五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版

1、五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版第十二讲 程问题牛吃草问题教学目标：1. 理解牛吃草这类题目的解题骤，掌握牛吃草问题的解题思.2. 初步了解牛吃草的变式题，将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识点拨：英国科学家牛顿在他普通算术一中有一道关于牛在牧场上吃草的问题即牛在牧场上吃， 牧场上的草在不断的、均匀的生后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题“吃”题要及个：的数量、牛的头数、时间难点在于随时间的增长，草也在按不变 的速度均匀生长，所以草的总量定吃草”问题是小学应用题中的难点解牛草问的要据 草的每天生长量不变； 每头牛每天的食草量不变； 草的总量 场原有的草量 生的草量，

2、其中草场原有的草量是一个固定值 新生的草量 每天生长量 数同片场的牛草问，般解可结：设定 头牛 1 天吃草量为“1草的生长速度 对应牛的头 多天数 应牛的头数 少天数 较多天数 少天数； 原来的草量 应牛的头数 的数 的生长速度 的天数；吃的天数 来的草量 牛头数 的生长速)；牛的头数 来的草量 的数 的生长速度“牛吃草”问题有很多的变例，抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问的本 质和解题思路，才能以不变应万，轻松解决此类问题例题精讲：板块一一块地的“吃草问”【 1】青一场牧喂羊放二七六全光改廿只九走方若二一可几粮（：廿的音“”同“”二之。【说题翻过是：牧长青 头 个期以完，者

3、 23 头牛 9 个期以完 若 头，几星才可吃（：场草天在长【析 设 头牛 1 天的吃草量为“1 头吃 6 共吃了 27 份；23 头牛吃 9 周共了 份第二种吃法比第一种吃法多吃了 份草，这 45 份是牧场的草 9 生长出来的，所以每周生长的草量 5 ，那么原有草量为：162 72 供 头牛吃，若有 15 头牛去吃周生长的草，剩下 头需要 (周可将原有牧草吃 完，即它可供 21 头牛吃 周1五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版27牛个星期23牛个3个期21头？个星期【固 牧上满草天草匀生这牧可 10 头牛 20 天供 15 头吃 10 天 25 头牛可几？【固【析 设 1 头牛 1

4、 天的吃草量为“ 牛吃 20 天吃了 份15 牛吃 天共吃了 150 份第一种吃法比第二种吃法多吃了 150 份，这 50 份草是牧场的草 20 天 长 出 来 的 ， 所 以 每 天 生 长 的 草 量 为 50 ， 么 原 有 量 为 ： 20 100 供 头牛吃，若有 5 头牛去吃天生长的草，剩下 20 头牛要 00 20 (天可将原有牧草吃 完，即它可供 25 头牛吃 5 天【 2】 牧上一匀生的地可供 27 头牛 6 周或 23 头牛 9 周，么可多头 牛 18 周【析 设 1 头牛 1 周的吃草量为“ 1 草的生长速度为 (23 6) ，原有草量为 (27 72 ，可 （头）牛吃

5、18 周【固 有块速长草，供 12 头吃 25 天，可 24 头牛 天那它供几牛 20 天？【固【析 设 头牛 1 天的吃草量为“那 25 天生长的草量为12 25 60 ，所以每天 生长的草量为 60 ；原草量为： 20 天里，草场共提供草 20 280 可以让 280 头牛吃 20 天【固 (2007 年湖省创杯)牧有片草每长一，知 70 头 24 天把吃，30 头牛 60 天把吃， 头 96 天可以草完【析 设 头牛 1 天的吃草量为“1那每天新生长的草量为 103，牧 10场原有草量为 30 1600 ，要吃 96 天，要 1600 头牛 3【固 一场牛 58 头7 天把草完若牛 50

6、 头， 9 吃定的长每相，头 牛日吃量相，么多头 6 天可把吃?【固【析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 个单，则每天生长的草量为 7) ，原有草 量为： 50 252 ， (252 22 (头【固 林里猴喜吃野， 只猴子在 9 周吃，21 只子可 12 周内吃，如2五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版要 周吃野，需多只子起（定果长速不变【析 设一只猴子一周吃的野果为“ 则野果的生长速是 (12 原有的野 果为 72 ，如果要 周吃光野果，则需有 72 33 只猴子一起吃【 3】 由天逐冷来牧上草不不长反以定速在少已某草上的 草供 20 头吃 5 天或供 15 头吃 6 天照计算

7、可供少牛 10 天？【 4】【析 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1么每天自然减少的草量为： 草量为： ；10 吃完需要牛的头数是：150 (头【固 由天逐冷来牧上草仅长反而固的度减。果块地的 可 25 头吃 4 天或供 16 头牛 6 天那可多头牛 12 天【固【析 设 1 头牛 1 天吃的草为“1牧上的草每天自然减少 4) ；【析 原来牧场有草 ，12 天吃完需要牛的头数是： (头或 （头【 5】 由天逐变，场的每天均的度少经算牧上草供 20 头牛吃 5 天或供 16 头吃 6 天那，供 11 头吃天【 6】【析 设 头牛 1 天的吃草量为1 天自减少的草量为 20 ，原有草为： 120

8、若有 头牛来吃草，每天草减1 ；以可供 11 头吃1 (天【固 由天逐冷来牧上草仅长反而固的度减。果块地的 可 25 头吃 4 天或供 16 头牛 6 天那可 10 头牛多天【固【析 设 1 头牛 1 天吃的草为“1牧上的草每天自然减少 4) 【析 原来牧场有草 【析 可供 头牛吃的天数是：108 (天)。【 7】 一匀生的地，可供 16 头吃 20 天或供 100 只吃 12 天果头一吃量 于 只羊天吃量那这草可 10 头和 75 只一吃少？【析 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1于一头牛一天吃草量等于 只羊一天的吃草量，所以 100 只羊 吃 12 天相当于 20 头牛吃 12 天那么每天

9、生长的草量为 草量为：20 120 10 头牛和 75 只羊 1 天一起吃的量，相当于 25 头牛天吃的草量25 头牛中，若有 10 头牛去 吃每天生长的草，那么剩下的 15 头牛要 天可以把原有草量吃完，即这块地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃 8 天【固 （ 2008 年希杯年二试）有片场草天生速相。 14 头 30 天可草完70 只羊 16 天可草吃 只一的草相于 1 牛天吃量)那， 头和 20 只多天将吃完【析 只羊一天的吃草量相当于 头牛天的吃草量可以设一只羊一天的食量为 1那么 14 头牛 天吃了 4 30 单位草量，而 70 只 16 天吃 16 单草量，所以草 场在每天内增

10、加了 草，原来的草量为 草，所 以如果安排 17 头牛和 20 只羊，每天食草 88 草，经过 (88 40) 天，可将草完。【固 一牧，天长速相。在片草可 20 头牛 12 天，可 60 只羊 24 天。3五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版如 1 头的草等 4 只羊吃量那 12 头牛 88 只一吃可吃天 【析 设 1 头牛 1 天的吃草量“160 只羊的吃草量等于1 牛的吃草量，88 只羊的吃量等于 22头 牛 的 吃 草 量 ， 所 以 草 的 生 长 速 度 (15 20 (24 ， 有 草 为 (20 10) ，12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃20 10) （天）【 8

11、】 有牧， 头 30 天可草完19 头牛 24 天可吃有干牛了 6 后，卖掉 4 头，下牛吃两便草完问原有少牛草草匀生)【 9】【析 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1那每天生长的草量为 量为： 现有若干头牛吃了 6 天后卖掉 头牛余下的牛再吃两天便将草吃完如果不卖掉这 4 头牛， 那 么 原 有 草 量 需 增 加 4 才 能 恰 好 供 这 些 牛 吃 8 天 所 牛 的 头 数 为 (头【固 一草，供 5 头吃 30 天，可 4 头牛吃 40 天如 头牛 30 天，增了 2 头 一吃还以吃天【固【析 设 1 头牛 1 天的吃草量为“那每天生长的草量为 ，原草量为： 如果 4 牛吃 30

12、天，么将会吃去 30 天的新生长草量以及 90 有草量， 此时原有草量还剩 ，牛的头数变为 6现在就相当于有草量 ，每天生长草量 1，那么 6 头牛吃几天可将它完？”易得答案为： 30 天)【 】一片速长牧如让和去15 天将草尽如果马羊吃，20 天将吃； 如让和去，30 天将吃已知和每的草的等马天吃草现 让、一去草几可将片草尽【 】【析 设 1 匹马 1 天吃草量为“1根题意，有：15 天马和牛吃草量 原有草量 天生长草量20 天马和羊吃草量 原有草量 天生长草量30 天牛和(等于马吃草量 有草量 新生长草量由 (1) (3) 可得： 天牛吃草量 有草量，所以：牛每天吃草量 原有草量 ；由可知

13、30 天羊吃草量 天新生长量，所以：羊每天吃草天新生长草量；设马每天 吃的草为 3 份将上述结果带入得：原有草量 ，以牛每天吃草量 这样如果同时放牧牛、羊、马，以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃： 【固 现有、吃块地草牛马需要 45 天吃，是、吃要 吃， 于牛羊需 90 天吃，牛羊起草速为吃的度求、一吃， 需少间【固【析 牛、马 45 天吃了 原有 天新长的牛、马 90 天吃了 2 原有 天新长的马、羊 60 天吃了 原有 天新长的牛、羊 90 天吃了 原有 天新长的 马 90 天吃了 原有 天新长的所以，由、知，牛吃了 90 ，吃了原有的草；再结合知，羊吃了 90 天，吃了 90

14、 天新长4五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版的草，所以，可以将羊视为专门新长的草所以，知马 60 天吃完原有的，知牛 90 天吃完原有的草现在将牛、马、羊放在一起吃；是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的.所需时间为1 1 1 ) 天 90 60所以，牛、羊、马一起吃，需 36 天模块二牛吃草题”的变形【 】一只发漏时已经了些，匀进船.果 10 人水3 小时完如 5 人 淘， 小淘.如要 小淘，安多人水【 】【析 设 1 人 1 小时淘出的水量速度是 (5 有量 (10 2) 24 ， 要求小时淘完，要安排 人淘水【固 一船现水，经了些，在匀速入内如 3 淘 40 分可淘完 6 人淘

15、水 16 分钟可把淘，么5 人淘水分可把水完【固【析 设 1 人 1 分钟淘出的水量是1 40 分的进水量为 24 ，以每分钟的 进水量为 ，那么有水量为： 人淘需要 把 水淘完【 】假设球新成资源长度一的此算球的源供 110 亿人生 90 年； 或 90 亿生 210 年为使类够断衍地上最能活少？【析 (90 (210 75 亿人。【 】画展 8:30 开门但有人排入，第个众到起若分来观一样， 果 3 个场， 点就不再人队如开 5 个场， 点 45 分就有排队求一 个众达时。【析 设每分钟 1 个入口进入的人数为 单位。8:30 9:00 30 分钟 个入口共进入 3 8:30 到 8:45

16、 共 15 分钟 5 个入共进入 5 分钟到来的人数 ，分钟到 来 5 。8：30 以原有人 3 以应排了 （分钟即第个 来人在 ：30【固 画 开，早人排入，第一观来时，每钟的众样， 果 3 个场， 点 分就再人排；果 5 个入口9 点 5 分没人队求 一观到的间【析 如果把入场口看作为“牛门原有的观众为“原有草量分钟来的观众为“草的增长速 度那么本题就是一个“牛吃”问题设每一个入场口每分钟通过“1份人，那么 4 钟来的人为 3 ， 1 钟来的人为 0.5 原有的人为 22.5 些人来到画展用时间为 (分所以第一个观众到达的时间为 8 点 15 分点评：从表面上看这个问题与“吃草”问题相离很

17、远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众 样多，类似于“草的生长速度入口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛吃草”问 题了解决一个问题的方法往往解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质【 】在地车中从台到面一向的动梯小乘扶时如每秒上一 台，么走 20 级台后达地；果秒上两台，么过 30 级台到 地站到面 级台【析 本题非常类似于“牛吃草问题将题目改为：5五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版“在地铁车站中，从站台到地面一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一 台阶，那么他走过 20 秒后到达面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 15 秒到达地面问： 从站台到地面有多少级台阶

18、？”采用牛吃草问题的方法电梯 20 秒所走的阶数等于小强多走的阶数2 20 阶，电梯的速度为0 阶/秒，扶长度为 2) （阶【固 两顽的子着动梯驶方行，男每可 3 级梯级，孩秒走 2 级 级结从梯一到另端孩了 秒女走 300 。：扶共有少 梯？【析 本题与牛吃草问题类似，其中扶的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于 草的增长速度。并且上楼的速度分成两部分一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯 的速度。自动扶梯的速度 （女孩每秒走梯级女孩走的时间男孩每秒走的梯级男孩走的时间） （女孩走的时间男孩走的时间(2 1.5 自动扶梯的梯总数女 孩每秒走的梯级女孩走的时间自动扶梯的速度

19、女孩走的时间 300 300 600 150 （）所以自动扶梯共有 级的梯级。【 】小明甲步去地出发段间小有去赶若自车每小时行 15 千米， 3 小时可追；骑托，小行 35 千米， 小时以上若汽，小行 45 米分能上【析 本题是“牛吃草”和行程问题中追及问题的结合小明 小时内走了 千米那么小明的速度为1 (千米时)追及距离为 )汽车去追的话需要： 30 (小时 45 (分钟)【 】快、三同从 A 地出沿一路往 B 地，途有车也同向进这辆 车别 7 分、 分钟、 分钟上骑人已快每钟 800 米，车分行 600 米中车速是少【 】【析 可以将骑车人与三辆车开始相差距离看成原有草量，骑车人的速度看成

20、草生长的速度，所以骑 车 人 速 度 是 ： (600 800 7) 米 / 分 ) ， 开 始 相 差 的 路 程 为 ： 400) （所以中速车速度为： 750 (分【固 有定度驶甲和车如甲以在速的 2 倍赶车5 小时后车上车；如甲以在度 3 倍追乙，3 小后车上车，么果车现的度追 赶车问几小后车上车【固【析 分析知道甲车相当“牛赶乙的追及路程相当原有草量车相当“新生长的草 设甲车的速度为“ 1 那么乙 小走的路程为 2 所以乙的速度为 ，及路程为： 如果甲以现在的速度追赶乙，追的时间为： 7.5 )【 】甲、三同从 A 地出到 B 地去甲乙两的度别每时 60 千米和小 48 千米一卡同从

21、 B 地迎开，别它出后 6 小时7 小、 小时后 甲乙丙相，丙的度【析 相遇问题可以看成是草匀速减少过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速 度所以卡车速度为 (7 （千米/时程(60 （千米 丙车速度为： （千米时6五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版【固 小、南妮三同从校发公去新正两的度别每钟 20 米和 每钟 16 米在们发同，间公园面来分在们发 6 分、 分钟、 分先与新正、妮遇求妮速【析 当小新和风间相遇时正南落后新 6 米依题意知正南和风间走这 24 米需 7 (分钟)，正南和风间的速度和为： (米分，风的速度为： (米 分，学校到公园的距离为： 24 ()

22、以妮妮的速度为：168 (米分【 】一个满水水有一进阀三口相的水，果时开水阀一排 阀则 30 分钟把池水排，果时开进阀两排阀， 分钟水的排 完问关进阀且时开个水，要少钟能排水的？【 】【析 设一个排水阀 分钟排水量为1那么进水阀 1 分钟进水量为 水池原有水量为 关闭进水阀并且同打开三个排水阀，需要 15 (分 ) 才能排完水池的水【固 一蓄池 1 个进口 15 个出口水进口速入当中一的时如果 开 9 个出口9 小可把排果开 7 个水， 小时可把排果一 满水打全出口水那经 时 分水池好排【析 本题是牛吃草问题的变形设每个出水口每小时的出水量为 1则进水口每小时的进水量为： (18 ，半 池水的

23、量为： ，所以一池水的量为 72如果打开全部 15 个出水口，排水池所需要的时间为 7 7.2 小，即 7 小时 12 分钟【 】北京云库有0 个泄洞现水的位经过全线并水还以个变 速增，了洪需调泄的度假每闸泄的速相，测，打 一泄闸 个小以水降至全；同打两个洪， 个小后位降安 全据洪势需用 个小使位至全以，至需同时开洪的 数为少？【 】【析 此 题是牛吃草问题的变形，假设个泄洪洞每小时泄洪的量为 1 ，则水库每小时增加的水量为 0.5 ，原有的水量超安全线的部分有 ( 如果要用 2 个小时使水位降至安全线以下，至需要开1 0.5 泄洪闸【固 (2008 年希杯五级试)一蓄池了 9 根相的管，中根

24、进管其 根出管开时进管均匀速不地蓄池水后，打出管，池 内水部光如同时开 根出管， 3 小时排池的；如仅开 5 根水， 则 小时能尽内水若要 时排池的，么当时开少出水 管【固【析 设 1 根出水管 1 小时排水的量为1么进水管每小时进水量为 内原有水量 4.5 小内排尽池内的水同时打 根水管【固 由环恶、候暖官水的在速减，了证库水，府定上 的流水以册水分向厅库行水已这个水的个门水是 同，果时开流水的 5 个门 30 小可使厅库量到来标，果 同打册水的 4 个闸 40 小可使厅水水达原的准如 24 小使 厅库量到来标，需时开个库几闸门【固【析 设 1 个闸门 1 小时的放水量每小时自然减少的水量为

25、 实际注入水量为：30 ；24 小蓄水需要打开的闸门数是： 24 (个7五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版【 】甲、三仓，各放数相的粉甲库一皮输机 12 个人5 小 时将仓内粉完乙仓用台带送和 28 个人3 小时可仓内粉完 丙库有 2 台带送，如要 2 小时丙库面搬同还多个人( 个人小工相，台带送每时效相，外皮输机工一往 搬面)【析 设 1 人 1 小时搬运的份数为1么一台皮带运输机 1 小时的工作量为 放的面粉总量为： ,丙仓库现有 2 台皮带输送机，如果要用 2 小把丙仓库内面粉搬完，需 (人【 】小方一有的子从缸往个样容的桶舀。一桶水缸 1 米小 方 3 次好桶满第个距缸 2

26、 米小用 4 次好桶满第个距水 有 米，么方多次能它满假小走的度变，从中出速也 不）【析 小方装第二个桶比第一个桶多用一杯水时多走了 路所以从杯中流出的速 度 是 0.2 （ 杯 / 米 是 1 桶 水 原 有 水 量 等 于 0.2 2.4 杯 ， 所 以 小 要 0.2) 次才能把第三个桶装满。【 】某建工开前进一砖开后天进同量砖如派 个工砌墙6 天以砖完如派 160 个人10 天可把用，在 120 名工砌 10 天后 又加 名工人起，需再几可把用？【 】【析 开工前运进的砖相当于“原有草工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草人砌砖 相 当 于 “ 牛 在 吃 草 所 以 设 1 名 工

27、人 1 天 砖 数 量 为 “ 1 ， 那 么 每 天 运 来 的 砖 为 250 数量为： 如果 120 名工人砌 天，将会掉 10 天新来的砖以及 950 原有的砖，还 400 的 原有的砖未用，变成 来砌砖，还需要： 400 天)【 】某建工开前进一砖开后天进同量砖如派 个工砌墙14 天以砖完如派 20 个人9 天可以砖完现在若名人了 6 天，走 6 名工人其工又作 4 天才砌，原有多工来墙【 】【析 开工前运进的砖相当于“原有草工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草人砌砖 相 当 于 “ 牛 在 吃 草 所 以 设 1 名 工 人 1 天 砌 砖 量 “ 1 ， 那 么 每 天 运 来

28、 的 砖 为 量为： 现在派若干名工人砌了 6 天后，走 6 工人，其余工人又工作 天才砌完，如果不调走 6 名工 人，那么这些工人共砌 10 天可完 210 ，以原有工人 210 名课后练习：练1 仓库原一存，后续货仓且天进的一多用样汽运出， 果天 4 辆车则 天恰好完如每用 辆车， 6 天好完仓里有存 货用 辆汽运需多天完练2【析 设 1 辆汽车 天运货为1 进货速度为 ，原有存货为4 ，仓 库里原有的存货若用 1 辆汽车运需要 8 （天）练3 一片盛草，天生速相，在片草 头可 15 天，或可 100 只羊 天， 4 只的草相于 l 牛吃草，么 8 牛 48 只羊起，以多天练4【析 设头牛

29、天的吃草量为“录条件，将它们转化为如下形式方便分析8五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版16 头牛 15 天 240原有草量 天生长的草量100 只羊25 头牛） 6 天 256： 原有草量6 天生长的草量从上易发现：1 天生长的草量10那么原有草量15010690；8 头牛与 48 只羊相当于 20 头牛吃草量，其中 10 牛去吃新生草，那么剩下的 10 头牛吃原有 草， 只需 9 天，所以 8 头牛与 48 只羊起吃，可以吃 9 天。练5 （2008 年“陈身”际少五级学邀赛有个池池存一水并还 有水断出为将池的抽，计调 台水同工作但于省间 考，际来 9 台水，样原划省 小时工师测

30、出如最调来1 台水，会原划省 小。样将池水干，了持中终有， 还该少下 台水。【析 设每台抽水机每小时抽1 个位的水，原计划需要 小时抽完则原计划 8 个小时的水量为 8 ， 台抽水机抽水量为 t 台抽水机时抽水量为t 所以， 小时的出水量为 8t t ， 个小时的水量为 t t 120 t ，而泉水的出水速度是一定的，所120 t (72 ) ，得 t ，所以每小时出水量为 (72 24) ，所以需要留下 6 台抽水。练6 一水原存量定河每匀入5 台抽水连 20 天抽，6 台样抽机续 天抽，要 6 天抽干要少同的水机【析 设 台抽水机 天的抽水为“ ”则进水速度 (20 ，原有水量为 20 60 若要 天抽干，要 60 台同样的抽机练7 某建工开前进批，工每运相数量砖如派 250 个人砖， 天 可把用，果 160 个工， 天可把用，现派 120 名人了 10 天后，增 加 名工人起，需再几可把用？练8【析 开工前运进的砖相当于“原有草工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草人砌砖 相 当 于 “ 牛 在 吃 草 所 以 设 1 名 工 人 1 天 砌 砖 量 “ 1 ， 那 么 每 天 运 来 的 砖 为 250 数量为： 如果 120 名工人砌 天将会掉 10 天新来的砖以及 950 有的砖还剩