线性代数课件：2-7 线性方程组的Gauss消元法

1、第二章 矩 阵 2.1 矩阵的定义 2.2 矩阵的运算 2.3 可逆矩阵 2.4 分块矩阵及其运算 2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 2.6 矩阵的秩 2.7 线性方程组的Gauss消元法二、线性方程组解的判定条件 一、线性方程组及解的概念 三、线性方程组的解法 四、小结 2.7 线性方程组的Gauss消元法 一般线性方程组 一、线性方程组及解的概念 方程组的解是指由 n 个数 c1, c2, , cn 组成的列向量 代入后, 方程组中每个方程都变成恒等式. (c1, c2, , cn )T, 当未知量 x1, x2, , xn 分别用c1, c2, , cn 用 W 表示线性方程组的全部解的

2、集合.若 W , 则称该方程组为相容的或有解.若 W , 则称该方程组为不相容的或矛盾的或无解. 若 W 只含一个元素, 则称该方程组有唯一解. W 中任何一个元素, 称为该方程组的一个特解;W 中全部元素的一个通项表达式称为该方程组的 通解或一般解. 定义2.18称下列三种变换为线性方程组的初等变换:(1)互换两个方程的位置; (2)用一非零的数乘某一方程； (3)把一个方程的倍数加到另一个方程. 线性方程组的初等变换总把线性方程组化为与其同解的线性方程组. 对线性方程组实施初等变换等价于对增广矩阵进行进行相应的初等行变换.定理2.6 线性方程组 Amn x b .() 无解的充要条件是 r

3、ank A rankA b; () 有唯一解的充要条件是 rank A rankA b n ; () 有无限多解的充要条件是 rank A rankA b n . 证 只需证明这三个结论的充分性, 二、线性方程组解的判定条件 设 rank A r, 因为一个结论的 必要性可以由其他两个结论的充分性推出. 不妨设 的最简行阶梯形为 () 若 rank A rankA b, 则中的中的第 r 1个方程为矛盾方程 0 1, 方程组无解. 于是() 若 rank A rankA b r n, 则中的且 bij 不存在,于是对应的方程组为原方程组有唯一解. () 若 rank A rankA b r n

4、 , 则中的于是对应的方程组为可得方程 令自由未知量组的含 n r 个参数的解 这就是原方程组的通解. 故原方程组有无穷多个解. 因c1, c2, , cnr 可任意取值, 定理2.6 非齐次线性方程组 Amn x b .() 无解的充要条件是 rank A rankA b; () 有唯一解的充要条件是 rank A rankA b n ; () 有无限多解的充要条件是 rank A rankA b n . 二、线性方程组解的判定条件 推论 齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解的充要条件是 rank A n .定理2.7 矩阵方程 AX B 有解的充要条件是 rank A rankA B

5、.推论 矩阵方程 Amn Xnl 0 有非零解的充要条件是 rank A n .(1) 消元和有解判断: 若对应的行阶梯形方程组不出现矛盾方程, 把方程组的增广矩阵化为行阶 梯形矩阵, 三、线性方程组的解法 则方程组有解, (2) 回代:(3) 把最简行阶梯形还原为同解方程组, 求出通解. 若有解, 则将行阶梯形化为最简行阶梯形. 对于齐次方程组, 可相应地在系数矩阵上进行类似的操作.否则无解. 求解线性方程组的步骤：例2.29 用Gauss消元法解方程组 例2.30 解线性方程组 例2.31 解线性方程组 例2.32 求解齐次线性方程组 例2.33 求解矩阵方程 对应的两个方程组为 分别令 x41 k, x42 l, 得 1. 线性方程组的基本概念2. 线性方程组解的判定条件线性方程组 Ax b 有解当且仅当 rank A rankA b.矩阵方程 AX B 有解当且仅当