高考数学(理数)一轮复习教案：3.8《正弦定理和余弦定理的应用》(含详解)

1、第八节正弦定理和余弦定理的应用解三角形及其应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识点实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角方位角的范围是(0，360)正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度例：(1)北偏东m：(2)南偏西n：坡角坡面与水平面的夹角设坡角为，坡度为i，则ieq f(h,l)tan_坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比易误

2、提醒易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角自测练习1若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15B北偏西15C北偏东10 D北偏西10解析：如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.答案：B2江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析：如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 30e

3、q f(r(3),3)3010eq r(3)(m)，在MON中，由余弦定理得，MNeq r(90030023010r(3)f(r(3),2)eq r(300)10eq r(3)(m)答案：10eq r(3)3如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向，且与它相距8eq r(2)n mile.此船的航速是_n mile/h.解析：设航速为v n mile/h，在ABS中ABeq f(1,2)v，BS8eq r(2)，BSA45，由正弦定理得eq f(8r(2),sin 30)eq f

4、(f(1,2)v,sin 45)，则v32.答案：32考点一测量距离问题|(2014济南调研)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3eq r(3)海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20eq r(3) 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知AB5(3eq r(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理，得eq f(DB,sinDAB)eq f(AB,sinADB)，DBeq f(ABsin

5、DAB,sinADB)eq f(53r(3)sin 45,sin 105)eq f(53r(3)sin 45,sin 45cos 60cos 45sin 60)eq f(5r(3)r(3)1,f(r(3)1,2)10eq r(3)(海里)，又DBCDBAABC60，BC20eq r(3)(海里)在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 200210eq r(3)20eq r(3)eq f(1,2)900.CD30(海里)则需要的时间teq f(30,30)1(小时)求距离问题的两个注意点(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；

6、若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理1如图，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75方向直线航行，下午1时到达B处然后以同样的速度沿北偏东15方向直线航行，下午4时到达C岛(1)求A、C两岛之间的距离；(2)求BAC的正弦值解：(1)在ABC中，由已知，得AB10550(海里)，BC10330(海里)，ABC1807515120，由余弦定理，得AC250230225030cos 1204 900，所以AC70(海里)故A、C两岛之间的距离是70海里(2)在ABC中

7、，由正弦定理，得eq f(BC,sinBAC)eq f(AC,sinABC)，所以sinBACeq f(BCsinABC,AC)eq f(30sin 120,70)eq f(3r(3),14).故BAC的正弦值是eq f(3r(3),14).考点二测量高度问题|如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60，已知山高BC100 m，则山高MN_m.解析在RtABC中，AC100eq r(2) m，在MAC中，由正弦定理得eq f(MA,sin 60)eq f(AC,sin 45)，解得MA100

8、eq r(3) m，在RtMNA中，MNMAsin 60150 m.即山高MN为150 m.答案150求解高度问题应注意(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用 2.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为()A10eq r(2) m B20 mC20eq r(3) m D40 m解析：设电视塔

9、的高度为x m，则BCx，BDeq r(3)x.在BCD中，根据余弦定理得3x2x2402240 xcos 120，即x220 x8000，解得x20(舍去)或x40.故电视塔的高度为40 m.答案：D考点三测量角度问题|在海岸A处，发现北偏东45方向、距离A处(eq r(3)1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10eq r(3)海里/小时的速度追截走私船同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？解如图，设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD10eq r(3)t，BD

10、10t.在ABC中，ABeq r(3)1，AC2，BAC120.利用余弦定理可得BCeq r(6).由正弦定理，得sinABCeq f(AC,BC)sinBACeq f(2,r(6)eq f(r(3),2)eq f(r(2),2)，ABC45，因此BC与正北方向垂直于是CBD120.在BCD中，由正弦定理，得sinBCDeq f(BDsinCBD,CD)eq f(10tsin 120,10r(3)t)eq f(1,2)，得BCD30，又eq f(CD,sin 120)eq f(BC,sin 30)，即eq f(10r(3)t,r(3)eq r(6)，得teq f(r(6),10).所以当缉私船

11、沿东偏北30的方向能最快追上走私船，最少要花eq f(r(6),10)小时解决测量角度问题的三个注意点(1)明确方位角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用 3.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值解：在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos

12、 1202 800BC20eq r(7).由正弦定理，得eq f(AB,sinACB)eq f(BC,sinBAC)sinACBeq f(AB,BC)sinBACeq f(r(21),7).由BAC120，知ACB为锐角，则cosACBeq f(2r(7),7).由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30eq f(r(21),14).12.函数思想在解三角形中的应用【典例】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设

13、该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思路点拨(1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题(2)注意t的取值范围规范解答(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则Seq r(900t2400230t20cos9030)eq r(900t2600t400)eq r(900blc(rc)(avs4alco1(tf(1,3

14、)2300).故当teq f(1,3)时，Smin10eq r(3)，veq f(10r(3),f(1,3)30eq r(3).即小艇以30eq r(3)海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900eq f(600,t)eq f(400,t2).0v30，900eq f(600,t)eq f(400,t2)900，即eq f(2,t2)eq f(3,t)0，解得teq f(2,3).又teq f(2,3)时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于eq f(2,3).此时，在OAB中

15、，有OAOBAB20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时思想点评(1)三角形中的最值问题，可利用正、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题(2)求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.A组考点能力演练1如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A50eq r(2) m B50eq r(3) mC25eq r(2) m D.eq f(25r(2),2) m解析：本题考查正弦定理依题意与正弦定理得eq f(AC,sin

16、B)eq f(AB,sin C)，ABeq f(ACsin C,sin B)eq f(50sin 45,sin18045105)50eq r(2) m，故选A.答案：A2在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A，B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北的方向上；在B处测得该塔底部C在西偏北的方向上，并测得塔顶D的仰角为.已知ABa,0eq f(,2)，则此塔的高CD为()A.eq f(asin,sin )tan B.eq f(asin ,sin)tan C.eq f(asinsin ,sin )tan D.eq f

17、(asin sin ,sin)tan 解析：本题考查正弦定理依题意得，在ABC中，CAB，ACB，由正弦定理得eq f(AB,sin)eq f(BC,sin)，BCeq f(asin ,sin)；在BCD中，CBD，CDBCtan eq f(asin ,sin)tan ，故选B.答案：B3如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(eq r(3)1) m B180(eq r(2)1) mC120(eq r(3)1) m D30(eq r(3)1) m解析：tan 15tan(6045)eq f(tan 60tan

18、 45,1tan 60tan 45)2eq r(3)，BC60tan 6060tan 15120(eq r(3)1)(m)，故选C.答案：C4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6eq r(2) km/hC2eq r(34) km/h D10 km/h解析：设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin eq f(0.6,1)eq f(3,5)，从而cos eq f(4,

19、5)，所以由余弦定理得eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)v)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)2)2122eq f(1,10)21eq f(4,5)，解得v6eq r(2).选B.答案：B5.(南昌模拟)如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东30角的方向沿直线前往B处营救，sin 的值为()A.eq f(r(21),7) B.eq f(r(2),2)C.eq f(r(3),2) D.eq f(5r(7),14)解

20、析：连接BC.在ABC中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得BC2AC2AB22ABACcos 120700，BC10eq r(7)，再由正弦定理，得eq f(BC,sinBAC)eq f(AB,sin )，sin eq f(r(21),7).答案：A6(潍坊调研)为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米解析：在BCD中，由正弦定理，得eq f(BC,sinBDC)eq f(CD,sinDBC)，解得BC10eq r(2)米，在RtABC中，塔AB的高是

21、10eq r(6)米答案：10eq r(6)7如图，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45，与观测站A距离20eq r(2)海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北(045)的C处，且cos eq f(4,5).已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为_海里/小时解析：本题考查解三角形知识在实际问题中的应用利用余弦定理求解在ABC中，AB20eq r(2)，AC10，BAC45，又cos(45)eq f(r(2),2)eq f(4,5)eq f(r(2),2)eq f(3,5)eq f(7r(2),10)，由余弦定理可得BC2(20eq r(2)

22、2102220eq r(2)10eq f(7r(2),10)340，所以BC2eq r(85).又行驶时间是eq f(1,2)小时，所以该货船的速度为eq f(2r(85),f(1,2)4eq r(85)海里/小时答案：4eq r(85)8如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A、B；找到一个点D，从点D可以观察到点A、C；找到一个点E，从点E可以观察到点B、C.并测量得到一些数据：CD2，CE2eq r(3)，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，则A、B两点之间的距离为_.eq blc(rc)(avs4alco1(其中cos

23、48.19取近似值f(2,3)解析：依题意知，在ACD中，A30，由正弦定理得ACeq f(CDsin 45,sin 30)2eq r(2).在BCE中，CBE45，由正弦定理得BCeq f(CEsin 60,sin 45)3eq r(2).在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB10，所以ABeq r(10).答案：eq r(10)9.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚eq f(2,17)秒在A地测得

24、该仪器至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)解：由题意，设ACx，则BCxeq f(2,17)340 x40，在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC，即(x40)210 000 x2100 x，解得x420.在ACH中，AC420，CAH30，ACH90，所以CHACtanCAH140eq r(3)(米)故该仪器的垂直弹射高度CH为140eq r(3)米10.某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得ABC105和BAC3

25、0，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得BAD90和ABD45.请你根据以上条件求出航模的速度(答案保留根号)解：在ABD中，BAD90，ABD45，ADB45，ADAB80，BD80eq r(2).在ABC中，eq f(BC,sin 30)eq f(AB,sin 45)，BCeq f(ABsin 30,sin 45)eq f(80f(1,2),f(r(2),2)40eq r(2).在DBC中，DC2DB2BC22DBBCcos 60(80eq r(2)2(40eq r(2)2280eq r(2)40eq r(2)eq f(1,2)9 600.DC40eq r(6)，航模的速度veq f(4

26、0r(6),20)2eq r(6)米/秒B组高考题型专练1.(高考福建卷)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBACeq f(2r(2),3)，AB3eq r(2)，AD3，则BD的长为_解析：因为sinBACeq f(2r(2),3)，且ADAC，所以sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)BAD)eq f(2r(2),3)，所以cosBADeq f(2r(2),3)，在BAD中，由余弦定理得，BDeq r(AB2AD22ABADcosBAD)eq r(3r(2)23223r(2)3f(2r(2),3)eq r(3).答案：eq r(3)2(2014高考重

27、庆卷)在ABC中，B120，ABeq r(2)，A的角平分线ADeq r(3)，则AC_.解析：如图，在ABD中，由正弦定理，得sinADBeq f(ABsinB,AD)eq f(r(2)f(r(3),2),r(3)eq f(r(2),2).由题意知0ADB60，所以ADB45，则BAD180BADB15，所以BAC2BAD30，所以C180BACB30，所以BCABeq r(2)，于是由余弦定理，得ACeq r(AB2BC22ABBCcos 120)eq r(r(2)2r(2)22r(2)r(2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq r(6).答案：eq r(6)3(高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析：依题意，BAC30，ABC105.在ABC中，由ABCBACACB180，所以ACB45，因为AB600 m由正弦定理可得eq f(600,sin 45)eq f(BC,sin 30)，即BC300eq r(2) m在RtBCD中，因为CBD30，BC300eq r(2) m，所以tan 30eq f(CD,BC)eq f(CD,300r(2)，所以CD100eq r(6) m.答