线性代数课件：2-1 矩阵的定义

1、第二章 矩 阵 2.1 矩阵的定义 2.2 矩阵的运算 2.3 可逆矩阵 2.4 分块矩阵及其运算 2.5 初等矩阵与矩阵的初等变换 2.6 矩阵的秩 2.7 线性方程组的Gauss消元法一、矩阵概念的引入 三、小结2.1 矩阵的定义 二、矩阵的定义一、矩阵概念的引入例1.1 在科学和工程中, 经常有这样的线性方程组(1)矩阵是线性代数最重要的概念之一, 它在自然科学、工程技术和社会科学等各个领域都有广泛应用. 它有 n 个未知量, m 个方程. 对线性方程组(1)的研究可转化为对数表(2)的研究(2) 将线性方程组(1)的所有数据按照它们的相对位置, 可以排成如下的矩形数表例1.2 我军后勤

2、部共有m个工厂A1, , Am生产一种新型冲锋枪, 该冲锋枪须发放到n个作战单位B1, , Bn, 那么一个调运方案就可用如下的矩形数表(3)来表示, 其中 aij 表示从 Ai 调往 Bj 的冲锋枪数量. 上述两例表明, 在科学研究与生产实践中, 大量的问题都可通过一个矩形数表来加以描述. (3) 称为 m n 矩阵, 记作 定义2.1 由 mn 个数 aij (i 1, 2, m; j 1, 2, , n) 排成的数表二、矩阵的定义简记为 A aij mn , 或 A aij , 或 Amn . 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵, 注 行列式是一个算式, 它的行数和

3、列数必须相同， 一个数字行列式经过计算可求得其值; 矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和列数可以不同. aij 称为 A 的 (i, j ) 元素, 简称为 A 的元素 .mn 实矩阵的集合记为 mn.mn 复矩阵的集合记为 mn.两个矩阵的行数相等、列数也相等时, 称为同型矩阵.例如,为同型矩阵. 如果两个矩阵 A aij 与 B bij为同型矩阵, 并且对应元素相等, 即 aij bij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n),则称矩阵 A 与 B 相等, 记作 A B .(1) 行数与列数都为 n 的矩阵称为 n 阶方阵, 可记作 An . (2) 1n 矩阵 A (a1, a

4、2, , an ) 称为行矩阵(或行向量). m1矩阵称为列矩阵(或列向量).例如, 是一个3 阶复方阵. 几种特殊矩阵 (3) 方阵 称为对角矩阵(或对角阵), 记作diagonal 对角线上元素全为1的对角阵称为单位矩阵, 记为E,即(主) 对角线对角线上元素全相等的对角阵称为数量矩阵. (4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作 0 . (5) 对角线左下(右上)方的元素都为 0 的方阵称为 上(下)三角矩阵.不同型的零矩阵是不同的. 例2.3 某团后勤部门要招聘门卫、清洁工、电梯工各1人作为非现役文职人员. 来应聘, 每人对不同的工作有不同的月工资要求, 具体数据如下表 (单位：元) . 工 资 工 要 求 种应聘者门卫电梯工清洁工甲650500750乙700550680丙680480800现有甲、乙、丙3人前问题可以转化为矩阵形式: 从矩阵中各种关系一目了然, 行标代表甲、乙、丙3人, 列标代表门卫、电梯工、清洁工3个工种, 代表应聘者乙申请门卫要求的月工资, 代表应聘者丙申请清洁工要求的月工资. 例