马井堂-高考数学-三角函数及三角恒等变换

1、马井堂鼎浩大华（经典资料）最经典三角函数及三角恒等变换随意角和弧度制及随意角的三角函数基础自测1.A=小于90的角，B=第一象限的角，则AB=（填序号）.小于90的角090的角第一象限的角以上都不对答案2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是.答案33.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是.答案1或44.已知角终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin=.答案-cos25.是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且cos=2x,则sin=.4答案104例1假如第二象限的角，试分别确立2,的终边所在地点.22解是第二象限的角，k360+9

2、0k360+180（kZ）.1）2k360+18022k360+360（kZ），2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.（2）k180+45k180+90（kZ），2当k=2n（nZ）时，n360+45n360+90；2当k=2n+1（nZ）时，n360+225n360+270.2是第一或第三象限的角.2第1页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）（3）k120+30k120+60（kZ），3当k=3n（nZ）时，n360+30n360+60；3当k=3n+1（nZ）时，n360+150n360+180；3当k=3n+2（nZ）时，n360+270n360+300.3是第一或第二或第

3、四象限的角.3例2（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解（1）设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r,所以扇形的周长是2r+r.依题意，得2r+r=r,=-2=(-2)1801.14257.3065.446526,扇形的面积为S=1r2=1（-2）r2.22）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,即l=20-2r(0r10)1扇形的面积S=lr，将代入，得S=1(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,2所以当且

4、仅当r=5时，S有最大值25.此时l=20-25=10,=l=2.r所以当=2rad时，扇形的面积取最大值.例3（14分）已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.解角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P（4t,-3t）(t0),则x=4t,y=-3t,r=x2y2(4t)2(3t)25t,当t0时，r=5t,sin=y3t3,cos=x4t4,r5t5r5t5tan=y3t3;x4t4分4分分第2页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）当t0时，r=-5t,sin=y3t3,r5t5cos=x4t4,r5t5tan=y3t3.x4t4综上可知，t0时，si

5、n=3,cos=4,tan=3;554t0时，sin=3,cos=-4,tan=3.554例4在单位圆中画出合适以下条件的角的终边的范围,并由此写出角的会合:(1)sin3;(2)cos1.22解（1）作直线y=3交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的地区即为角的2终边的范围，故知足条件的角的会合为|2k+2k+2，kZ.33（2）作直线x=1交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的地区（图中暗影部分）2即为角终边的范围.故知足条件的角的会合为|2k+22k+4，kZ.331.已知是第三象限角，问是哪个象限的角？3解是第三象限角，180+k360270+k36

6、0（kZ），60+k12090+k120.3当k=3m(mZ)时，可得60+m36090+m360（mZ）.3故的终边在第一象限.3当k=3m+1(mZ)时，可得180+m360210+m360（mZ).3故的终边在第三象限.3当k=3m+2（mZ）时，可得分分第3页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）300+m360330+m360（mZ）.3故的终边在第四象限.3综上可知，是第一、第三或第四象限的角.32.已知扇形OAB的圆心角为120，半径长为6,（1）求的弧长；（2）求弓形OAB的面积.解（1）=120=2rad，r=6，3的弧长为l=26=4.3(2)S扇形OAB=1lr=146=12

7、，22SABO=1r2sin2=1623=93，2322S弓形OAB=S扇形OAB-SABO=12-93.3.已知角的终边在y轴上，求sin、cos、tan的值.解角的终边在y轴上，可在的终边上任取一点（0,t)(t0),即x=0，y=t.r=x2y2=02t2=|t|.当t0时，r=t,sin=y=t=1,cos=x=0=0,tan=y不存在；rtrtx当t0时，r=-t，sin=y=t=-1,rtcos=x=0=0,tan=y不存在.rtx综上可知：sin=1,cos=0,tan不存在.求以下函数的定义域：（1）y=2cosx1；（2）y=lg(3-4sin2x）.解（1）2cosx-10

8、，cosx1.2由三角函数线画出x知足条件的终边范围(如图暗影所示).x2k,2k（kZ）.32）3-4sin2x0,sin2x3,4-3sinx3.22利用三角函数线画出x知足条件的终边范围(如右图暗影),第4页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）x（k-,k+）（kZ).33一、填空题已知costan0,那么角答案三或四2.若0 x，则sinx2答案与610角终边同样的角表示为答案k360+250(kZ)是第象限角.x2（用“”,“”或“=”填空）.2.4.已知（1）sin21,则所在象限为第象限.2答案一或三5.已知点P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在第象限.答案二6.已知,2且

9、sin+cos=a，此中a(0，1），则对于tan的值，以下四个答案中，可能正确的选项是（填序2号）.-33或1-1-3或-1333答案7.已知角的终边落在直线y=-3x(x0)上，则sincos.sincos答案28.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针平均地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=,此中t0,60.答案10sint60二、解答题9.已知sin=1a,cos=3a1,假如第二象限角，务实数a的值.1a1a解是第二象限角，sin0,cos0,0sin1a11a，解得0a1.3a131cos1

10、0a又sin2+cos2=1,122a3a11,1a1a解得a=1或a=1(舍去），故实数a的值为1.99第5页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形半径为R，中心角为，所对的弧长为l.1R24,（1）依题意，得2R2R10,22-17+8=0,=8或1.282,舍去,=1.2(2)扇形的周长为40,R+2R=40，S=1lR=1R=1R2R12100.R2R222442当且仅当R=2R,即R=10,=2时面积获得最大值，最大值为100.

11、11.设sin的符号.为第三象限角，试判断2cos2解为第三象限角，2k+2k+3(kZ),2k+k3(kZ).242当k=2n(nZ)时，2n+3,22n24此时在第二象限.2sin20,cos0.2sin20.所以cos2当k=2n+1(nZ)时，(2n+1)+(2n+1)+3(nZ),224即2n+32n+7(nZ)224此时在第四象限.2sinsin0,cos0,所以20,22cos2sin综上可知：20.cos212.角终边上的点P与A（a，2a）对于x轴对称（a0），角终边上的点Q与A对于直线y=x对称，求sincos+sincos+tantan的值.解由题意得，点P的坐标为（a,

12、-2a)，第6页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）点Q的坐标为（2a，a）.sin=2a2a,a2(2a)25a2cos=aa,a22a)25a2(tan=2a2,asin=aa,(2a)2a25a2cos=2a2a,(2a)2a25a2tan=a1,2a2故有sincos+sincos+tantan=2aa2a22a2(2)1=-1.5a25a5a5a2第7页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）4.2同角三角函数的基本关系与引诱公式基础自测1.（2008常州模拟）sin2(+)-cos(+)cos(-)+1的值为.答案22.sin210=.答案123.已知tan=1,且,3，则sin的值是.2

13、2答案554.若sincos=2,则sin(-5)sin3=.sincos2答案3105.已知sin=5，则sin4-cos4的值为.5答案35例1已知f()=sin()cos(2)tan();tan()sin()(1)化简f();(2)若是第三象限角，且cos31，求f()的值.25解（1）f（）=sincos(tan)=-cos.tansin(2)cos3=-sin,2sin=-1,cos=-521226,555第8页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）f()=26.5例2（14分）已知-x0,sinx+cosx=1.25(1)求sinx-cosx的值；1（2）求的值.22cosxsinx解

14、（1）方法一联立方程：sinx1cosx5sin2xcos2x11由得sinx=-cosx,将其代入，整理得25cos2x-5cosx-12=0.-x0,23sinx5,4cosx5所以sinx-cosx=-7.5方法二sinx+cosx=1,5(sin212x+cosx)=5,即1+2sinxcosx=1,252sinxcosx=-24.25(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x2449=1-2sinxcosx=1+=又-x0,sinx0,cosx0,2sinx-cosx0由可知：sinx-cosx=-7.5由已知条件及（1）可知sinx13cosxsinx5,

15、解得5,sinxcosx745cosx5tanx=-3.42分4分7分2分4分7分9分11分第9页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）又1sin2xcos2xcos2xsin2xcos2xsin2xsin2xcos2xcos2xcos2xsin2xcos2xtan2x1tan2x321=4225.1374例3已知tan=2,求以下各式的值：（1）2sin3cos;4sin9cos(2)2sin23cos2;4sin29cos2(3)4sin2-3sincos-5cos2.解（1）原式=2tan32231.4tan9429（2）2sin23cos22tan2322235.4sin29cos24ta

16、n2942297(3)sin2+cos2=1,4sin2-3sincos-5cos2=4sin23sincos5cos2sin2cos2=4tan23tan5443251.tan2141tan()cos(2)sin321.化简.cos()sin()(tan)cos()sin2解原式=cos()sin()(tan)cos()sin2=(cos)sin=tancos(cos)=tancoscossinsin分分第10页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）=sincosa=-1.cosasin2.已知sin+cos=1,(0,).求值：533（1）tan;(2)sin-cos;(3)sin+cos.解

17、方法一sin+cos=1,(0,),5(sin+cos)2=1=1+2sincos，25sincos=-120.25由根与系数的关系知，sin,cos是方程x2-1x-12=0的两根，525解方程得x1=4,x2=-3.55sin0,cos0,sin=4,cos=-3.55(1)tan=-4.3(2)sin-cos=7.5(3)sin3+cos3=37.125方法二（1）同方法一.（2）（sin-cos）2=1-2sincos=1-212=49.2525sin0,cos0,sin-cos0,sin-cos=7.5(3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=

18、1112=37.5251253.已知sin(+k)=-2cos(+k)(kZ).求:(1)4sin2cos;5cos3sin(2)1sin2+2cos2.5解由已知得cos(+k)0,tan(+k)=-2(kZ),即tan=-2.（1）4sin2cos4tan210.5cos3sin53tan第11页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）1sin22cos21sin22cos2(2)+=4545sin2cos21tan227.=4tan25125一、填空题1.是第四象限角，tan=5，则sin=.12答案5132.（2008浙江理）若cos+2sin=-5,则tan=.答案23.（2008四川理）

19、设02,若sin3cos,则的取值范围是.答案43,34.是第四象限角，cos=12，则sin=.135.sin2(+)-cos(+)cos(-)+1的值为.答案26.若sin+cos=tan0，则的取值范围是.2答案4,37.假如cos=1,且是第四象限的角,那么cos=.52答案2658.化简:sin2()cos()cos(2)=.tan()sin3()sin(2)2答案1二、解答题9.已知cos(+)=-1,且是第四象限角，计算：2(1)sin(2-);第12页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）(2)sin(2n1)sin(2n1)(nZ).sin(2n)cos(2n)解cos(+)=-

20、1,-cos=-1,cos=1,222又是第四象限角，sin=-1cos23.2（1）sin(2-)=sin2+(-)=sin(-)=-sin=3.2（2）sin(2n1)sin(2n1)sin(2ncos(2n)=sin(2n)sin(2n)sin(2n)cos(2n=sin()sin()sincos=sinsin()=2sin=2=-4.sincossincoscos10.化简：1cos4sin4.1cos6sin6解方法一原式=(cos2sin2)2cos4sin4(cos2sin2)3cos6sin6=2cos2sin2sin22.3cos2sin2(cos2)3方法二原式=(1cos

21、2)(1cos2)sin4(1cos2)(1cos2cos4)sin6解方法一当k为偶数时，设k=2m(mZ),则方法二由(k+)+(k-)=2k,(k-1)-+(k+1)+=2k,得sin(k-)=-sin(k+),cos(k-1)-=cos(k+1)+=-cos(k+),第13页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）sin(k+1)+=-sin(k+).12.已知sin(-)-cos(+)=2.求以下各式的值：32（1）sin-cos;第14页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）1.在(0,)上递减；2以2为周期；是奇函数.写出一个同时知足上述条件的函数（写出一个你以为正确的即可）.答案y=-s

22、inx2.（2009东海高级中学高三调研）将函数y=sin2x的图象先向左平移,此后将所得图象上全部的点的横坐标变成本来33的2倍（纵坐标不变），则所获得的图象对应的函数解析式为.答案y=sinx33.设函数y=acosx+b（a、b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是.答案54.函数y=|sinx|的一个单一增区间是（写出一个即可）.答案,325.（2008全国理）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为.答案2例1求以下函数的定义域：（1）y=lgsin(cosx);(2)y=sinxcos

23、x.解（1）要使函数存心义，必然使sin(cosx)0.-1cosx1,0cosx1.方法一利用余弦函数的简图得悉定义域为x|-+2kx+2k,kZ.22方法二利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM1,OM只幸好x轴的正半轴上，其定义域为x|2kx2k,k.22（2）要使函数存心义，必然使sinx-cosx0.方法一利用图象.在同一坐标系中画出0,2上y=sinx和y=cosx的图象，以以下图.第15页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）在0，2内，知足sinx=cosx的x为4，5，再联合正弦、余弦函数的周期是2,4所以定义域为x|2kx52k,k.44方法二利用三角函数线，如图MN为正弦线

24、，OM为余弦线，要使sinxcosx,即MNOM，则x5（在0，2内）.44定义域为x|2kx52k,k44方法三sinx-cosx=2sinx0，4将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质4可知2kx-+2k,4解得2k+x5+2k,kZ.44所以定义域为x|2kxx52k,k.44例2求以下函数的值域：1）y=sin2xsinx;1cosx(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos+2cosx.3解（1）y=2sinxcosxsinx=2cosx(1cos2x)1cosx1cosx2-1.=2cos2x+2cosx=2cos122于是当且仅当cosx=

25、1时获得ymax=4,但cosx1,y4，且ymin=-1,当且仅当cosx=-1时获得.221故函数值域为,4.（2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=t21.2有y=f(t)=t+t21=1(t1)21.22又t=sinx+cosx=2sinx，4-2t2.第16页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）故y=f(t)=1(t1)21(-2t2),2进而知：f(-1)yf(2),即-1y2+1.2即函数的值域为1,21.2（3）y=2cosx+2cosx3=2coscosx-2sinsinx+2cosx33=3cosx-3sinx=233cosx1s

26、inx22=23cosx.6cosx61该函数值域为-23，23.例3（14分）求函数y=2sinx的单一区间.4解方法一y=2sin4x化成y=-2sinx4.1分y=sinu(uR)的递加、递减区间分别为2k,2k（kZ),222k,2k3(kZ),4分22函数y=-2sinx的递加、递减区间分别由下边的不等式确立42k+x-42k+3（kZ),22即2k+3x2k+7（kZ),8分442k-x-42k+（kZ),22即2k-4x2k+3（kZ).12分4函数y=2sinx的单一递减区间、单一递加区间分别为2k,2k3（kZ),444第17页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）2k3,2k7

27、（kZ).14分44方法二y=2sinx可看作是由y=2sinu与u=x复合而成的.2分44又u=4x为减函数，由2k-u2k+（kZ),22-2k-4x-2k+3(kZ).4即2k,2k3（kZ）为y=2sinx的递减区间.444由2k+u2k+3(kZ),22即2k+-x2k+3(kZ)得242-2k-5x-2k-4(kZ),4即2k5,2k4（kZ)为y=2sinx的递加区间.12分44综上可知：y=2sin4x的递加区间为2k52k（kZ）；,44递减区间为2k,2k314分（kZ）.441.求f(x)=12cos(2x)的定义域和值域.解由函数1-2cosx0,得sinx2,利用单位

28、圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是225x2k,kZ.x|2k44当sinx=cosx=2时，ymin=0;22当sinx=cosx=-1时，ymax=12.2所以函数的值域为0，12.2.已知函数f(x)=2cos4x3cos2x1,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.cos2x第18页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）解由题意知cos2x0，得2xk+，2解得xk（kZ）.24所以f(x）的定义域为xx,且xk,k.24又f（x)=2cos4x3cos2x1=(2cos2x1)cos2x1cos2xcos2x=cos2x-1=-sin2x.又定义域对于原点对称，f（x）是偶函数.

29、明显-sin2x-1，0，但xk,kZ.24-sin2x-1.2所以原函数的值域为y|1y1或1y0.223.（1）求函数y=sin32x的单一递减区间；（2）求y=3tanx的周期及单一区间.64解（1）方法一令u=2x,y=sinu，利用复合函数单一性，3由2k-2-2x+2k+2(kZ),得32k-5-2x2k+6（kZ),6-k-x-k+5(kZ),1212即k-xk+5（kZ).1212原函数的单一递减区间为k,k5(kZ).1212方法二由已知函数y=-sin2x3,欲求函数的单一递减区间，只需求y=sin2x的单一递加区间.3由2k-22x-32k+（kZ),2解得k-xk+5（

30、kZ).1212原函数的单一递减区间为k,k512（kZ）.12（2）y=3tanx=-3tanx,4466第19页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）T=4,y=3tanx的周期为4.64由k-xk+，2462得4k-4x4k+8(kZ),33y=3tanx的单一增区间是464k4,4k8(kZ）33y=3tan6x的单一递减区间是44k4,4k8(kZ).33一、填空题1.已知函数y=tanx在2,内是减函数,则的范围是.2答案-102.（2009徐州模拟）函数f(x)=sinx-3cosx(x-，0)的单一递加区间是.答案6,03.函数f(x)=tanx(0)的图象的相邻的两支截直线y=所

31、得线段长为,则f（）的值是.444答案04.函数y=2sin（-2x）(x0，)为增函数的区间是.6答案,5365.函数f(x)=lg(sin2x+3cos2x-1)的定义域是.答案x|kxk,k124给出以下命题：函数y=cos2x2是奇函数；3存在实数,使得sin+cos=3;2若、是第一象限角且,则tantan;第20页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）x=是函数y=sin5的一条对称轴方程；2x84函数y=sin2x的图象对于点,0成中心对称图形.312此中命题正确的选项是（填序号）.答案7.（2008江苏，1）f(x)=cos(x-)最小正周期为，此中0，则=.65答案108.（20

32、09东海高级中学高三调研）定义在R上的函数f(x):当sinxcosx时，f(x)=cosx;当sinxcosx时，f(x)=sinx.给出以下结论：f(x)是周期函数f(x)的最小值为-1当且仅当x=2k(kZ)时，f(x)取最大值当且仅当2k-x(2k+1)(kZ)时，f(x)02f(x)的图象上相邻最低点的距离是2.此中正确命题的序号是.(把你以为正确命题的序号都填上)答案二、解答题9.已知x,，若方程mcosx-1=cosx+m有解，试求参数m的取值范围.3解由mcosx-1=cosx+m得cosx=m1,作出函数y=cosx的图象（以以下图），m1由图象可得1m11,解得m-3.2m

33、110.设a=sin22x,cosxsinx,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=ab.4（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知常数0，若y=f(x)在区间,2上是增函数，求的取值范围；23（3）设会合A=x2，B=x|f(x)-m|2,若AB，务实数m的取值范围.x63解（1）f(x)=sin21cosx2x4sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)4=4sinx2+cos2x2=2sinx(1+sinx)+1-2sinf(x)=2sinx+1.（2）f(x)=2sin2x=2sinx+1,x+1,0.由2k-x2k+,22第21页共44页马井堂鼎浩大华（经典资

34、料）得f(x)的增区间是2k,2k,kZ.22f（x）在,2上是增函数，232,22,2.3-且2,0,3.223243）由|f(x)-m|2,得-2f(x)-m2,即f(x)-2mf(x)+2.AB，当x2时，63不等式f(x)-2mf(x)+2恒建立.f（x）max-2mf(x)min+2,f(x)max=f()=3,f(x)min=f()=2,m（1，4）.2611.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是,且当x0,时，f（x）=sinx.2（1）求当x-，0时，f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)在-，上的函数简图；（3）求当f(x)1时，x的取值

35、范围.2解（1）f(x)是偶函数，f（-x）=f（x）.而当x0,时，f(x)=sinx.2当x,0时，2f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.又当x,2时，x+0,，2f（x）的周期为，f（x）=f(+x)=sin(+x)=-sinx.当x-,0时，f(x)=-sinx.（2）如图：（3）因为f(x）的最小正周期为,1所以先在-，0上来研究f(x),即-sinx1,sinx-1,22第22页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）-5x-.66由周期性知，当xk5,k,kZ时，f(x)1.66212.已知a0，函数f(x)=-2asin2x6+2a+b,当x0,时，-5f(x)1.2（

36、1）求常数a,b的值；(2)设g(x)=fx2且lgg(x)0,求g(x)的单一区间.解（1）x0,，2x+6,7.266sin2x1,1，62-2asin2x-2a,a.6f(x)b,3a+b,又-5f(x)1,所以可得b=-5,3a+b=1,所以a=2,b=-5.2）由（1）知a=2,b=-5,f（x）=-4sin2x-1,6g(x)=fx=-4sin2x7-162=4sin2x-1.6又由lgg(x)0得g(x)1,4sin2x-11,6sin2x1,622k+2x+2k+5,kZ.666由2k+2x+2k+(kZ),得g(x)的单一增区间为：k,k（kZ）6626由2k+2x+2k+5

37、,266得g(x)的单一减区间为k6,k（kZ）.3第23页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）4.4函数y=Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用1.（2008天津理，3）设函数f（x）=sin2x，xR，则f（x）是（填序号）.2最小正周期为的奇函数最小正周期为的偶函数最小正周期为的奇函数2最小正周期为的偶函数2答案2.（2008浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y=cosx3(x0,2)的图象和直线y=1的交点个数是个.222答案23.为了获得函数y=2sinx，xR的图象，只需把函数y=2sinx，xR的图象上全部的点向平移单位，再把所36有各点的横坐标变成本来的倍.答案左

38、36下边有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.终边在y轴上的角的会合是|=k,kZ.2在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移获得y=3sin2x的图象.36函数y=sin(x-)在0,上是减函数.2此中，真命题的编号是.答案5.已知函数f(x)=2sinx(0)在区间,上的最小值是-2，则的最小值等于.34答案32第24页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）例1已知函数y=2sin2x,3(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin2x的图象可由y=s

39、inx的图象经过如何的变换而获得.3解（1）y=2sin2x的振幅A=2,周期T=2=，32初相=.3（2）令X=2x+,则y=2sin2x=2sinX.33列表，并描点画出图象：（3）方法一把y=sinx的图象上全部的点向左平移个单位，获得y=sinx的图象，再把y=sinx的图象上的点333的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变），获得y=sin2x的图象，最后把y=sin2x上全部点的纵坐标伸长到本来233的2倍（横坐标不变），即可获得y=2sin2x的图象.3方法二将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为本来的1倍，纵坐标不变，获得y=sin2x的图象；2再将y=sin2x的图象向左

40、平移个单位；6获得y=sin2x=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为本来的2倍，633获得y=2sin2x的图象.3例2如图为y=Asin（x+）的图象的一段，求其解析式.第25页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）解方法一以N为第一个零点，则A=-3，T=25=，3=2，此时解析式为y=-3sin（2x+）.点N,0，-2+=0，=，663所求解析式为y=-3sin2x.3方法二由图象知A=3，以M,0为第一个零点，P5,0为第二个零点.36302.列方程组解之得2536所求解析式为y=2.3sin2x3例3（14分）已知函数f(x)=A-Acos

41、(2x+2)(A0,0,0),且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻222两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.1）求;计算f(1)+f(2)+f(2008).解（1）y=A-Acos(2x+2),2且y=f(x)的最大值为2，A0,A+A=2,A=2.22又其图象相邻两对称轴间的距离为2,0,12=2,=.4分224f(x)=2-2cosx2=1-cosx2.2222y=f(x)过(1,2)点，cos22=-1.6分2=2k+,kZ.=k+,kZ.24又02，=.8分4(2)=,f(x)=1-cosx2=1+sinx.422f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.12分

42、又y=f(x)的周期为4，2008=4502,f（1）+f（2）+f（2008）=4502=2008.14分第26页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）1.已知函数y=3sin1x41）用五点法作出函数的图象；2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化获得的；3）求此函数的振幅、周期和初相；4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解（1）列表：描点、连线,以以下图：（2）方法一“先平移，后伸缩”.先把y=sinx的图象上全部点向右平移个单位，获得y=sinx的图象；再把y=sinx的图象上全部点的横坐标伸长444到本来的2倍（纵坐标不变），获得y=sin1x的图象，最后将y=sin1x

43、4的图象上全部点的纵坐标伸长到本来的3倍（横坐标不变），就获得242y=3sin1x4的图象.2方法二“先伸缩，后平移”先把y=sinx的图象上全部点的横坐标伸长为本来的2倍（纵坐标不变），获得y=sin1x的图象；再把y=sin1x图象上全部的22点向右平移2个单位，获得y=sin1(x-)=sinx的图象，最后将y=sinx的图象上全部点的纵坐标伸长到本来的3倍（横坐标不变），222424就获得y=3sin1x4的图象.2（3）周期T=2=2=4，振幅A=3，初相是-.142(4)令1x4=+k(kZ),22第27页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）得x=2k+3(kZ),此为对称轴方程.

44、2令1x-=k(kZ)得x=+2k(kZ).242对称中心为2k,0(kZ).22.函数y=Asin(x+)(0,|,xR)的部分图象以以下图，则函数表达2式为.答案y=-4sinx483.已知函数f(x)=Asinx+Bcosx(此中A、B、是实常数，且0)的最小正周期为2,并当x=1时,f(x)获得最大值2.31）函数f(x)的表达式；2）在闭区间21,23上能否存在f(x)的对称轴?假如存在,求出其对称轴方程;假如不存在,说明原因.44解（1）f(x)=Asinx+Bcosx=A2B2sin(x)由T=2=2知=，又因为f（x）最大值为2，所以f（x）=2sin（x+）.由x=1时f（x

45、）max=2，得sin=1，33=.f（x）=2sinx.66（2）令x+=k+（kZ）得对称轴方程为62x=k+1，由对称轴知足21k+123（kZ）3434即59k65且kZ，k=5.1212故在21,23上f（x）只有一条对称轴.44x=5+1=16，即对称轴方程为x=16.333一、填空题1.某三角函数图象的一部分以以以下图所示，则该三角函数为.第28页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）答案y=cos2x62.（2008全国理，8）为获得函数y=cos2x的图象，只需将函数y=sin2x的图象向平移个单位长度.3答案5左123.（2008湖南理，6）函数f(x)=sin2x+3sinx

46、cosx在区间,上的最大值是.42答案324.（2008四川理，10）设f（x）=sin（x+），此中0,则f(x)是偶函数的充要条件是.答案f(0)=05.函数y=3sin1x的周期、振幅挨次是23答案4、36.若函数f(x)=2sin(x)对随意x都有fx=fx，则f=.666答案-2或27.（2008辽宁理，16）已知f(x)=sinx(0),f=f,且f(x)在区间363.上有最小值，无最大值，则63答案1438.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为.答案2-12二、解答题9.能否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+5a-3在闭区间0,上的最大值是1？

47、若存在，求出对应的a值；若不存在，说822明原因.解y=1-cos2x+acosx+5a-382225a=cosxaa12482当0 x时，0cosx1，2第29页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）若a1,即a2,则当cosx=1时2ymax=a+5a-3=1,a=202(舍去).8213若0a1，即0a2,则当cosx=a时,22ymax=a251=1,a=3或a=-4(舍去).48a22若a0,即a0时,则当cosx=0时,2ymax=5a1=1,a=120(舍去).825综上所述,存在a=3符合题设.2x-）-2cos2x10.已知函数f(x)=sin（x+）+sin（2,xR(此中0)

48、.66求函数f(x)的值域；(2)若对随意的aR，函数y=f(x),x(a,a+的图象与直线y=-1有且仅有两个不同样的交点，试确立的值（不用证明），并求函数y=f(x),xR的单一增区间.解（1）f(x)=3sinx1cosx3sinx1cosx(cosx1)2222=23sinx1cosx-122=2sinx6-1.由-1sinx61,得-32sinx6-11.可知函数f(x)的值域为-3，1.（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f(x)的周期为,又由0,得2=,即得=2.于是有f(x)=2sin2x6-1,再由2k-2x-2k+(kZ)，262解得k-xk+3(kZ).6所以y

49、=f(x)的单一增区间为k,k3(kZ).611.（2008安徽理，17）已知函数f(x)=cos2x3+2sinxsinx.44求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间,上的值域.122第30页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）解（1）f（x）=cos2x+2sinxsinx344=1cos2x+3sin2x+（sinx-cosx）(sinx+cosx)2=1cos2x+3sin2x+sin2x-cos2x2=1cos2x+3sin2x-cos2x=sin2x.226周期T=2=.2由2x=k+(kZ),得x=k3(kZ).622函数图象的对称轴方程为x=k(

50、kZ).23(2)x,，2x,5.612263f（x）=sin2x6在区间12,上单一递加，在区间,上单一递减，332当x=时，f(x)获得最大值1,3又f12=-3f=1,222当x=12时，f(x)获得最小值-3.2函数f(x)在,上的值域为312,1.2212.（2008湖北理，16）已知函数f(t)=1t，g(x)=cosxf(sinx)+sinxf(cosx),x,17.1t12（1）将函数g(x)化简成Asin(x+)+B(A0,0，2)）的形式；（2）求函数g(x)的值域.解(1)g(x)=cosx1sinxsinx1cosx1sinx1cosx=cosx1sinx2sinx(1

51、cosx)2cos2xsin2x=cosx1sinx+sinx1cosx.cosxsinxx17，|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx.,12g（x）=cosx1sinx+sinx1cosxcosxsinx=sinx+cosx-2=2sinx-2.4第31页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）（2）由x17，得5x+5.12443sint在5,3上为减函数，在3,5上为增函数，4223sin5sin5,34sin3sinx4sin5x,172412即-1sinx4-2,2-2-22sinx-2-3,4故g（x）的值域为-2-2，-3）.4.5两角和与差的正弦、余弦和正切基础自测1.

52、已知sin=3,且,，那么sin2a的值等于.52cos2a答案322.已知tan(+)=3，tan(-)=5，则tan2=.答案4-73.设（0，），若sin=3，则2cos（+）=.254第32页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）答案154.（2008山东理）已知cos+sin43,则sin7=的值是.656答案455.函数y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期为.答案例1求2sin50+sin10(1+3tan10)2sin280的值.例2已知cos()=-1,sin(-)=2,且，求cos的值.2923222解222,022-,-.42424sin=1cos22=45,29co

53、s=1sin2=5223cos=coscos+sinsin=75.2222227例3(14分)若sinA=5,sinB=10,且A,B均为钝角,求A+B的值.510第33页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）解A、B均为钝角且sinA=5,sinB=10，510cosA=-1sin2A=-2=-25，55cosB=-1sin2B=-3=-310，6分10cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=25310-510=210分5105102又A,B,12分22A+B2由知，A+B=7.14分4例4化简sin2sin2+cos2cos2-1cos2cos2.2解方法一（复角单角，从“角”下

54、手）原式=sin2sin2+cos2cos2-1(2cos2-1)(2cos2-1)2=sin2sin2+cos2cos2-1(4cos2cos2-2cos2-2cos2+1)2=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-12=sin2sin2+cos2sin2+cos2-12=sin2+cos2-1=1-1=1.222方法二（从“名”下手，异名化同名）原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2-1cos2cos22=cos2-sin2(cos2-sin2)-1cos2cos22=cos2-sin2cos2-1cos2cos22=cos2-cos2sin21cos2)2=1

55、cos2-cos2sin21(12sin2)22=1cos2-1cos2=1.222方法三（从“幂”下手，利用降幂公式先降次）第34页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）原式=1cos21cos2+1cos21cos2-1cos2cos222222=1（1+cos2cos2-cos2-cos2）+1(1+cos2cos2+cos2+cos2)-1cos2cos2=1.4422方法四（从“形”下手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincoscos-1cos2cos22=cos2(+)+1sin2sin2-1cos2cos222=cos2(+)-1cos

56、(2+2)2=cos2(+)-12cos2(+)-1=1.221.不查表求sin220+cos280+3sin20cos80的值.解sin220+cos280+3sin20cos80=1(1-cos40)+1(1+cos160)+3sin20cos8022=1-1cos40+1cos160+3sin20cos(60+20)22=1-1cos40+1(cos120cos40-sin120sin40)+3sin20(cos60cos20-sin60sin20)22=1-1cos40-1cos40-3sin40+3sin40-3sin22024442=1-3cos40-3(1-cos40）=1.44

57、42.求值：（1）已知cos2=-4,sin=5,且,0,求cos的值；5213222（2）已知tan=43,cos(+)=-11,、均为锐角，求cos的值.14解（1）2+=2,2,0.22,42422sin2=1cos2(2)=3,5第35页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）cos2=1sin2(2)12,13cos=cos()()222=cos2cos-sin2sin22=(4)12-53=-63.51313565(2)tan=43,且为锐角，sin43,即sin=43cos,cos又sin2+cos2=1,sin=43,cos=1.770,0+,2sin(+)=1cos2()=53.1

58、4而=(+)-,cos=cos（+）-=cos(+)cos+sin(+)sin111+5343=1.14714723.在ABC中，角A、B、C知足4sin2AC-cos2B=7,求角B的度数.22解在ABC中，A+B+C=180,由4sin2AC-cos2B=7,22得41cos(AC)-2cos2B+1=7,22所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=1,B=60.24.化简：（1）2sinx+6cosx;44(2）2cos21.2tansin244解（1）原式=221sin4x3cosx224=22sinsinxcos6cosx644第36页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）=

59、22cosx=22cos(x-).6412（2）原式=cos2tan1cos211tan2=cos2=1.cos2sin2)(11sin2一、填空题1.已知tan(+)=2,tan=1,那么tan=.5444答案3222.sin163sin223+sin253sin313=.答案123.已知x,0,cosx=4,则tan2x=.25答案-2474.已知cos2=1（此中,0），则sin的值为.24答案-125.（cos12sin）(cos12sin)=.1212答案32若f(x)=2tanx-答案82sin2x12，则f的值为.xx12sincos227.（2008上海理，6）函数f(x)=3

60、sinx+sinx的最大值是.2答案28.求值：cos4+cos43+cos45+cos47=.8888答案32第37页共44页马井堂鼎浩大华（经典资料）二、解答题9.已知tan=1,tan=1,而且,均为锐角，求+2的值.73解tan=11,tan=11,73且、均为锐角，04,0.40+23.4又tan2=2tan=3,1tan2413tan(+2)=tantan2=74=1.1tantan211374+2=.410.若函数f（x）=1cos2x-asinxcos的最大值为2，试确立常数a的值.4sin(x)222解f（x）=2cos2x+asinxcosx4cosx22=1cosx+as