八年级数学上册几何添辅助线专题

1、全等三形问题常见的助线的法 有答案八年级数学上册几何添辅助线专题边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个 角之间的相等。总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之 间的相等【三角形辅助做法】图有平分线，向两边作线。 也将图折看，对以后关系。角分平行线，腰三角形添。 角分线垂线，三合一试试。线垂平分线，向两端把连。 要线段与半，延缩短可试。三形两中点，接则成中线。 三形中中线，延中线等中。等腰角“线一法遇等腰三角，可作底上的高，用三线 一的质解题遇等三角形，作底

2、边上高，利用三合一的质解，维模是等变 换的对折”构造全等三角形遇三形的中线倍长中线使延长线与中线相，构全三角，用的 思模是全等变中的“旋” 法构全等三角形遇角分线在三添辅助线方法）可自平分上某一点向的两边作 线利的思维模是三角形等变换中“折知识点常角分线性 质理逆定理）以角平线的一作角平线垂线与角两边相交 形一全等三角）可以该的两上距离的点相等长的位置上倍长线倍中，使延长段与原中长相等，造等三形取点然后从这点再向角分线上的点边线构一对等角形过形某一点作定的平分全三角用的思维模是等变换中平角平线三添助 垂直分联线两移或翻转折叠截法补短法，体做法是某条线段截一条段特定段等，是某条用“长”“短：遇到

3、有二条线段长之和等于第三条线段的长，线延，是之与定线段相，再利用角全等有性质以明种法， 适于明线段的、差、倍分等类的目图形全：有一个角为 60 度 120 的把该角添线后构成等边三角形已某段的垂直分线，那可以在垂平线上某向该段两个点连角度为 、 的垂法：遇到三角形中的一个角为 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 特殊直角三角形然后计算边线出对全等三形。特方：在求有三角形的值一类的题，常某到原角各顶的段连的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形 创造边、角之间的相等条件。接来利用三角面积的知解答 一、倍长中线

4、（线段）造全等计算值：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或例 1 eq oac(,图)ABC 中AC=3线 的值围 解延 AD 至 2AD，连 BE，由角性知40-60-80 的殊直角三角形常计算边的长度与角的度数样可以得到在数值上相等的二条AB-BE 故 AD 取范围是 D 110 八年级数学上册几何添辅助线专题0 1、图中，AB=2AC，AD 平， AD=BD求：CDAC例 2、图 eq oac(, )ABC 中、F 分在 、AC ，DE，D 是点，试比 BE+CF 与 EF 的小.解(倍长中线腰三形“三线一”)延 FD 使 FG2EF， BG，EG,解

5、长法在 AB 上中 F，连 是腰角形F 是底 AB 中，由三线一知 AB，故AFD90显 BG，在 中注到 DE，等三角的线合一知A ADF ADC）EFEAFD即AC在 中由角性质 EGBG+BE故：BDFC2、图，ADBC，EA,EB 分平DAB,CBA 点 ，求证;AD+BC 解长法在 AB 上点 F使 AD连 ADE eq oac(, )AFE（SAS）ADEAFE，E例 3、图 eq oac(, )ABC 中，BD=DC=ACE 是 DC 的点求证AD 平BAE.ADE+BCEAABB D E CQ解延 AE 至 使 2AE， ，DG, 显 DGAC 由 DC=AC故 在 ADB e

6、q oac(, ) 中BD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCAFE+180 故ECBEFB CBE（AAS） 故 从;ABAD+BC3、图已知 eq oac(, )ABC 内 60 ， 400PC，Q 分别 BCCA 上并且故 ADG，BAD=DAG即 AD 平BAE 二、截长补短AP 分是 ， 的角分线求：BQ+AQ=AB+BP 解短法, 计算值法延 AB 至 D，使 ，连 DP22八年级数学上册几何添辅助线专题在 eq oac(, )BPD 中可40 从40ACP ADP eq oac(, )ACP（ASA）故 应用：又40故 BQQCBDBP从 4、图在四形 ABCD 中CDBD

7、平 ，0求： 180解短法延长 BA 至 ， BFBC， FD BDF BDC）故DFBDCB ，FDDC又 CD故等 eq oac(, )BFD 中分析：此连 ，把形问题化等边角的问题，后利用已条件和等 边角的性质通证明三角全等解决们问题A 解有 BC AD AE连 AC，过 作 / 并 于 F 点DAF故BAD+BCD则证 为等三形 即 ， E5、图ABC 中AC，12， 为 AD 任意点求证;AB-ACPB-PC CFE 又 AD ， BACDA 又 DEC AED E 1 2在 ADE 与 中PEAD AE EF ， AED FCEB CBDC AD BC AD AE解短法延长 AC

8、至 ， AB ， PD ABP （）故 PF点评：题的法比新，把形问题转化等边三角的问题，后用全三 形性解决。三、平移变换由角性质知PC BF=BA+AF=BA+AC延长 ND AB 于 BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 。从而四、借助角平分线造全等 PBA1图知ABC 中 eq oac(,，)ABC 的平分 交于 证，例 2 如图， eq oac(, )ABC 的上两点 DE，且 ，证：DC+AE =AC证明：取 中点 连 AM 延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN.证明角平分线在三种添辅助线计算数值法)B=60 度,则BAC+BCA=

9、120 ; 为角平分线,则 度AOE=COD; AOC=120 度EO在 AC 上取线段 AF=AE,连接 BD=CE,EMA(SAS), DN=AE,同理 BN=CA.又 AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS), OE=OF;AE=AF;AOF= 度则COF=AOC- AOF=60 度=COD; 又 CO=CO;OCD= OCF.故OCDOCF(SAS),441 1 1 1 OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、图 eq oac(, )ABC 中AD 平分BAC，DG 且平分 ， 于 E，DFAC 于 F. （1）明 BE=CF 的理由）果 ，AC

10、= ， AE、BE 的长（）的结 FE FD 仍成立。 证法一：如 1， 上截 ，连 FG ， 为共， AFE AFG ， FE 八年级数学上册几何添辅助线专题B解：(直平线结线两连接 BDDCA 60AD、CE 分是 、 BCA 的分线 DG 垂平分 BC，故 BD由 AD 平分BAC， DEAB E，DFAC 于 F， ED故 eq oac(, ) eq oac(, )DFC）BEF有 AFE AFG 60 及 FC 为共边 EDF42 A C图 1故有 CF。 2AE FE 证法二：如 2，点 F 分别 FG AB 于点 G， BC 于 H 、 分是 BAC 、 BCA 的分线AE（）

11、应用：得 的心 又 EB DF H1、图 是 的分，你利用该形画一对 O 在线对称轴的等 三形请你参考个作全等角形的方，答下问：（）图，在 ， 是角B=60，、CE 分别是、BCA GEF 证 DHF FE A12图 34C的分，AD、 相于点 F请你断并出 FE 与 FD 之的数关； （）图，在 中如果 不是直，(中其条件不变请问，你在1)中得论是仍成立？若立，请证；若不成，说明由F BM 有腰角时用辅线作顶角的平线，底边中线，边高线O D D例：已知，如图，AB = AC， AC D，图N C图图C求证：BAC = DBC(第 23 题图)解） FD 之间数量关系 FE FD证明一BAC

12、的平分线 AE 于 E1 = = BAC255又 ACAEACB = BDDBCACB 90o八年级数学上册几何添辅助线专题 = DF将腰延长一，构造直角三角解题例：已知，如图， 中， ，在 BA 延长线和 各取一点 E、 F，使 = AF，求证：EF DBC证明长 到 N AN 连结 则 AB = AN 1 2BAC = DBCAC（方法二）过 A 作 AE 于 （过程略）B = ACB, ACN = ANCBACBANC = （方法三）取 BC 中点 ，连结 AE（程略）2BCA2ACN = 180o有底边中点，常作底边中线BCAACN 90例：已知，如图，ABC 中，AB ， 为 点，D

13、EAB 于 ， AC即 = o于 F，NC 求证：DE = DFAE = AF证明：连结 AFED 中点，又BAC = BD 又 =ACBAC = ACN ANCENBAC 2AAD 平分 ANCFDE，ACBC66EFEF常过一腰上某一已知点做另腰的平线例：已知，如图，在 中， = AC D 在 AB ，E 在 AC 延长线上，且DNFDF EF（证法二）过 作 EMAB 交 BC 延长线于 M, 则 B（程略）常过一腰上某一已知点做底平行线八年级数学上册几何添辅助线专题 BD CE，连结 交 BC F求证： EF证明法一）过 D DNAE， 于 N，则DNB ACB ，例：已知，如图， 中

14、，AB =AC， 在 AC 上， 在 BA 长线上，且 AD = AE，连结 DE求证：DENDE = E， AC，证明法一）过点 EFBC AB 于 F，则 BB = ACBB = CE = ACBD DNDB 又BD = 12M =AEFDN 在 和 中 1 2 =E DN AD AEAED =ADE又AFE AEDADE = 180o 2AEF2 = o即 77八年级数学上册几何添辅助线专题DEBCE ACEA又= 8050 = DEBPC o（证法二 D DNBC 长线于 N程略）E交 CA 的延 ABC = 50 ABE = o（证法三）过点 A AM 交 DE 于 M程略）常将等腰

15、三形转化成特殊的腰三角 -等边三角形EBC ABE ABC = 60o =10 o例：已知，如图， 中， AC BAC = 80 o 为形内一，若 o 30o 求 的度数在 和EBC 中解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 则BAE =ABE = 60oAE = AB = BE AC = EBCAE = AC ABC = AEC =BP BE BEEAC =BAC BAE = 80o60o= oBAP ACE =12oEAC)= ACB=12oBAC)=ABP ABC PBC = 50o= o50oPAB 12ABP)= 70881 1 八年级数学上册几何添辅助线专题1 1 解法二：以

16、AC 为边作等边三角形，证法同一。o解法三：以 为一边作等边三角形 BCE，连结 AE,则 EB ， =EBC = = A C DA OC E 在 BC 的中垂线上同理 A 在 的中垂线上EA 所在的直线是 BC 的中垂 EA解连 CDECDBDC=E=180ABE=AECDACE=A（）（BDCADB） =AACDADCAEB BEC = 30 2=180 如，知 ABC 中AD 是 BC 边上的中线 是 AD 上一，且 BE=AC延 BE 交 AC 于 F。证AF=EF由解法一知：ABC = 50AABE ABC = =AEABE = AEB = ABE BAP =EB C解 延长 至 ，使 DG=AD，连结 BG BD=DCBDG=ADC GABP ABCPBC = 10o = 40PAB ABP) = o40)= 70 2 如，ABE 的数。CAD，G=CADG=BEG=AEF= AF=EF 已 是方形 ABCD