2022届高考数学解题方法微专题29非线性回归直线方程的求解含解析

1、PAGE 5 -微专题(二十九)非线性回归直线方程的求解回归分析中，依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的，还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理例某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值eq o(x,sup6()eq o(y,sup6()eq o(w,sup6()eq isu(i1,8, )

2、(xieq o(x,sup6()2eq isu(i1,8, )(wieq o(w,sup6()2eq isu(i1,8, )(xieq o(x,sup6()(yieq o(y,sup6()eq isu(i1,8, )(wieq o(w,sup6()(yieq o(y,sup6()46.65636.8289.81.61 469108.8表中wieq r(xi)，eq o(w,sup6()eq f(1,8)eq isu(i1,8,w)i.(1)根据散点图判断，yabx与ycdeq r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果

3、及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线eq o(v,sup6()eq o(,sup6()eq o(,sup6()u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq o(,sup6()eq f(isu(i1,n, )uio(u,sup6()vio(v,sup6(),isu(i1,n, )uio(u,sup6()2)，eq o(,sup6()eq o(v,sup6

4、()eq o(,sup6()eq o(u,sup6().解析：(1)由散点图可以判断，ycdeq r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令weq r(x)，先建立y关于w的线性回归方程，由于eq o(d,sup6()eq f(isu(i1,8, )wio(w,sup6()yio(y,sup6(),isu(i1,8, )wio(w,sup6()2)eq f(108.8,1.6)68，eq o(c,sup6()eq o(y,sup6()eq o(d,sup6()eq o(w,sup6()563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为eq o(y,sup6()100.

5、668w，因此y关于x的回归方程为eq o(y,sup6()100.668eq r(x).(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值eq o(y,sup6()100.668eq r(49)576.6，年利润z的预报值eq o(z,sup6()576.60.24966.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值eq o(z,sup6()0.2(100.668eq r(x)xx13.6eq r(x)20.12.所以当eq r(x)eq f(13.6,2)6.8，即x46.24时，eq o(z,sup6()取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大名师点评非线性回归方程的求法(

6、1)根据原始数据(x，y)作出散点图(2)根据散点图选择恰当的拟合函数(3)作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程变式练二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数234567售价y201286.44.43zln y3.002.482.081.861.481.10下面是z关于x的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？(eq o(

7、b,sup6()、eq o(a,sup6()小数点后保留两位有效数字)参考公式：回归方程eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()xeq o(a,sup6()中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq o(b,sup6()eq f(isu(i1,n, )xio(x,sup6()yio(y,sup6(),isu(i1,n, )xio(x,sup6()2)eq f(isu(i1,n,x)iyino(x,sup6()o(y,sup6(),isu(i1,n,x)oal(2,i)no(x,sup6()2)；eq o(a,sup6()eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()eq o(

8、x,sup6()，req f(isu(i1,n, )xio(x,sup6()yio(y,sup6(),r(isu(i1,n, )xio(x,sup6()2isu(i1,n, )yio(y,sup6()2)参考数据：eq isu(i1,6,x)iyi187.4，eq isu(i1,6,x)izi47.64，eq isu(i1,6,x)eq oal(2,i)139，eq r(isu(i1,6, )xio(x,sup6()2)4.18，eq r(isu(i1,6, )yio(y,sup6()2)13.96，eq r(isu(i1,6, )zio(z,sup6()2)1.53，ln 1.460.38，

9、ln 0.711 80.34.微专题(二十九)变式练解析：(1)由题意，计算eq o(x,sup6()eq f(1,6)(234567)4.5，eq o(z,sup6()eq f(1,6)(32.482.081.861.481.10)2.且eq isu(i1,6,x)izi47.64, eq r(isu(i1,6, )xio(x,sup6()2)4.18, eq r(isu(i1,6, )zio(z,sup6()2)1.53，req f(isu(i1,n, )xio(x,sup6()zio(z,sup6(),r(isu(i1,n, )xio(x,sup6()2isu(i1,n, )zio(z,sup6()2)eq f(47.6464.52,4.181.53)eq f(6.36,6.395 4)0.99.z与x的相关系数大约为0.99，说明z与x的线性相关程度很高(2)利用最小二乘法估计公式计算eq o(b,sup6()eq f(isu(i1,n,x)izino(x,sup6() o(z,sup6(),isu(i1,n,x)oal(2,i)no(x,sup6()2)eq f(47.6464.52,13964.52)eq f(6.36,17.5)0.36.eq o(a,sup6()eq o(z,sup6()eq o(b,sup6()eq o(x,s