北师大版高中数学必修4同步学案第2章 平面向量基本定理

1、3.2平面向量基本定理学 习 目 标1.了解平面向量基本定理及其意(重 点2.能应用平面向量基本定理解决些实 际问题(难点)核 心 素 养1.通过学习平面向量基本定理提数学 抽象素养2.通过平面向量基本定理解决实问, 培养直观想象素.平面向量基本定理如果 e ,e (如图所)是同一平面内的两个不共线向,么对于这一平面内的任一向量 a,存唯一 一对实数 , ,使 a e e (如图所),中不共线的向量 e ,e 叫表示这一平面内有向量 的一组基底思考：若存在 , R, , R, e ,a e e ,那么 , , , 有关 系？提示 由知得 e e e 即 )e ( . e 与 e 不共, 0,

2、0, , . 1设 ,e 是一平面内两个不线的向以下各组向量中不能作为基底的( ) A ,e C 5e Be e 3e 3e D ,e e 答案 B 2设 为行四边形 的称中,AB4e ,BC6e 则 2e 3e 等( ) A.OAC.OCB.OBD.OD 1 1 B 如图OB DB (ABBC)2e 3e .2 23已知向量 a 与 b 是组基底实数 满足3x4y)a(2x3y)b6a3b,则 xy，3 由原式可，解得所以 xy3. 4已知向量 a 与 b 不线且Ba4b,BC3ab,则共线的三点为_ 1A,B,D BD BCCDa9b3ab 2a 8b,为 B a4b,所以AB 所以 A,

3、B,D 三点共2线对向量基底的理解【例 1】 设 O 是行四边形 ABCD 对角线的交点给下列向量组： AD与B；DA与BC；与C；ODOB,其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的( )ACBD B AD与B不共线；DABC,则A与C共线；CADC不共线；ODOB,则OD与B共线由平面向量基底的概念知,只有共线的两个向量才能构成一组基,故满足题意考查两个向量是否能构成基底,要看两向量是否非零且不共.此外一个平面的基底一旦确, 么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出.1e ,e 是平内一组基向, ae 2e e e 则向量 e e 可以表示为另一组基向量 ,b 的线性组合即 e

4、 e _a_b. 2 1 由题意设 e e manb.3 3因为 ae 2e ,be e , 2 3 1 3 2 3 1 3 所以 e e m(e 2e )n(e e (mn)e (2mn)e . 由平面向量基本定理得mn，2mn1， ，所以 用基底表示向量 1 1 【例 2】 设 MP 是 三上的它们BM BC,CN CA,AP3 3 a,ACb,试用 将N、NP、PM表示出来 解 如图,CM1 AB,若B 31 2 AC CB3 31 2 AC (ABAC)3 31 2 1 2 AC AB b a.3 3 3 3 1 2同理可NP a b.3 3 1 1PMMPNP) a b.3 3平面内

5、任何一个向量都可以用两个基底进行表转化时一定要看清转化的目,要充分利用向量 法、减法的三角形法则和平行四边形法,时结合实数与向量积的定,牢记转化方向把未知量逐步 往基底方向进行组合或分. 2.如图所示,梯形 ABCD 中ABCD, AB2CD,M,N 分是 DC 和 AB 的点若Ba,ADb,试用 a,b 表示C,BC,MN.解 如图所,连接 CN,则四形 是平行四边形 1 1则CAN AB ；2 2 1 1BCNCNBAD ABb a；2 2 1MNCNCM CD2 1 1AD ab.2 2 4平面向量基本定理应用探究问题1如果 e ,e 是个不共线的非零向则与 e ,e 在同一平面内的任一

6、向量 a,能否用 e ,e 表示依 据是什么？提示 能依据是平面向量基本定理2如果 ,e 是线向量那向量 能否 ,e 表？为什么？ 提示 不定当 a 与 e ,e 中一个非零向量共线时可以表,否则不能表示 3基底给定时向量分解形式唯吗？提示 向分解形式唯一【例 3】 如,在 中点 M BC 的,点 在 AC 上,且 与 BN 相于点 P,求 AP PM 与 BP 思路探究 以M与N为基底利平面向量基本定理求,解题时注意条件 A、P、M 和 B、N 分别 共线的应用 解 设 ,CNe 4 5 3 5 4 5 3 5 则MACCM e ,BNBCCN2e e . A,P,M 和 B,P,N 分共,

7、 存在实数 , 使得PAMe 3e BPBN e . 故ABPPAAP(2 (3)e 而ABCCA2e 3e 由面量基本定理 得 ，解得 4 3AP AM,BP BN,5 5APPM41,BPPN3 1变设问在例条件,若CMa,CNb,用 a,b 表CP.解 由本例解析知 BPPN2, 2则P NB,5 2 2 CPCNNPCN NBb (CBCN)5 54 2 3 4b a b b a.5 5 5 52变条件若例中的点 N 为 AC 的,其它条件不,求 APPM 与 BP 解 如图,设Me ,CNe , 则MACCM e ,BNBCCN2e e , A,P,M 和 B,P,N 分共, 存在实

8、数 , 使得PAMe 2e 2 3 2 3 2 3 2 3 BPBNe e . 故ABPPABPAP()e (2)e 而ABCCA2e 2e ,由面量基本定理 得 ，解得 2 2AP AM,BP BN,3 3APPMPN用向量解决平面几何问题的一般步骤的两个平面向量作基.量用基底向量表,将几何问题转化为向量问. 识进行向量运,出向量问题的.题的解转化为平面何问题的.1对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：一组基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两量不 共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共,故基中的向量不是零向量2准确理解

9、平面向量基本定理(1)平向量基本定理的实质是向量的分解 ,即平内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两 个向量和的形式且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转与化归的数学思想 ,用量解决几何问题时,我们可以选择适当一 组基底将题中涉及的向量向基底化使问题得以解.1判断正的打“”,错误打“”) (1)任意两个向量都可以作为基( ) (2)平面向量的基底不是唯一的( )(3)零向量不可作为基底中的向( )答案 (1) (2) (3)2下列关于基底的说法正确的( )平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定,该平内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的ACBDC 零向量与任意向量共线,故向量不能作为基底中的向故错正确3已向量 e ,e 不线 , 实数 x,y 满足 ( 3y)e (3x 4y)e ,则 x_,y _.15 12 向量 e 不共, ， ，解得x15，y12.1 14.如图所示,平行四边形