2022年新教材高中数学第2章平面向量及其应用6平面向量的应用6.1余弦定理与正弦定理2正弦定理素养作业北师大版必修第二册

1、PAGE PAGE 7第二章6.1 2A组素养自测一、选择题1在ABC中，a3，b5，sin Aeq f(1,3)，则sin B(B)Aeq f(1,5)Beq f(5,9)Ceq f(r(5),3)D1解析由eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，知eq f(3,f(1,3)eq f(5,sin B)，即sin Beq f(5,9)，选B2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则eq f(2sin2Bsin2A,sin2A)的值为(D)Aeq f(1,9)Beq f(1,3)C1Deq f(7,2)解析由正弦定理得eq f(2sin2Bsin2A,si

2、n2A)eq f(2b2a2,a2)eq f(2b2,a2)1eq f(2blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)a)2,a2)1eq f(7,2).3已知ABC的面积为eq f(3,2)，且b2，ceq r(3)，则sin A(A)Aeq f(r(3),2)Beq f(1,2)Ceq f(r(3),4)Deq r(3)解析由已知，得eq f(3,2)eq f(1,2)2eq r(3)sin A，sin Aeq f(r(3),2).4在ABC中，已知3b2eq r(3)asin B，且cos Bcos C，角A是锐角，则ABC的形状是(D)A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边

3、三角形解析由3b2eq r(3)asin B，得eq f(b,sin B)eq f(2r(3)a,3)，根据正弦定理，得eq f(b,sin B)eq f(a,sin A)，所以eq f(a,sin A)eq f(2r(3)a,3)，即sin Aeq f(r(3),2).又角A是锐角，所以A60.又cos Bcos C，且B，C都为三角形的内角，所以BC故ABC为等边三角形，故选D5(多选)在ABC中，若a2，b2eq r(3)，A30，则B可以为(AC)A60B30C120D150解析由正弦定理可知eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，sin Beq f(bsin A,a)e

4、q f(2r(3)f(1,2),2)eq f(r(3),2)，a1，此三角形无解方法二：a6，bsin A6eq r(3)，absin A故此三角形无解方法三：在角A的一边上确定顶点C，使ACb12，作CAD60，以顶点C为圆心，CBa6为半径画圆，如图所示，该圆与AD没有交点，说明该三角形无解二、填空题7在ABC中，若B2A，ab1eq r(3)，则A 30 .(提示：sin 2A2sin Acos A)解析由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)知，eq f(sin A,sin B)eq f(a,b)eq f(1,r(3)，所以sin Beq r(3)sin Asin

5、 2A所以cos Aeq f(r(3),2)，因为A为ABC的内角，所以A30.8在ABC中，若A120，AB5，BC7，则eq f(sin B,sin C)的值为 eq f(3,5) .解析由余弦定理可得49AC22525ACcos 120，整理得：AC25AC240，解得AC3或AC8(舍去)，再由正弦定理可得eq f(sin B,sin C)eq f(AC,AB)eq f(3,5).9在ABC中，Ceq f(,3)，a1，ceq r(3)，则sin A eq f(1,2) ，ABC的面积为 eq f(r(3),2) .解析由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)得s

6、in Aeq f(asin C,c)eq f(1sinf(,3),r(3)eq f(1,2).由ac得Aeq f(,6)，所以Beq f(,2)，所以SABCeq f(1,2)acsin Beq f(1,2)1eq r(3)sineq f(,2)eq f(r(3),2).三、解答题10已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(ac)(sin Asin C)(eq r(3)ab)sin B(1)求角C；(2)若a4，ABC的面积为eq f(4r(3),3)，求c.解析(1)因为(ac)(sin Asin C)(eq r(3)ab)sin B，由正弦定理得a2c2(eq r(3)

7、ab)b，即a2b2c2eq r(3)ab，由余弦定理得cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(r(3)ab,2ab)eq f(r(3),2).因为0Csin B，则A与B的大小关系为(A)AABBAsin B，2Rsin A2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)，即ab，故AB2(2021湖南长沙一中月考)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ceq r(3)，Ceq f(,3)，sin B2sin A，则ABC的周长是(C)A3eq r(3)B2eq r(3)C3eq r(3)D4eq r(3)解析已知sin B2sin A，由正弦定理可得，b2a，ceq r(3

8、)，Ceq f(,3)，则由余弦定理可得，coseq f(,3)eq f(a24a23,4a2)，解得a1，b2.故ABC的周长是3eq r(3).3(2021天津和平区期末)在ABC中，sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，则A等于(C)A60B90C120D150解析由正弦定理的推广eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R(R为ABC外接圆的半径)，得sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R)，从而原等式等价于b2c2a2bc.由cos Aeq f(b2c2a2,2bc)，得cos

9、Aeq f(1,2).又0A0)，由正弦定理，得eq f(2sin Asin B,sin C)eq f(24k3k,5k)16在ABC中，Aeq f(2,3)，aeq r(3)c，则角C的值为 eq f(,6) ，eq f(b,c) 1 .解析在ABC中，Aeq f(2,3)，aeq r(3)c，由正弦定理可得eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)，eq f(r(3)c,sinf(2,3)eq f(c,sin C)，sin Ceq f(1,2)，由于ca，且C(0，)，故Ceq f(,6)，则Beq f(2,3)eq f(,6)eq f(,6).ABC是等腰三角形，BC，则bc，

10、则eq f(b,c)1三、解答题7已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)b3，c3eq r(3)，B30.解析(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010eq r(3)，所以ab，C60或C120.当C60时，A90，由勾股定理得aeq r(b2c2)eq r(323r(3)2)6.当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.故a3，A30，C120或a6，A90，C60.8平面四边形ABCD中，边BC上有一点E，ADC120，AD3，sin ECDeq f(2,3)，DEeq r(3)，CEeq f(3r(3),4).(1)求AE的长；(2)已知ABC60，求ABE面积的最大值解析(1)在CED中，由正弦定理可得eq f(DE,sin ECD)eq f(CE,sin CDE)，即eq f(r(3),f(2,3)eq f(f(3r(3),4),sin CDE)，所以sinCDEeq f(1,2)，因为CEDE，所以CDE是锐角，故CDE30，又ADC120，所以ADE90，在直角ADE中，AE2AD2DE232312，所以AE2eq r(3).(2)在ABE中，AE2eq r(3)，ABC60，