矩阵可对角化的条件

1、第二节矩阵可对角化的条件定义1如果矩阵工能与对角矩阵相似，则称可对角化。从而工可对角化。定理1H阶矩阵工可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。证明：必要性如果工可对角化，则存在可逆矩阵，使得将正按列分块得尸=苞，莅冗，从而有因此有期口=12曰），所以是工的属于特征值的特征向量，又由F可逆，知苞，耳，氏线性无关，故有抬个线性无关的特征向量。充分性设马工，,凡是工的理个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为A,则有一个可逆矩阵且有：次为A,则有一个可逆矩阵且有：。令，则F是因此有对角化。PAP注若块得产=苞,莅，,冗，于是有因此有对角化。PAP注若块得产=苞,莅，,冗，于是有也就是矩

2、阵工可，对正按列分必在口叫,卜中3区4犯从而必在口叫,卜中3区4犯从而a=12炉）。可见，对角矩阵的元素就是矩阵工的特征值，可逆矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。定理2矩阵工的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。证明：设友4丁儿是工的嵇个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量，现对嵇作数学归纳法证明以线性无关。当陋=1时，由于特征向量不为零，因此定理成立。假设工的微7（酬0个互不相同的特征值对应的个特征向量是线性无关的。设九4,口儿是工的脸个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量。又设月苍十月凡十+噎4一卬戈=0的基础解系所含向量个数不超过特征

3、值4的重数。证明：用反证法。由于无是的属于特征值4的特征向量当且仅当是齐次线性方程组（44一出戈二0的非零解，因此对应于的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组（44一用戈二的基础解系所含向量个数相等。设为，笈1犷1药是齐次线性方程组的一个基础解系,且假设c必，则有儿二4药G=12。现将扩充为一个内维线性无关向量组爸名,苞冗洪中未必是工的特征向量，但有%（酬=+L是一个融维向量，从而可由向量组西，在,男，牙，耳线性表示，即：乩%一a1融为十的第、十十%w匕+叫+加支产式加T+1J-，用）因而有：*左卜,为氏十,瑞=其中4有七个。令F寸4上，并将（2）式右端矩阵分块表示，则1PW4p1ap=

4、有得得,由相似矩阵有相同的特征多项式，得工的特征多项式为:户为=4-kAF=一竽4八=口-4阂眼厂匐=&4）%上k工其中其0=一阕是义的抬t次多项式。从而4至少是工的（上）重特征值，与是七重特征值矛盾。所以。定理5抬阶矩阵工可对角化的充分必要条件是：的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数（即工的每个特征值上对应的齐次线性方程组=的基础解系所含向量个数等于该特征值的重数,也即工的每个特征子空间匕的维数等于该特征值人的重数）。证明：设H,，其中儿&r两两不同，且有充分性由于对应于书的特征向量有G个线性无关，又携个特征值互异，因此工有抬个线性无关的特征向量，故工可对角化。4工

5、的重数,似。例角化？-14工的重数,似。例角化？-1112-10,求工的特征值和特征向量，并判断是否可对必要性（反证法）设有一个特征值z所对应的线性无关的特征向量的最大个数则工的线性无关的特征向量个数小于我，故不能与对角矩阵相工十1解：由解：由重特征值）。m5得工的特征值为4=T4=A=1（二，即:得基础解系为哲=叵-0丁，从而出的属于特征值儿二一1的特征向量为（为任意非零常数）。当当=4=1时，由，即：0-2x1得基础解系为耳二口,0口，从而工的属于特征值为=i的特征向量为（电为任意非零常数）。由于工的特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数小于特征值的重数，故工不可对角化。d=1巳

6、知3d=1巳知330（二重特征值）。6”,判断工能否对角化？若能对角化，求可逆矩阵F，使得F-i力F为对角阵。（二重特征值）。当儿三一2时，由，即:-0得基础解系为为=【3工歼为任意非零常数）。从而出的属于特征值4=-2的特征向量为（-0得基础解系为为=【3工歼为任意非零常数）。从而出的属于特征值4=-2的特征向量为（当当=4=1时，由，即:得基础解系为也=【一2，印及，从而工的属于特征值=&=1的特征向量为网及十七凡（为任意不全为零的常数）。由于工的每个特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数等于特征-5-2-5-2，则例4设工是阶矩阵,乂C），则例4设工是阶矩阵,乂C），判断是否可

7、对角化。解：设工的特征方程眼*卜口的两个根为友4，则，故有尸=而兀&卜值的重数，故且可对角化。令两个不同的特征值，从而工可对角化。例5设实对称矩阵1-1-例5设实对称矩阵1-1-1-11-1-1-1-11-1-1-1-11A=，问工是否可对角化？若可对角化，求矩阵F,使得Ei力F为对角阵，并求3为正整数）。解：由得工的特征值为解：由（三重特征值）。当4=一2时，由，即:得基础解系为WHLLLif,从而工的属于特征值4=-2的特征向量为（为任意非零常数）。当=2时，由，即:得基础解系为工=LLQf,从而工的属于特征值为=4=4=2的特征向量为（为任意不全为零的常数）。由于工的每个特征值对应的齐次

8、线性方程组的基础解系所含向量个数等于特征值的重数，故工可对角化。令,iiii11-100,iiii11-10010-10100-111f1-10010-10100-1例设内阶矩阵工满足（称为幂等矩阵），证明：的特征值只能为。或1,并且可对角化。证明：设无是的属于特征值金的特征向量，则工厂必三用出加工,由x=o,得，所以幂等矩阵的特征值只能为。或1。设秩（司=T，当秩时，卅=。，故工可对角化且；当秩（闻=制时,工可逆，由H=工得工=4,故可对角化且；现设oo是。当特征值办=1时，其特征矩阵的秩为片一尸。这是因为由*一=5（4T）=J所以尸（男）十乜一用甩；又尸十7）2/十出-司）=尸出）=用，因而，从而有再由可得对应于的线性无关的特征向量的最大个数为设工的属于