求得sin2A=1,可得A的值(II)由B+C=,且 =+tanC,求得tanC1,从而得到C的范围解答:解:(I)由已知 =,可得2cosB=而ABC为斜三角
9、形,cosB0,sin2A=1A(0,),2A=,A=(II)B+C=,且 =+tanC,即tanC1,C点评:本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,两角和差的正弦公式、诱导公式,属于基础题19. (本小题满分12分)学生的数学学习水平按成绩可分成8个等级,等级系数X依次为1,2,8,其中为标准A,为标准B.已知甲学校执行标准A考评学生,学生平均用于数学的学习时间为3.5小时/天;乙学校执行标准B考评学生,学生平均用于数学的学习时间为2.5小时/天.假定甲、乙两学校都符合相应的执行标准.()已知甲学校学生的数学学习水平的等级系数X1的概率分布列如下所示:X15678P0.4ab0.1且X1的数
10、学期望EX1=6,求a、b的值;()为分析乙学校学生的数学学习水平的等级系数X2,从该校随机选取了30名学生,相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望;()在()、()的条件下,哪个学校的数学学习效率更高?说明理由.(注:) 参考答案:=20. .定义函数,为型函数,共中(1)若是型函数,求函数的值域;(2)若是型函数,求函极值点个数;(3)若是型函数,在上有三点A、B、C横坐标分別为、,其中,试判断直线AB
11、的斜率与直线BC的斜率的大小并说明理由参考答案:(1);(2)1个;(3)见解析.【分析】(1)先对函数求导求出其单调性,结合端点值求出值域;(2)先求导令导数等于0,求极值点个数只需判断导数零点的个数,化简整理后得,将导数零点转化为两个函数的交点问题,利用图像观察求出交点个数;(3)先求导再进行二阶求导,利用二阶导数研究一阶导数的单调性与范围,再得出原函数的单调性,因为二阶导数小于0,所以函数是三凸的单调递减函数,结合函数图像很容易得出两直线斜率的关系.【详解】解:(1)因为,所以当时,单调递增当时,单调递减又因为,所以函数的值域为(2)因为,所以,当时,结合函数图像易知与在上有且只有一个交
12、点当,时,当时,当时,且当时,当 时,函数单调递增当 时,函数单调递减所以函数只有一个极大值点,极值点个数为1个(3)因为,所以所以所以在上单调递减,且,所以构造函数则记,则当时,单调递增当时,单调递减又因为,所以,所以所以在和上单调递减因为所以所以所以直线AB的斜率大于直线BC的斜率【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值、极值,遇到一阶导数等于0不好解时,常继续进行二阶求导,在解题的过程中多结合函数简图可以更加形象直观.21. 某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:每分钟跳绳个数145,155)155,165)165,175)175,185)185,+
13、)得分1617181920年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.(1)现从样本的100名学生跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(用最简分数表示)(2)若该校高二年级共有2000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布,其中,为样本平均数的估计值(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:(i)估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);(ii)若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为,求随机变量的分布列和数学期
14、望与方差.附:若随机变量X服从正态分布,则,.参考答案:(1);(2)(i)1683;(ii).【分析】(1)根据频率分布直方图得到16分,17分,18分的人数,再根据古典概率的计算公式求解。(2)根据离散型随机变量的分布列和数学期望与方差的公式进行求解。【详解】(1)设“两人得分之和小于35分”为事件,则事件包括以下四种情况:两人得分均为16分;两人中一人16分,一人17分;两人中一人16分,一人18分;两人均17分.由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人,则由古典概型的概率计算公式可得.所以两人得分之和小于35的概率为.(2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为:(个).又由,得标准差,所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.(i)因为,所以,故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为(人).(ii)由正态分布可得,全年级任取一人,其每分钟跳绳个数在179以上的概率为,所以,所有可能的取值为0,1,2,3.所以,故的分布列为:0123所以,.22.
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