矩阵代数基本学习知识

1、附录I矩阵代数基本知识矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。一、向量矩阵的定义将X，个实数可,可2,，/，。21M22,，。2，4P排成如下形式的矩形数表,记为如下形式的矩形数表,记为A%42%“21“22a2PTOC o 1-5 h zA=.anlan2%则称A为xp阶矩阵，一般记为A=(%)x，称均为矩阵A的元素。当二时，称A为阶方阵；若p=l,A只有一列，称其为维列向量，记为。21若=1,A只有一行，称其为p维行向量，记为当A为阶方阵，称。中出2,M”为A的对角线元素，其它元素称为非

2、对角元素。若方阵A的非对角元素全为0,称A为对角阵，记为diag(an,a22,a进一步，若。I=凡2=。=1，称A为阶单位阵，记为Li或A=I。如果将阶矩阵A的行与列彼此交换，得到的新矩阵是px的矩阵，记为孙12孙12a21a22称其为矩阵A的转置矩阵。若A是方阵，且A=A,则称A为对称阵；若方阵A二(%)心，当对一切ivj元素%.=0，则称41Cl2la22为下三角阵；若A为下三角阵，则称A为上三角阵。二、矩阵的运算对A=(4)“xp与B=也3”的和定义为：A+B=(%.+%)”.若。为一常数，它与矩阵xp阶矩阵A的积定义为：=(a%)”，3,若A=(须)，B=(4“，则A与B的积定义为：

3、qAB二(也)px&=1根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律:.加法满足结合律和交换律(A+B)+C=A+(B+C)A+B=B+A.乘法满足结合律(a/?)A=a(f3A),(AB)=(A)B=A(B)A(BC)=(AB)C.乘法和加法满足分配律a(A+B)=+aB,(a+/7)A=aA.+/7AA(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.对转置运算规律(A+B)=A+B,(aA)=(aA)(AB)=BA,(A)=A另外，若A=(*满足AA=AA=L则称A为正交阵。三、矩阵分块对于任意一个阶矩阵A,可以用纵线和横线按某种需要将它们划分成若干块低阶的矩阵，也可以看作是以

4、所分成的子块为元素的矩阵，称为分块矩阵，即：写成（AA）A0.若A和B都是方阵，则ACA0,R=Cr=A|b|.若A和B分别是xp和px的矩阵，则|I,+AB|=Ip+BA五、逆矩阵设A为阶方阵，若|A|wO,则称A是非退化阵或称非奇异阵，若|A|二O,则称A是退化阵或称奇异阵。若A是阶非退化阵，则存在唯一的矩阵B,使得AB=BA=I，B称为A的逆矩阵，记为B=A1逆矩阵的基本性质如下：.AA1=AA=I.二（A-y.若A和B均为阶非退化阵，则（AB）1=BA1.设A为阶非退化阵，b和a为维列向量，则方程:的解为Ab=ab=A-1a5|A+|A厂6.的解为Ab=ab=A-1a5|A+|A厂6.

5、若A是正交阵，则A-1=A.若A是对角阵，4=力伤(。11，。22：4)且，则A二由4g，%J)。.若A和B非退化阵，则AC_(A7-ACB1、00B1,=L，p，(AoV_rA-1cB)-BCA19.设方阵A的行列式|A|分块为:|A|AuA12A21A22若A”，A，2是方阵且是非退化，则|=|11|2212I=|221111-12-2221六、矩阵的秩设A为阶矩阵，若存在它的一个一阶子方阵的行列式不为零，而A的一切+1)阶子方阵的行列式均为零，则称A的秩为厂，记作狄(A)二r。它有如下基本性质：.狄(A)=0,当且仅当A=0；.若A为xp阶矩阵，贝iJOM(A)minO?,p)；.狄(A

6、)二旅(A)；.狄(AB)min(M(A),-攵(B)；.狄(A+B)1为二次型，其中%.二知是实常数；占，与是P个实变量。若A=(阳)xp为对称阵，X=(l,xJ，则Q=%3j=XAX/=1；=1若方阵A对一切XWO,都有XAX0,则称4与其相应的二次型是正定的，记为A0；若对一切XW0,都有XAX0,则称A与二次型是非负定的，记为A0。记AB,表示AB0；记AB,表示AB0。正定阵和非负定阵有如下性质：.一个对称阵是正(非负)定的当且仅当它的特征根为正(非负)；.若A0,则A1。；.若A0,则cA0,其中。为正数；.若A0,因它是对称阵，则必存在一个正交阵T,使TAT二山4g(4,4，4)

7、=A其中4,，4为A的特征根，T的列向量为相应的特征向量，于是A=TAT.若ANO(0),则存在A*0(0),使得A=A；A：称A：为A的平方根。实际上，因为A是对称阵，所以存在正交矩阵T和对角矩阵A=山华(4,4，)使得A=TAT。有A之0(0)可知4。(0),i=l,P。令A=A*=TdT,则有11f1,1,11A=TAyA-T=TAyTTAyT=A，A占由于A3的特征根口之0(0),i=l,，p,所以(0)o十、矩阵的微商设X=(X,X)为实向量，y=/(x)为X的实函数。则/(x)关于X的微商定义为：次x)dx8xP则定义次X)6X(dfdf次X)6X由上述定义不难推出以下公式：.若x=a，,%)