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文档简介

1、第三章 向量与线性空间 3.5 向量组的线性相关性 3.6 向量空间 3.7 线性方程组解的结构 3.8 n 维欧氏空间 3.9 线性空间与线性变换3.8 n 维欧氏空间一、欧氏空间的概念及内积的性质 二、向量的长度及其性质三、正交向量组的概念及求法四、小结定义3.13 设有 n 维实向量 一、欧氏空间的概念及内积的性质 定义了内积的向量空间 n 称为 n 维欧氏空间. 令 称 x, y 为 x, y 的内积. 1. n (n 4) 维向量的内积是 3 维向量数量积的推广, 但是没有3维向量直观的几何意义2. 内积是向量的一种运算, 如果 x, y 都是列向量, 则内积可表示为 x, y xT

2、y .内积的运算性质: x, y, z n, a, b , 有定义3.14 设有实向量 x (x1, x2, , xn)T, 二、向量的长度及其性质令称 x 为 x 的长度(或范数). 向量的长度具有下述性质: x, y n, , 有1. 非负性2. 齐次性3. 三角不等式 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角. 当 x , y 0 时, 称 x 与 y 正交,记为 x y . 注 零向量与任何向量都正交. 单位向量及向量间的夹角 例3.20 求一单位向量, 使其与下面向量正交: 1. 正交向量组的概念 三、正交向量组的概念及求法定义3.15 设如果则称为正交向量组. 如果还有 则称为标准正交

3、向量组. 定理3.10 设为 n 的正交向量组(不含 零向量), 则 (1) 勾股定理 (2)线性无关;(3) 若 r n , 则存在 使得2. 正交向量组的性质 3. 向量空间的正交基 定义3.16 若 为向量空间 V 的一组基, 且 两两正交, V 的正交基. 例如: 为向量空间 则称为标准正交向量组, 则 若为向量空间 V 的标准正交基. 称(1)有(2)则若记定理 3.11 设 为 n 的标准正交基. 性质 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列(行)向量组都是标准正交向量组.4. 正交矩阵与正交变换 性质 正交变换保持向量的长度不变若 P 为正交矩阵, 称线性变换 y Px 为正交变换

4、.故有 例3.21 判别下列矩阵是否为正交阵: 5. 求标准正交基的方法 例3.22设线性无关, 从出发,求三个正交单位向量. 定理3.12 (Gram-Schmidt正交化方法) 设是向量空间 V 的一个向量组, 则按下述方法所得的向 量组 是 V 中标准正交向量组: 1. 若 r n, 则得到欧氏空间n 的一组标准正交基; 2. 如果在定理3.12 中, 对所得向量不进行单位化, 就得到一组正交向量组. 是 3 的一组基, 用 Schmidt 正交化方法求 3 的一组标准正交基. 例3.23 设例3.24 设是向量空间 V 的一组标准正交基, 也是 V 的一组标准正交基. 证明四、小结1. 向量的内积、长度、夹角2. 正交向量组的

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