信号系统教材课后习题答案

1、第6章 系统及系统的时域分析1. 解：由于系统(1)不满足分解性；系统(2)不满足零输入线性；系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。 对于系统(4)，如果直接观察 关系，似乎系统既不满足齐次性，也不满足叠加性。但考虑到令=0时，系统响应为常数，若把它看成是由初始状态引起的零输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的，故系统(4)是线性系统。2. 解：(1)已知，设 ，则其零状态响应为，显然 ，故该系统是时不变系统。 (2) 已知，设 ，则其零状态响应为，显然 ，故该系统是时不变系统。3. 解：对于（1）（4），由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关，因此都是因果系统。而

2、对于（5），系统任一时刻的零状态响应都与该时刻以后的激励有关。响应在先，激励在后，这在物理系统中是不可能的。因此，该系统是非因果的。 （6）也是非因果的，因为如果 ， 则有 ， 可见在区间上，即零状态出现于激励之前，因而该系统是非因果的。4. 解：（1）显然，无论激励是何种形式的序列，只要它是有界的，那么也是有界的，因果该系统是稳定的。（2）若，显然该激励是有界的，但 ，它随时间无限增长，故该系统是不稳定的。5. 解： （1）特征方程为：，得特征根：，因而，可设零输入响应为：代入初始条件得： 联立以上两式，解得 所以，系统的零输入响应为： （2） 特征方程为：，得特征根： 因而，可设零输入响应

3、为： 代入初始条件得： 联立以上两式，解得 所以，系统的零输入响应为： 6. 解:（1） 将代入方程，由于方程右边没有冲激信号及其导数，所以系统在起始点（从状态到状态）没有发生跳变。 从而可知：（2）将代入方程，由于，即方程右边有冲激信号，所以系统在起始点（从状态到状态）会发生跳变。根据奇异函数匹配法的原理，可设：。（注意：这里不代表单位阶跃信号，只是借用它表示在点有一个单位的跳变量。） 从而有：代入原方程可得： 解得： 故 （3）将代入方程，由于，即方程右边有冲激信号，所以系统在起始点（从状态到状态）会发生跳变。 根据奇异函数匹配法的原理，可设：从而有：，代入原方程可得：解得：故： ，7.

4、解： （1）求零输入响应： 由已知条件有 特征方程： 特征根为： ，故可设零输入响应（齐次解）为：代入初始条件，并求解得， 故 （2）求零状态： 依题意，可设齐次解 ，又由于时，易知是方程的一个特解。 故零状态响应为：为了确定待定系数，将代入原方程，有： 根据奇异函数匹配法，当时，可设：，则： ，代入方程，平衡两边相同项的系数得 故 ， 代入表达式，可解得：， 故 （3）全响应 ，其中：零输入响应为： 零状态响应为：自由响应为： 强迫响应为：8. 解：（1）设当激励为时，系统的零输入响应为、零状态响应为，则系统全响应为： eq oac(,1)系统的初始状态保持不变，根据LTI系统的性质，当激励

5、为时全响应为： 联立式 eq oac(,1)、 eq oac(,2)，可得： eq oac(,3)又知，用经典法解式 eq oac(,3)所示的方程，可得 从而，系统的零输入响应为： （2）由（1）不难看出，系统的单位冲激响应所以，根据卷积积分法，当激励为时，零状态响应为：又由于系统的初始状态保持不变，所以系统的零输入响应仍为，故系统的全响应为： 9. 解：依题意，对于初始状态为零的LTI系统，在激励作用下的响应为：则在激励作用下的响应为： 由于，故有：又由已知条件：，从而得： 故该系统的单位冲激响应为： 10.解：（1）时刻，开关位于“1”，电路处于稳定状态，不难得到：， ， 从而可知：时刻

6、，开关自“1”转至“2”，电容电压和电感电流不会突变，故有：，而电感电压要发生变化，有KVL可知：从而可知： 综上所述，有： ，（2）时，由KVL可知：方程两边求导并将代入，可得： 由于，且时，所以系统微分方程为： 其特征方程为：，得特征根：显然0是方程的一个特解，故全响应可设为：代入初始条件，解得： 代入上式，并化简，得系统的全响应为： （3）根据（2），不难得到，在时间内，系统微分方程为： 其中， ，这可表示为代入系统微分方程，得： 根据奇异函数匹配法的原理，可设：从而有：， 代入原方程可得：解得： 故： ，可见，与（1）的结果一致。11. 解：为了求，将已知条件及代入，并化简得易知，用“

7、经典法”可求得系统的单位冲激响应为： 从而进一步可以得到系统的阶跃响应为： 12. 解：依题意，不难得到电路的微分方程为： 作用于系统时，对应得到的系统冲激响应，从而有： 特征方程为：，得特征根： 可设齐次解：初始状态： 用奇异函数匹配法，设，则： 代入方程，得： 解得： 故 ，即 ，从而有又因为冲激响应中含有分量，故所求冲激响应为： 进一步可得系统阶跃响应为：13.解：根据串、并联系统的特点，不难得到整个系统的冲激响应为： 14. 解： （1）依题意，可得： 先计算：由卷积积分的性质，可得： 故有：也可以写作： 当时， 当时，（2） 依题意，可得： 当时，要，即： 故有： 15. 解：依题意

8、，可得此差分方程为： 且从而，用“经典法”不难得到方程的解形如：， 由得，于是有：， 所以，当时，得 ，16. 解： （1）利用“卷积和”求LTI离散系统的零状态响应（2）利用“卷积和”求LTI离散系统的零状态响应17. 解：方法1：方法2：18. 解：（1）根据上图列出差分方程： 整理后得到： （2）单位序列响应满足 由迭代法，可得初始条件： 特征方程为： 特征根为： 可设单位序列响应为：将初始条件代入，得 ，解之，得从而得系统的单位序列响应为 进一步得系统的阶跃响应为（3）激励为，系统的零状态响应为：7 时域连续系统的频域分析1. 解：输入信号的频谱为：b系统的频率响应为：则输出信号的频谱

9、为： 输出信号为： 2. 解：输入信号的频谱为： 系统的频率响应为：则输出信号的频谱为：输出信号为：3. 解：由于激励是在时刻接入系统的，故不存在零输入响应，即全响应就是零状态响应，且是正弦稳态响应。式中，又由于，可得：4. 解：对微分方程两边作傅里叶变换 得系统的频率响应为： 单位冲激响应为： 5. 解：对输入信号求傅里叶变换对单位冲激响应求傅里叶变换得到该系统的频率响应 输出信号的频谱为：对其求傅里叶反变换得输出信号 6. 解：（1）对微分方程两边作傅里叶变换可得频率响应 （2）单位冲激响应为： （3）当输入为时，则输出信号的频谱为：输出信号为： 7. 解：输出的傅里叶变换为： 则输入的傅

10、里叶变换为：对求傅里叶反变换，得： 8. 解：由电路图可得： 系统函数为： 欲使系统无失真传输信号，应满足如下条件： 可见，当时，可满足此条件，有 ，所以 9. 解：由电路图可得： 系统函数为： 欲使系统无失真传输信号，应满足如下条件： 可见，当时，可满足此条件，有 ，所以 10.解：已知 由于是由2个频率的正弦分量组成。频率为20的分量能通过该低通滤波器，频率为40的分量不能通过。故输出为： 11. 解：分别讨论正弦信号和非正弦周期信号的情况。（1）正弦信号 : 若有激励 系统的零状态响应为： 由此可得，LTI系统对正弦激励的响应为与激励同频率的正弦量，其振幅为激励的振幅与模值的乘积，其相位

11、为激励的初相位与相位的和。（2）非正弦周期信号 :若有激励 式中，。系统的零状态响应为：式中，。可以看出，当周期信号作用于LTI系统时，其零状态响应仍为周期信号，周期和相同，且不会产生新的谐波分量或新的频率分量。12. 解：对输入信号化简得：即输入信号包含了三个频率成分，以及。由于系统传输函数是截止频率为120的理想低通滤波器，则只能让的频率分量通过，而和无法通过，故。13. 解：对输入信号求傅里叶变换得：由于 可得：对其求傅里叶反变换得：可见，经过传输信号引起了失真。 第8章 时域连续系统的复频域分析1. 解： （1）对方程两边取拉普拉斯变换 即 系统响应为 （2）对方程两边取拉普拉斯变换

12、即 系统响应为2. 解： 对方程两边取拉普拉斯变换即 则则 全响应为3. 解： 由图列写回路方程整理得 将条件代入得 （1）当时，所以 （2）当时，所以 4. 解： （1） , 系统函数为所以 由 所以，把初始状态代入得 即 将代入得全响应为 即 5. 解： 零状态响应的电路s域模型如题5解图（a）所示。用分压公式，则象函数为 所以 零输入响应的s域模型如题5解图（b）所示。用节点法，有 所以 全响应为 6.解： 电路初始值 , 运算电路图如题解图8-6所示。根据运算电路图计算得 即 7. 解：（1）系统直接模拟框图如题7解图（a）所示。 （2）系统直接模拟框图如题7解图（b）所示。8. 解：

13、（1） ） 直接模拟框图如题8解图（a）所示。 ） 串联（级联）模拟框图如题8解图（b）所示。 ） 并联模拟框图如题8解图（c）所示。 （2） 直接模拟框图如题8解图（d）所示。 ） 串联（级联）模拟框图如题8解图（e）所示。 ） 并联模拟框图如题8解图（f）所示。9. 解： 用梅森公式求解。（1）求特征行列式。 先求回路，共4个，分别是 再求两两不接触的回路，有2组，分别是 没有3个以上互不接触的回路。由此得出（2）前向通路共有2条。第一条：，没有与第一条通路不接触的回路，所以；第二条：，与第二条通路不接触的回路是，故。（3）用梅森公式求解。 由梅森公式得系统函数为 10. 解： （a）由电

14、路图（a）所示得电压传输函数令得 当时， 当时，当时， 图（a）所示电路的频响曲线如题解图（a）所示。（b）由电路图图（b）所示得电压传输函数 令得 当时， 当时，当时， 图（b）所示的曲线如题解图（b）所示。11. 解： （a）由于在虚轴上有单极点，所以系统不稳地。（b）系统函数为真分式，极点都在左半平面，所以系统是稳定的。（c）系统函数分子分母的阶数相同，极点都在左半平面，所以系统是稳定的。（d）因为分子的阶数大于分母的阶数，冲激响应中必含有的导数项，所以系统不稳定。12. 解： R-H(罗斯-霍维茨)阵为 阵列中第一列元素符号无变化，由罗斯-霍维茨判据可知，系统稳定，具有4个负实部特征根

15、。R-H阵为 阵列中第一列元素的符号有改变，且变化了两次（从6变到，又从变到43），故由罗斯-霍维茨判据可知，系统不稳定，有2个正实部特征根，有3个负实部特征根。13. 解： 系统函数为 由罗斯阵列可知，要使系统稳定，应有。第9章 时域离散系统的z域分析1. 解：(1) 对方程两边进行z变换得 运用部分分式法得 由知，是因果序列，查教材表4-1得 （2） 对方程两边进行z变换得 当时，运用部分分式法得 查教材表4-1得 总结得到 （3） 对方程两边进行z变换得当时，运用部分分式法得 查教材表4-1得 总结得到 （4）对方程两边进行z变换得当时，运用部分分式法得 查教材表4-1得 总结得到 2.

16、解： （1） ，极点：，零点：设，零极点分布图如题2解图（a）所示。已知等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度，由题2解图（a）得到 因为，所以，故。所以，故是一个全通网络。（2）只有选择才能使系统因果稳定。设，极零点分布图及收敛域如题2解图（b）所示。 （a） （b）题2解图3. 解： （1） 对方程两边进行z变换，得 因此 零点：=0极点：令=0，求出极点，=，=，零极点分布图如题3解图所示。 题3解图（2）限定系统是因果的，的收敛域必须包含，即，求出其单位脉冲响应，。 因为是因果的，查教材表4-1得到 （3）限定系统是稳定的，的收敛域必须包含单位圆，即，求出其单位脉冲响应，。由（2）的结论

17、， 由收敛域得对应的原序列为左边序列，对应的原序列为右边序列，查教材表4-1得到4. 解： （1） 对方程两边进行z变换，得 因此 因为单位脉冲响应为因果序列，查教材表4-1得 （2） 极点=0.9，零点=-0.9，零极点图如题4解图（a）所示，根据极零点分布定性画出的幅度特性如题4解图（b）所示。（3） （a） （b）题4解图5. 解：（1）用卷积法求网络输出 = ， ，=0 综上得到 （2）用z变换法求网络输出，利用部分分式法展开得由题意知，该系统为因果系统，所以系统在之后才有输出，查教材表4-1得6. 解：梳状滤波器系统函数的一般形式为： 其零点为： ，极点为： ，由题意知，要滤出的谐波

18、频率为： ，相应的数字频率点为： 根据梳状滤波器原理，应为的零点频率，所以 当时，；当时，。要同时滤出50Hz及其谐波100Hz的干扰，那么最小取4，所以所设计梳状滤波器的系统函数为： 其中的值决定极点的模值，值越接近1，极点越靠近单位圆，梳状滤波器通带越平坦，过渡带越窄。题6解图（a）、（b）、（c）分别给出了=0.5、=0.95时的幅频特性。题6解图7. 解：(1)零点，全部零点在单位圆内，所以为最小相位系统；(2)零点，全部零点在单位圆外，所以为最大相位系统；(3)零点，一个零点在单位圆内，一个零点在单位圆外，所以为混合相位系统；(4)零点，一个零点在单位圆内，一个零点在单位圆外，所以为

19、混合相位系统。8.解：已知，其极点，零点，所以，可以构成最小相位系统，只能作为全通系统的零点，所以全通系统的系统函数为：为了满足=，所以第10章 无限冲激响应数字滤波器的设计1 .解: 对差分方程两边进行变换，得： 所以，系统函数为：直接型 题1解图(a)（2）级联型 将的零、极点进行因式分解，得 按照上式可以有两种级联型结构： 或: 题1解图(b)（3）并联型 将展开成部分分式，得 题1解图(c)2. 解: 由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。（1）， 题2解图(a)（2） ， 题2解图(b)3. 解 (1）确定高通滤波器的技术指标 易知3dB截止频率为： 归一化边界

20、频率为： （2）转换成相应低通滤波器的技术指标 （3）设计归一化低通。题目要求采用巴特沃斯类型，故: 所以，取，查表得3阶巴特沃斯归一化低通为： （4）将转换成高通滤波器的系统函数 式中， 4. 解 （1）确定滤波器的技术指标 （2）求滤波器阶数和参数为了满足指标要求，取 （3）求归一化系统函数 其中，极点由下式求出：（4）将去归一化，求得实际系统函数其中，。因为，所以，。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数为实数。5 . 解 （1） 冲激响应不变法 代入， 双线性变换法 （2） 冲激响应不变法 代入， 双线性变换法 6 . 解 模拟滤波器的系统函数为： 的极点，根据

21、冲激响应不变法，数字滤波器的系统函数为： 的极点为： ， 所以，时，满足稳定条件。定性画出数字滤波器的幅频特性，如题6解图所示：题6解图 易知数字滤波器近似为低通滤波器。7 . 解 方法1：按题意可写出 故 即 原模拟低通滤波器以为通带中心，由上式可知，时，对应于，故答案（2）正确。方法2：根据双线性变换法的设计公式及模拟域低通到高通的频率变换公式求解。双线性变换法的设计公式为： 当时，这时，如果为低通，则亦为低通。如果将变换为高通滤波器： 则可将用双线性变换法变换成数字高通：这正是题目中给出的变换关系，所以数字滤波器的通带中心位于，故答案（2）正确。8 .解 （1）冲激响应不变法本题要求用巴特沃斯型模拟滤