矩阵基本性质完整版

1、3.3.矩阵的乘法矩阵基本性质BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N矩阵的基本性质的单位矩阵。矩阵的第第列的元素为A。我们或（）表x的单位矩阵。.矩阵的加减法=，对应元素相加减（2）矩阵加减法满足的运算法则a.交换律：+=+b.结合律：（+）+=+（+）+=-=.矩阵的数乘=，各元素均乘以常数（2）矩阵数乘满足的运算法则TOC o 1-5 h za.数对矩阵的分配律：（+）=+b.矩阵对数的分配律：（+）=+c.结合律：（）=（）d.?=(1),左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素(2)矩阵乘法满足的运算法则TOC o 1-5 h za.对于一般矩阵不满足交换律，只有

2、两个方正满足且有=b.分配律：(+)=+c.结合律：()=()d.数乘结合律：()=().矩阵的转置，()=A(1)矩阵的幂：1=,2=，+1=()(2)矩阵乘法满足的运算法则a.()=b.(+)=+c.()=()d.()=.对称矩阵：=即a=a；反对称矩阵：=即a=-a(1)设，为(反)对称矩阵，则土仍是(反)对称矩阵。(2)设，为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=(10)(10)det(10)(10)det(（1）（1）6x（3）设为（反）对称矩阵，则也是（反）对称矩阵。（4）对任意矩阵，则三1（+（3）设为（反）对称矩阵，则也是（反）对称矩阵。2且=+.）,三1（+）,三1（+）分别

3、是对称矩阵和反对称矩阵2.Hermite矩阵：=即a=a；反Hermite矩阵，=即a=-aTOC o 1-5 h z=(A)(+)=+c.()=一()d.()=e.()=f.()-=(-)(当矩阵可逆时).正交矩阵：若=，则，（）ex是正交矩阵（1）-=6x（2）det=1（3）6x8.酉矩阵：若=，则，（）6x是酉矩阵|det|=1exEX.正规矩阵：若=，则是正规矩阵；若=，则是实正规矩阵.矩阵的迹和行列式()=2=2=为矩阵的迹；|或det()为行列式()=();注：矩阵乘法不满足交换律TOC o 1-5 h z()=()=()(4)=,为酉矩阵，则()=()|+|=|+|+|=|+|

4、(7)|1=11(8)|=I|(9)|1=1III(8)(8)()=(+)（8）（8）=(-)=det(+)(ii=n=）其中(12)=logdet(+*),=一，则=E=1log(1）其中为*奇异分解值的特征值.矩阵的伴随矩阵*（1）设=由行列式|的代数余子式所构成的矩阵TOC o 1-5 h z*=*=|.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）（1）A的逆矩阵记作-,-=-=;（2）|H0（为非奇矩阵）时，-=厂1*（3）11H0且H0，则（）-=-1-（4）由-=，得（）-=-（5）（）-=（-）（6）若|H0，|-|=门（7）若是非奇上（下）三角矩阵，则-也上（下）三角矩阵TOC o 1-5 h z(-+-)-=(+)(+)-=(+)Woodbury恒等式:(+-)-=-(+-)-）为对(12)-=八-）为对.对角矩阵，矩阵为对称矩阵，正交矩阵，则-=(角矩阵或-=(,)=八，则=八E;-=八-1=2,