大学高等数学下考试题库(附答案)

1、一选择题（3 分 10）1.点M1 到点M 2 的距离 M1M 2 （ ）.A.3 B.4 C.5 D.62.向量a i 2j k,b 2i j ，则有（ ）.A. ab B.ab C.a,b D. 3a,b43.函数12 2y 2 x y 的定义域是（ ）.2 2x y 12 y 2 y2 2A. x,y 1 x 2 B. x,y1 x 22 y 2 y2 2C. x,y 1 x 2 D y 1 x 24.两个向量 a与b 垂直的充要条件是（ ）.A. a b 0 B.a b 0 C.a b 0 D.a b 03 35.函数 z x y 3xy的极小值是（ ）.A.2 B. 2 C.1 D.

2、 16.设z xsin y，则zy4（ ） .A.22B.22C. 2 D. 27.若 p级数n 11pn收敛，则（ ）.A. p 1 B. p 1 C. p 1 D. p 18.幂级数n 1nxn的收敛域为（ ）.A. B C. D. 9.幂级数nx0 2n在收敛域内的和函数是（ ）.1 2 2 1A. B. C. D.1 x 2 x 1 x 2x10.微分方程 yln y 0的通解为（ ）.A.xy ce B.xy e C.xy cxe D.ycxe二填空题（4 分 5）1.一平面过点 A 且垂直于直线 AB B 2, _.2.函数z sin xy 的全微分是_.3 y2 xy3 xy3.

3、设z x 3 1，则2xzy_.1的麦克劳林级数是 _. 4.2 x5.微分方程 y 4y 4y 0的通解为 _.三计算题（5 分 6）z z u sin ，而u xy,v x y，求 , .1.设z e vx yz z2 y z2 x z22.已知隐函数 z z x,y 由方程 x 2 4 2 5 0确定，求 , .x y2 23.计算 sin x y d ，其中D2 2 2 4 2D : x y .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R为半径） .5.求微分方程y2x3y e 在y 0条件下的特解 .x 0四应用题（10 分 2）1.要用铁板做一个体积为 23m 的有

4、盖长方体水箱， 问长、宽、高各取怎样的尺寸时， 才能使用料最省？2.曲线y f x 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的 2 倍，且曲线过点1 ， 3求此曲线方程试卷 1 参考答案一选择题 CBCAD ACCBD二填空题1.2x y 2z 6 0.2.cos xy ydx xdy .3.6x 9 1 .2y y 24.n 0n1n 12nx.5.y2xC C x e1 .2三计算题z xy z xy1. e ysin x y cos x y ， e xsin x y cos x y .x y2.zx2zx1,zy2zy1.3.202d sin d26 .4.1633R .5.y3

5、 .x e2xe四应用题1.长、宽、高均为 m3 2 时，用料最省 .1 22. y x .3高数试卷 2（下）一选择题（3 分 10）1.点M1 ，M2 2 的距离 M1M2 （ ） .A. 12 B. 13 C. 14 D. 152.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0，则两平面的夹角为（ ）.A. B. C. D.6 4 3 23.函数2 2z arcsinx y 的定义域为（ ）.2 y 2 y2 2A. x,y 0 x 1 B. x, y 0 x 1C.2 y2x,y 0 x D.2x,y0 x2 y224.点P 到平面 x 2y 2z 5 0的距离为（ ）.

6、A.3 B.4 C.5 D.65.函数2 22z 2xy 3x y 的极大值为（ ）.A.0 B.1 C. 1 D.126.设z2 3xy y 2z x ，则 1,2x（ ） .A.6 B.7 C.8 D.97.若几何级数nar 是收敛的，则（ ）.n 0A. r 1 B. r 1 C. r 1 D. r 18.幂级数nn 0n1x 的收敛域为（ ）.A. B. C. D. 9.级数sinna4n n1是（ ）.A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二填空题（4 分 5）x 3 t1.直线l过点 A 1 且与直线 y t 平行，则直线 l 的方程为 _.z 1 2t2.函数xyz

7、e 的全微分为 _.3.曲面2 42z 2x y 在点 4 处的切平面方程为 _. 14. 2 1 x的麦克劳林级数是 _.三计算题（5 分 6）1.设a i 2j k,b 2j 3k ，求a b.2.设z zz u ，而u xcosy,v xsin y，求 , .2v uv2x yz z3 xyz3.已知隐函数 z z x,y 由x 3 2确定，求 , .x y4.如图，求球面2 y2 z2 4a2 2 2x 与圆柱面 x y （a 0）所围的几何体的体积 .四应用题（10 分 2）1.试用二重积分计算由 y x,y 2 x 和x 4所围图形的面积 .试卷 2 参考答案一选择题 CBABA

8、CCDBA.二填空题1.x2 y 2 z1 1 21.xy2.e ydx xdy.3.8x 8y z 4.4.1n x .2nn 05.3y x .三计算题1.8i 3j 2k.z 2 z 3 3 3 32. 3x sinycosy cosy siny , 2x sin ycosy siny cosy x sin y cos y .x y3.zxxyyz2 ,zzyxyxz2z.4.32 3 2 a .3 2 3四应用题1.163.高等数学试卷 3（下）一、选择题（本题共 10小题，每题 3 分，共 30 分）1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A、10 B、20 C、24 D、222

9、、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ）A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、点P（-1、-2、）到平面 x+2y-2z-5=0 的距离为（ ）A、2 B、3 C、4 D、54、函数 z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（ ）4 2A、 , 222, 2B、 , 222C、2222D、2222,5、设x 2+y+z2=2Rx，则2+y+z2=2Rx，则zxz, 分别为（ ）yA、x R zy x, B、zzR y, C、zx R y, D、z zxzR,yz6、设圆心在原点，半径为 R，面密度为2 y2x 的薄

10、板的质量为（ A=2R ）1A、RA B、2RA C、3RA D、 R2 A2nx n( 7、级数的收敛半径为（ ）n n 1A、2 B、12C、1 D、38、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A、( n 0n(2nx2n)!B、( n 1n2nx(2n)!C、n0(n2nx(2n)!D、n0(n(2nx19、微分方程 (y)4+(y)5+y+2=0 的阶数是（ ）A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶10、微分方程 y+3y+2y=0 的特征根为（ ）A、-2，-1 B、，1 C、-2，1 D、1，-2二、填空题（本题共 5 小题，每题 4分，共 20 分）x 1 y 31、直线 L1：x=y

11、=z 与直线 L： 的夹角为2 1_。x 1 y 2 z直线 L3： 与平面3 2 6 0之间的夹角为x y z2 1 2_。3、二重积分2 2d ,D: x y 1的值为_。Dn4、幂级数 的收敛半径为n!x _，n 0nnx0 的收敛半径为 _。三、计算题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）1、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=172x-5y+3z=3x+7y-5z=22、求曲线 x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，）处的切线及法平面方程 .3、计算xyd ，其中D由直线y 1,x 2及y x围成.D4、问级数n 1( n ？ ， ？1sin 收敛吗 若收敛 则是条件

12、收敛还是绝对 收敛n5、将函数 f(x)=e3x展成麦克劳林级数6、用特征根法求 y+3y+2y=0 的一般解四、应用题（本题共 2 小题，每题 10分，共 20 分）2而体积最大的长方体体积。 1、求表面积为 a2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道， 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M k）已知 t=0 时，铀的含量为 M，求在衰变过程中铀含量 M（t）随时间 t变化的规律。参考答案一、选择题1、D 2、C 3、C 、A 、B 6、D 、C 、A 、B10,A二、填空题1、2 8ar cos ,arcsin

13、2、，0.1736521183、 4 、，+5、y2x 12ce ,cx 1 y三、计题1、 -3 2 -8解： = 2 -5 3 = （-3） -5 3 -2 2 3 + （-8）2 -5 =-1381 7 -5 7 -5 1 -517 2 -8x= 3 -5 3 =17 -5 3 -2 3 3 + （-8） 3 -5 =-1382 7 -5 7 -5 2 -5 2 7同理：-3 17 -8y= 2 3 3 =276 , z= 4141 2 -5x y z所以，方程组的解为 3x y z2、解：因为 x=t,y=t,z=t ,所以 xt=1,y t=2t,z t =3t2，所以 xt|t=1

14、 =1, y t| t=1 =2, z t| t=1=3故切线方程为：x1 y 1 z1 2 31法平面方程为： （x-1 ）+2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因为 D由直线 y=1,x=2,y=x 围成，所以： 1 y 2y x 2故：Dxyd3y2 2 2 dy (2y )dy1 y 121814、解：这是交错级数，因为Vn sin1n，所以，Vn 1且limsin1n，所以该级数为莱布尼兹型级数，故收敛。又n 1sin1n当 趋于x时sinxx，所以limnsin11n，又级数n 11n发散，从而n 1sin1n发散。5n所以，原级数条件收敛 。、解：因为we

15、1 x1x213x1xnx ( , )用2x 代x，得：2ex1 (21(2x)21(2x)31(2x)n1 2x222x323xn2xnx ( , )6、解：特征方程为 r+4r+4=0r+2）=0-2x,y=xe-2x 得重根 r1=r=-2，其对应的两个线性无关解为 y=e-2x所以，方程的一般解为 y=(c1+cx)e四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为 x，y，z2则（xy+yz+zx ）=a构造辅助函数2（x,y,z）=xyz+ (2xy 2yz 2zx a )求其对 x,y,z 的偏导，并使之为 0，得：yz+2 (y+z)=0 xz+2 (x+z)=0 xy+2 (x+y)

16、=0与2(xy+yz+zx)-a2=0 联立，由于 x,y,z 均不等于零可得 x=y=z代入 2(xy+yz+zx)-a2=0 得x=y=z=6a62所以，表面积为 a而体积最大的长方体的体积为V xyz36a362、解：据题意dMdtM其中 0为常数初始条件M Mt 0 0对于dMdtM式dMMdt两端积分得 lnM t lnCt所以，M ce又因为M Mt 0 0所以，M C0所以，M Me0t由此可知，铀的衰变规律为 ：铀的含量随时间的增加 而按指数规律衰减 。高数试卷 4（下）一选择题： 3 10 30下列平面中过点（ ,1）的平面是 （） （） （） （）在空间直角坐标系中，方程

17、x2 y2 2 表示 （）圆 （）圆域 （）球面 （）圆柱面二元函数 z x)2 y)2 的驻点是 ） ） ） ）二重积分的积分区域 是1 x2 y2 4 ，则 dxdy D（） （） 4 （） 3 （）15交换积分次序后10dxx0f(x, y)dy （）1 10dy ( , )f x y dyx（）1dy010f(x,y)dx（）1dy0y0f(x,y)dx（）xdy010f(x,y)dx阶行列式中所有元素都是，其值是 （） （） （）！ （）下列级数收敛的是 （）n(1)n1（）n 1n 1 nn3n12（）n1(nn1（）1n n1正项级数nu 和n1nv 满足关系式 un n ，则

18、n1（）若u 收敛，则nv 收敛 （）若nv 收敛，则nu 收敛nn 1 n 1 n 1 n 1（）若v 发散，则nu 发散 （）若nu 收敛，则nv 发散nn 1 n 1 n 1 n 11已知： 1 x 21 x，则112x的幂级数展开式为 （） 1 x2 x4 （） 1 x2 x4 （） 1 x2 x4 （）1 x2 x4二填空题： 4 5 20 数z 2 y2 1 ln(2 x2 y2)的定义域为 y若 f (x,y) xy ，则 f ( x已知 (0,y0) 是f (x,y)的驻点，若 fxx(x0,y0) 3, fyy(0,y0) 12, fxy(x0,y0) a 则当 时，(x0,

19、 y0)一定是极小点级数nu 收敛的必要条件是 n1三计算题 ( 一)：6 5 30 已知： z xy，求：zx，zy 计算二重积分 4 x d ，其中 D ( |0 y 4 x2,0 x 2Dnx求幂级数 ( 的收敛区间n 1n n 1求 f (x) e x 的麦克劳林展开式（需指出收敛区间） 四计算题 (二)： 10 2 20求平面 和 的交线的标准方程参考答案一；二 (x, y) |1 x2 y2 2 yx 6 a 6 lim un 0nz z四 1解： yxy 1 x ln yyx y2解： 4D2xd2dx004 x2 x322 24 x dy (4 x )dx 4x03201633

20、解：1 2 71 0 21 AB1B 0 1 2 , .2 4 150 0 1解： R 当1 时，级数收敛，当 x=1 时，得n 1(nn1收敛，当x 1时，得n 1(2 1n 1n nn 1发散，所以收敛区间为 ( 1 .解： 因为n n nx ( x) ( ex x ( , ) 所以 ne x x0 0 !n! nn n n 0 x ( , ) .i j k四解：求直线的方向向量 : i j ks 1 2 1 3 5 求点令 z=0,得 y=0,x=2,即交点为 (2,0.0),所2 1 1以交线的标准方程为 :.x12 y z3 52解：A111111111111101111010111

21、1021 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 )(2 ) 1(1) 当 2 时,r( 2,(A) 3,无解;(2) 当 2 时, r( (A) 3,有唯一解: 1x y z ; 2(3) 当 1时, r(A) (A) 1,有无穷多组解 :xy1c1c1c2(1,c2为任意常数 )zc2高数试卷 （下）一、选择题（ 3分/题）1、已知a i j ，b k，则 a b （ ）A 0 B i j C i j D i j2 y22、空间直角坐标系中 x 1表示（ ）A 圆 B 圆面 C 圆柱面 D 球面3、二元函数sinxyz 在（，0）点处的极限是（ ）xA 1 B 0 C D 不存在114

22、、交换积分次序后 dx f( x,yx0=（ ）11A dy f(x,y0011B dy f( x,y0 x11C dy f ( x,yy01yD dy f( x,y005、二重积分的积分区域 D 是 x y 1，则 dxdy （ ）DA 2 B 1 C 0 D 46、n阶行列式中所有元素都是 ，其值为（ ）A 0 B 1 C n D n!7、若有矩阵 3 2 ，B2 3 ，C3 3 ，下列可运算的式子是（ ）A AC B CB C ABC D AB AC9、在一秩为 r 的矩阵中，任 r 阶子式（ ）A 必等于零 B 必不等于零C 可以等于零，也可以不等于零 D 不会都不等于零10、正项级数u 和nv 满足关系式 un vn，则（ ）nn 1 n 1A 若u 收敛，则nv