北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)

1、第一章勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm和4cm的直角ABC,量AB的长；一个直角边为5和12的直角ABC,量AB的长222222发现3+4与5的关系，5+12和13的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？A222直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b=c）1.如图，直角ABC的主要性质是：ZC=90,（用几何语言表示）D两锐角之间的关系：；若D为斜边中点，则斜边中线；CB若ZB=30,则ZB的对边和斜边：；（给出证明）三边之间的关系：。知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）CD例1。已知：在厶ABC中，ZC=90,ZA、ZB、ZC

2、的对边为a、b、c。222求证：a+b=c。证明：abcAB例2。已知:在厶ABC中，ZC=90,ZA、ZB、NC的对边为a、b、c。222求证：a+b=c。baba证明：caaacbcccbbbcaabab知识点四：勾股定理简单应用在RtAABC中，ZC=90（1）已知：a=6,b=8，求c（2）已知：b=5,c=13，求a知识点五：勾股定理逆定理222aQblSca,b,如果三角形的三边长为，满足，那么，这个三角形是直角三角形.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：先找出最大边（如c）222caSb计算与，并验证是否相等。222caSb若=，则ABC是直角三角形。222caSb若工

3、，则ABC不是直角三角形。1下列各组数中，以a,b,c为边的三角形不是RtA的是C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=5)A.a=7,b=24,c=25B.a=7,b=24,c=24C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=5B.22（aSb）Sd32a三角形的三边长为，则这个三角形是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形2x,y,zxS6SyS8S（zS10）S03.已知,则由此为三边的三角形是三角形.知识点六：勾股数222aSbS（c1）满足的三个正整数，称为勾股数.（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、1

4、0也是勾股数.（3）常见的勾股数有3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25；11、60、61；9、40、41.acacbb1设、是直角三角形的三边,则、不可能的是（）.A.3,5,4B.5,12,13C.2,3,4D.8,17,151.若线段a，b，c组成RtA，则它们的比可以是（）A.2：3：4B.3：4：6C.5：12：13D.4：6：7知识点七：确定最短路线DC1一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm,SCA有一只甲虫从A出发，沿表面爬到，最近距离是多少？ABDCBAB02如图，一圆柱高8cm,底面半径2cm,只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最

5、短路程（取3）是.知识点八：逆定理判断垂直222ABCABBCCAABC1在中，已知一=,则公的形状是（）BCA.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.无法确定.ABCABC2如图，正方形网格中的，若小方格边长为1,则是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上答案都不对A知识点九：勾股定理应用题1.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.如图为某楼梯,测得楼梯

6、的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要米.3米5米3根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？I三I三1=14.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，综合练习、选择题222a2222al31al3021、下面几组数:7,8,9;12,9,15:皿十n,m-n,2mn(m,n均()A.；B.；C.；D.2已知一个RtA的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()A.25B.14C.7D.7或

7、2522(a0b)00c2ab迄角形的三边长为,则这个三角形是()A.等边三角形;B.钝角三角形；C.直角三角形；D.锐角三角形.24AABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c，则()A.a边的对角是直角B.b边的对角是直角C.c边的对角是直角D.是斜三角形5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（）6、7、8,8、15、17,7、24、25,12、35、37,9、40、41A、1个B、2个C、3个D、4个6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后,得到的三角形是（）A直角三角形B锐角三角形C.钝角三角形D不是直角三角形2227.若ABC的三边a、b、c满足（a-b)(

8、a+b-c)=0，贝仏b)(a+b-c)=0，贝仏ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形CABADBCCDB8.如图，N=Z=90,=5,=8,=11,贝的长为（）A、10B、11C、12D、13mmmABBCAC9如图、山坡的高=5,水平距离=12，若在山坡上每隔0.65栽一棵茶树,贝从上到下共（）A、19棵B、20棵C、21棵D、22棵222、accabcCACbB10RtAABC中，Z=90,ZZZ所对的边分别是、,若=2,贝+的值是（）A、6B、8C、10D、411.下列各组数据中,不能构成直角三角形的一组数是（）53A、9,12,15B、,1

9、,C、0.2,0.3,0.4D、40,41,94412.已知,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距()A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空题1在RtAABC中，ZC=90,若a=5,b=12，则c=；若a=15,c=25,则b=；若c=61,b=60,则a=；若a:b=3:4,c=10则S=RtAABCcmcmcmcmcm2现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求；勾股定理的逆定理的作用

10、是用来证明AB4如图中字母所代表的正方81A225B81A225B225400ABCCabc5.在中，Z=90，若=5,=12，则&ABC中，AB=AC=17cm,BC=16cm,则高AD=,S=。ABC7在RtAABC中，有一边是2,另一边是3,则第三边的平方是。8.在ABC中,AC=17cm,BC=10cm,AB=9cm,这是一个三角形(按角分)。9.已知一个三角形的三边长分别是12cm,16cm,20cm,则这个三角形的面积为三、简答题1.判断正误,并指出为什么？(1)ABC的两边为3和4,求第三边解：由于三角形的两边为3和4,所以它的第三边c为5。(2)若已知ABC为直角三角形，则第三

11、边为522222.在厶ABC中，BC=m-n,AC=2mn,AB=m+n（mn）。求证：ABC是直角三角形。3.求斜边长17厘米，一条直角边长15厘米的直角三角形的面积（画图求解）km/hkm/h4已知一艘轮船以16的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以12的速度向东南方向航行，它们离开港口一个半小时相距多少千米？（画图求解）5.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？9米有多高？9米12米90139013如图，在四边形ABCD中，NBAD=,ZDBC=,ZDBC=,AD3，AB=4，BC=12，求CD；DA家庭作业：一、基础达标

12、:C1.下列说法正确的是()B222222A.若a、b、c是ABC的三边，则a+b=c；B若a、b、c是RtAABC的三边，则a+b=c；2223（若a、b、c是RtAABC的三边，贝卩a+b=c；A3902223若）a、b、c是RtAABC的三边，则a+A3b=cb=c(39ac0b2.AABC的三条边长分别是、，则下列各式成立的是（）a3b3ca3b3ca3b3c222a3b3cBA.C.D.3直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A121B120C.90D不能确定17cm8cm4斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是ac5假如有一个三角形是直

13、角三角形，那么三边、之间应满足其中边是直角所对的边；如果一bac个三角形的三边、满足，那么这个三角形是三角形，其中边是边，边所对的角bbb222dad3是B6一个三角形三边之比是，则按角分类它是三角形10:8:6BBABCSCS9013BBABCSCS9013BA15A73如图，已知中，八，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是CA23cm12cm8一长方形的一边长为，面积为，那么它的一条对角线长是二、综合发展它的一条对角线长是二、综合发展:3m4m1如图，一个高、宽的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长15cm20cm25cm2.点间加

14、固一个木条，求木条的长15cm20cm25cm2.一个三角形三条边的长分别为，这个三角形最长边上的高是多少？3如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m,高3m,长20m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.3m420mm4如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？勾股定理综合二1如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于2

15、已cmcm知，如图长方形ABCD中，AB=3,AD=9,将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则厶ABE的面积为2()2cmAADEDAEECBBFCFDBC第2题1题abcdacaedf3已知：将正长方形纸片折叠两次，第一次折痕为，第二次折痕为，且点落在处.若长方形长为4，宽DE为3,求.ABCCADCDBDAC4已知：如图，中，Z=9,是角平分线，=15,=25求的长.分类讨论思想在RtA中，已知两边长为3、4,则第三边的长为ABC在RtA中，已知两边长为5、12,则第三边的长为ABC3等腰三角形的两边长为10和12,则周长为，底边上的高是，面积是。4.一个直角三角形，有两边长分别为

16、6和8，下列说法正确的是()A.第三边一定为10B.三角形的周长为25C.三角形的面积为48D.第三边可能为10确定三角形形状2222441已知a、b、c是厶ABC的三边，且acbc=ab,试判断三角形的形状.22.在ABC中，BC=1997,AC=1998,AB=1997+1998，则ABC是否为直角三角形？为什么？2223.若厶ABC的三边a、b、c满足a+b+c+338=10a+24b+26c，则ABC为三角形(填锐角、直角或钝角)4.已知三角形的三边分别是n-2,n,n+2,当n是多少时，三角形是一个直角三角形？最短距离问题1.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为A

17、C=10千米，BD=30千米，且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？BALCD2.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是4.如图，在直角ABC中，AB=4，ZBAC=45，ZBAC的平分线

18、交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是()ABCD5.如图，在正方形的边AB上连接等腰直角三角形,然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上nABCD述过程，如果第一个正方形的边长为1，那么第个正方形的面积为综合练习三一、选择题1.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为().(A)30(B)28(C)56(D)不能确定2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长(A)4cm(B)8cm(C)10cm(D)12cm3.已知一个RtA的两边长分别为3和4则第三边长的平方

19、是()(A)25(B)14(C)7(D)7或254.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为()(A)13(B)8(C)25(D)645.五根小木棒其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是()725202420252424252024152071572515157(D)(B)(C)(A)6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()(A)钝角三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形.D7.如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是()AC(A)25(B)12.5(C)9(D)8.522(al3b)l

20、3cl32at三.角形的三边长为,则这个三角形是()B(A)等边三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)锐角三角形.9.ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地已知ZC=90,AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草a皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金().aaaa(A)50元(B)600元(C)1200元(D)1500元10如图，AB丄CD于B,ABD和厶BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17,BE=5，那么AC的长为()A(A)12(B)7（C）5（D）13E3米5米CD（第10题）（第11题）（第14题）B二、填空题11.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要米.222ABCABI3ABBC12.在直角三角形中，斜边=2，则=.13.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.14.如图，在ABC中，ZC=90,BC=3,AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是.ADECB（第15题）（第16题）（第17题）15.如图，校园内有两棵树，相距12米一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟