安徽省2021-2022学年高二数学上学期第一次月考试题

1、PAGE PAGE 14安徽省2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题满分150分 时间120分钟选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1若虚数满足，则 （）ABCD2如图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图根据统计图，下列对两户居民旅游支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是 （）A甲户比乙户大B乙户比甲户大C甲、乙两户一般大D无法确定哪一户大3已知m，n是两条直线，是两个平面，下列说法正确的是 （）A若mn，n，则mB若，m，则mC若m，n，则mnD若m，m，则4史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的

2、中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为 （）ABCD5如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知，则 （）ABCD6四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是 （）A平均数为3，中位数为2B中位数为3，众数为2C平均数为2，方差为2.4D中位数为3，方差为2.87已知向量，满足|1，|2，与的夹角为，向量是与同向的单位向量，则向量+在向量上的投影向量为 （）AB2CD28如图

3、，无人机在离地面高200m的A处，观测到山顶M处的仰角为15、山脚C处的俯角为45，已知MCN60，则山的高度MN为 （）A300mBmCmD275m将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象若为奇函数，则的最小值为（）ABCD10在中，下列说法错误的是（）A若，则B存在满足C若，则为钝角三角形D若，则11在棱长为2的正方体中，平面，则以平面截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以为顶点的锥体的外接球的表面积为（）ABCD12已知函数，若存在三个实数，使得成立，则的取值范围是（）ABCD填空题（共4小题，每小题5分，共20分

4、）13已知命题，.若为假命题，则的取值范围为_14对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为_15已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值是16在平行四边形中，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是三、解答题（共6小题，共70分）17已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、等.（1）判断上述三者的大小关系，并证明；（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明.18甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设甲面试合格的概率为，乙丙每人面试合格的概率都是

5、，且三人面试是否合格互不影响求：（1）恰有一人面试合格的概率；（2）至多一人签约的概率19已知向量，若函数的最小正周期为.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在有实数解，求实数的取值范围.20已知三棱柱，平面平面ABC，E，F分别是AC，的中点（1）证明：；（2）求直线EF与平面所成角的余弦值.21已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，.（1）求证：.（2）求的取值范围.22随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中的值及身高在170cm及以上的学生人数；（2）估计该校100名生学

6、身高的75%分位数.（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，证明：参考答案1.若虚数满足，则( )ABCD【答案】A【解析】设，则由，得，即，所以，解得，所以故选A2.如图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图根据统计图，下列对两户居民旅游支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（）A甲户比乙户大B乙户比甲户大C甲、乙两户一般大D无法确定哪一户大解：由饼状图，甲户的旅游支出占25%；由柱状图，乙户的旅游支出占25%故选：A3已知m，n是两条直线，是两个平面，下列说法正确的是（

7、）A若mn，n，则mB若，m，则mC若m，n，则mnD若m，m，则解：由m，n是两条直线，是两个平面，知：对于A，若mn，n，则m或m，故A错误；对于B，若，m，则m与相交、平行或m，故B错误；对于C，若m，n，则m与n平行或异面，故C错误；对于D，若m，m，则由面面垂直的判定定理得，故D正确故选：D4史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）ABCD解：田忌的上等马优于

8、齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，基本事件总数n339，分别为：田忌的上等马对阵齐王的上等马，田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的上等马，田忌的中等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的下等马对阵齐王的上等马，田忌的下等马对阵齐王的中等马，田忌的下等马对阵齐王的下等马，田忌的马获胜包含的基本事件有3种情况，分别为：田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的

9、中等马对阵齐王的下等马，则田忌的马获胜的概率为P故选：C5.如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知，则（）ABCD【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可解：2，+（）+，+，+故选：C6.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A平均数为3，中位数为2B中位数为3，众数为2C平均数为2，方差为2.4D中位数为3，方差为2.8解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时

10、，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2（62）23.22.4，平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：（1+2+3+3+6）3方差为S2（13）2+（23）2+（33）2+（33）2+（63）22.8，可以出现点数6，故D错误故选：C7.已知向量，满足|1，|2，与的夹角为，向量是与同向的单位向量，则向量+在向量上的投影向量为（）AB2CD2解：|1，|2，与的夹角为，|cos121，（+）+1+12，向量+在向量上的投影为2，向量+在向量上

11、的投影为2故选：B8.如图，无人机在离地面高200m的A处，观测到山顶M处的仰角为15、山脚C处的俯角为45，已知MCN60，则山的高度MN为（）A300mBmCmD275m解：RtABC中，ACB45，AB200，AC200；又ACM中，MAC15+4560，ACM180604575，AMC180756045，解得MC200；RtMNC中，MCN60，MNMCsin60200300，则山的高度MN为300m故选：A9.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象若为奇函数，则的最小值为ABCD【答案】D【解析】将函数的图象上各点

12、的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到，再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象由，即，因为是奇函数，所以，解得因为，所以当时，的最小值为故选D10.在中，下列说法错误的是（ ）A若，则B存在满足C若，则为钝角三角形D若，则【详解】解：对于A选项，若，则，则，即，故A选项正确；对于B选项，由，则，且，在上递减，于是，即，故B选项错误对于C选项，由，得，在上递减，此时：若，则，则，于是；若，则，则，于是，故C选项正确；对于D选项，由，则，则，在递增，于是， 即，同理，此时，所以D选项正确.故选：B11.在棱长为2的正方体中，平面，则以平面截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，

13、以为顶点的锥体的外接球的表面积为（ ）ABCD【详解】如图，由正方体的对称性，可知当截面为正六边形时，截面面积最大，此时正六边形的边长为，设交截面于，则为的中点，所以，设正六棱锥外接球的球心为，外接球半径为，当球心在棱锥内部时，有，解得，外接球面积为；若球心在棱锥外部时，有，解得（舍去）以为顶点的锥体的外接球的表面积为12.已知函数，若存在三个实数，使得成立，则的取值范围是( )ABCD【答案】B【分析】画出的图象,由可得,即,再由即可求解.【详解】由题,的图象如图所示,设,由,可得,则,又,解得,则故选:B13.已知命题，.若为假命题，则的取值范围为_【答案】【分析】首先写出命题的否命题，根

14、据为假命题即可得出为真命题即可求出的取值范围.【详解】为假命题 为真命题，故在 的最小值为 故答案为：14.对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为_.【详解】函数，其中若，由于，即，对于正数b，的定义域为:，但的值域，故，不合要求.若，对于正数b，的定义域为.由于此时，故函数的值域.由题意，有，由于，所以.15.已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值是 【答案】【解析】向量与的夹角为，且，若，且，则，则实数，故答案为：16.在平行四边形中，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 【答案】【解析】解：如图，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，同理可

15、证，在中，所以，取中点为，连接，由直角三角形的性质可知，又，即到，四点的距离相等，为三棱锥外接球的球心，球的体积，故答案为：17.已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、等.（1）判断上述三者的大小关系，并证明；（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明.【答案】（1）；证明见解析；（2），证明见解析.【分析】（1）作差法，判断差的符号，可得证；（2）由（1）和基本不等式可得，可得证.【详解】（1），证明如下：因为，又、是正数，所以，所以，当且仅当时，取等号，故；因为，当且仅当时，取等号，所以；故.（2）因为、是正数，所以，当仅且当，即时取等号.所以，所以，所以.18甲、乙、丙三人参

16、加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设甲面试合格的概率为，乙丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响求：（1）恰有一人面试合格的概率；（2）至多一人签约的概率【分析】（1）利用对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）事件E：至多一人签约，事件F：恰好一人签约，事件G：没人签约，然后由互斥事件的加法公式得到P（E）P（F）+P（G），再利用对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式分别求解P（F），P（G），即可得到答案解：（1）记事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格

17、事件C：丙面试合格事件D：恰好有一人面试合格，依题意，事件A、B、C相互独立，所以；（2）事件E：至多一人签约，事件F：恰好一人签约，事件G：没人签约，因为F与G互斥，所以P（E）P（F）+P（G），又，所以至多一人签约的概率为19已知向量，若函数的最小正周期为.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在有实数解，求实数的取值范围.【详解】（1）因为，所以.因为的最小正周期为，所以，即，所以.（2）由（1）可知.因为，所以.令，则，则方程可化为，即.因为，所以，所以.所以由题意可知，方程在时有解；令，当时，由得（舍）；当时，则可化为，令，设，则，因为，当且仅当时，取到最小值，当时，取到最大值8，所

18、以，所以，解得或.所以实数的取值范围是或.已知三棱柱，平面平面ABC，E，F分别是AC，的中点（1）证明：；（2）求直线EF与平面所成角的余弦值.【详解】证明：（1）连接，是的中点，又平面平面，平面，平面平面，平面，平面，.（2）取中点，连接，则是平行四边形，由于平面，故，平行四边形是矩形，由（1）得平面，则平面平面，在平面上的射影在直线上，连接，交于，则是直线与平面所成角(或其补角)，不妨设，则在中，是的中点，故，直线与平面所成角的余弦值为.21.已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，.（1）求证：.（2）求的取值范围.【详解】设，又，三点共线，则存在，使得，即即，整理得，即，两边同除以得，（2）由，利用三角形面积公式得：，则，可知，则当时，取得最小值，当时，取得最小值，又，故的取值范围为22.随机抽取100名学生，测得他们的