高考数学(理数)一轮复习学案7．2《一元二次不等式及其解法》(含详解)

1、72一元二次不等式及其解法1解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是_(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的_(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示2一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb(a0)的形式当a0时，解集为_；当a0时，解集为_若关于x的不等式axb的解集是R，则实数a，b满足的条件是_3一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为_不等式(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，

2、一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)(其中a0)的形式，其对应的方程ax2bxc0有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2(此时b24ac0)，则可根据“大于号取_，小于号取_”求解集(4)一元二次不等式的解函数、方程与不等式000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根x1,x2(x1x2)x1x2eq f(b,2a)无实根ax2bxc0(a0)的解集Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx24分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型方法：移项，通分

3、，右边化为0，左边化为eq f(f（x）,g（x）)的形式(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：eq blc (avs4alco1(f(f（x）,g（x）)0) f(x)g(x)0；eq f(f（x）,g（x）)0 f(x)g(x)0；eq f(f（x）,g（x）)0 eq blc(avs4alco1(f（x）g（x）0，,g（x）0；)eq f(f（x）,g（x）)0 eq blc(avs4alco1(f（x）g（x）0，,g（x）0)自查自纠：1(1)同解不等式(2)同解变形2eq blcrc(avs4alco1(x|xf(b,a)eq blcrc(avs4alco1(x|xf(b,

4、a)a0，b03(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xx1或xx2)eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(b,2a) (eq avs4al(2016梧州模拟)不等式eq f(2,x1)1的解集是()A(，1)(1，) B(1，)C(，1) D(1，1)解：因为eq f(2,x1)1，所以eq f(2,x1)10，即eq f(1x,x1)0，所以x1故选A (eq avs4al(2016青海模拟)不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是 ()A(，

5、2 B(2，2C(2，2) D(，2)解：当a2时，有eq blc(avs4alco1(a20，,0，) 所以2a2当a2时，原式化为40，恒成立所以20的解集为x|3x0的解集为 ()Aeq blcrc(avs4alco1(x|f(1,2)xf(1,3) Beq blcrc(avs4alco1(x|xf(1,3)Cx|3x2 Dx|x2解：由题意得eq blc(avs4alco1(f(5,a)32，,f(b,a)3（2），)解得a 1，b6，所以不等式bx25xa0为6x25x10，即(3x1)(2x1)0，所以解集为eq blcrc(avs4alco1(x|f(1,2)x0(a0)的解集为

6、(，x1)(x2，)，且x2x15eq r(2)，则a_解法一：由题意得，x1x2a，x1x2 6a2，24可得(x2x1)225a2，又x2x15eq r(2)，所以25a250，解得aeq r(2)，因为a0(a0，因为a3a，所以解不等式得x2a或x0，0，x2，x1x2，x1x2)(1)解下列不等式()x22x30；()x22x20解：()不等式两边同乘以1，原不等式可化为x22x30方程x22x30的解为x13，x21而yx22x3的图象开口向上，可得原不等式x22x30的解集是x|3x1()因为0，所以方程x22x20无实数解，而yx22x2的图象开口向上，可得原不等式x22x20

7、的解集为R(2)若关于x的不等式ax2x2a0，,0，)即eq blc(avs4alco1(a0，,18a20，)解得aeq f(r(2),4)，即a的取值范围是eq blcrc)(avs4alco1(f(r(2),4)，)故填eq blcrc)(avs4alco1(f(r(2),4)，)类型二二次不等式、二次函数及二次方程的关系(1)已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2，则不等式2x2bxa0的解集为()Aeq blcrc(avs4alco1(x|xf(1,2) Beq blcrc(avs4alco1(x|1xf(1,2)Cx|2x1 Dx|x1解：由题意知x1，x2是方程ax2bx

8、20的两根，且a0由韦达定理得eq blc(avs4alco1(12f(b,a)，,（1）2f(2,a)eq blc(avs4alco1(a1，,b1)所以不等式2x2bxa0，即2x2x10解得1xeq f(1,2)故选B点 拨：已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负(2)已知函数f(x)ax2(b8)xaab，当x(，3)(2，)时，f(x)0()求f(x)在0，1内的值域；()若ax2bxc0的解集为R，求实数c的取值范围解：()依题意知，3，2是方程ax2(b8)xaab0的两根，且

9、a4的解集为x|xb()求a，b；()解不等式ax2(acb)xbc4的解集为x|xb，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，且b1由根与系数的关系，得eq blc(avs4alco1(1bf(3,a)，,1bf(2,a) 解得eq blc(avs4alco1(a1，,b2)()不等式ax2(acb)xbc0，即x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2时，不等式的解集为x|2xc；当c2时，不等式的解集为x|cx2；当c2时，不等式的解集为(2)(eq avs4al(2018江苏模拟)已知函数f(x)x2axb(bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6

10、)，则实数c的值为_解：由题意知f(x)x2axbeq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)eq sup12(2)beq f(a2,4)因为f(x)的值域为0，)，所以beq f(a2,4)0，即beq f(a2,4)，所以f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)eq sup12(2)又因为f(x)c，所以eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)eq sup12(2)0，则eq f(a,2)eq r(c)xeq f(a,2)eq r(c)所以eq blc(avs4alco1(f(a,2)r(c)m， ,f(a,2)r(c)m6)得2eq r

11、(c)6，所以c9另解：由题意知f(x)x2axeq f(a2,4)又f(x)c的解集为(m，m6)，所以方程f(x)c0即x2axeq f(a2,4)c0的两根x1m，x2m6，则|x1x2|6eq r(（x1x2）24x1x2)eq r(（a）24blc(rc)(avs4alco1(f(a2,4)c)，解得c9故填9类型三分式不等式的解法解下列不等式(1)eq f(x1,2x1)1解：(1)原不等式可化为(x1)(2x1)0，所以1xeq f(1,2)，故原不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(x|1xf(1,2)(2)原不等式可化为eq f(x1,3x5)0，所以eq bl

12、c(avs4alco1(（x1）（3x5）0，,3x50，)所以eq blc(avs4alco1(f(5,3)x1，,xf(5,3)，)即eq f(5,3)x1故原不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(x|f(5,3)0，即eq f(x1（x2）,x2)0，所以eq f(3,x2)0，则x2故原不等式的解集为x|x0 x|1xe或xf(1,2)，故ABeq blc(rc(avs4alco1(1，f(1,2)故选B类型四和一元二次不等式有关的恒成立问题设函数f(x)mx2mx1(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x1，3，f(x)m5恒成立，求m的取

13、值范围解：(1)若m0，显然10恒成立；若m0，则eq blc(avs4alco1(m0，,m24m0)4m0所以m的取值范围为(4，0(2)方法一：要使x1，3时，f(x)m5恒成立，需meq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)eq f(3,4)m60，x1，3令g(x)meq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)eq f(3,4)m6，x1，3则需g(x)max0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m6，所以7m60，解得meq f(6,7)，所以0meq f(6,7)当m0时，60恒成立当m

14、0时，g(x)在1，3上是减函数所以g(x)maxg(1)m60，解得m6，所以m0综上所述，m的取值范围为eq blc(rc)(avs4alco1(，f(6,7)方法二：f(x)m5恒成立，即m(x2x1)60，所以meq f(6,x2x1)，在x1，3上恒成立又函数yeq f(6,x2x1)eq f(6,blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)sup12(2)f(3,4)在1，3上的最小值为eq f(6,7)，所以只需m0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c0；当a0时，eq blc(avs4alco1(a0，,0；)不等式ax2bxc0的解集是全体实数(或恒

15、成立)的条件是：当a0时，b0，c0；当a0时，eq blc(avs4alco1(a0，,0恒成立，只需0，即(a4)24(52a)0，解得2a0，,x24x31，)即eq blc(avs4alco1(1x3，,x2，)故函数f(x)的定义域为(1，2)(2，3)故选D2关于x的不等式x2px20的解集是(，1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)，则a的值为()A1 Beq f(1,2) C1 D2解：由题意得a0，且不等式等价于a(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)0，由解集的特点可得a0且eq f(1,a)eq f(1,2)，故 a2故选

16、D4(eq avs4al(2018福建模拟)若集合Ax|ax2ax10，,a24a0，)得0a4，所以实数a的取值范围是0，4故选D5不等式(2x1)(1|x|)1或x1或1xeq f(1,2)C1xeq f(1,2) Dxeq f(1,2)解：原不等式等价于eq blc(avs4alco1(2x10，,1|x|0)或eq blc(avs4alco1(2x10)所以eq blc(avs4alco1(xf(1,2)，,x1或x1)或eq blc(avs4alco1(xf(1,2)，,1x1或1xeq f(1,2)故选B6(eq avs4al(2018重庆模拟)关于x的不等式x2 2ax8a20)

17、的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a ()Aeq f(5,2) Beq f(7,2) Ceq f(15,4) Deq f(15,2)解：由条件知x1，x2为方程x22ax8a2 (x2a)(x4a)0的两根，则x12a，x24a，4a2a15，得aeq f(5,2)故选A7(eq avs4al(2018青岛模拟)不等式2x23|x|350的解集为_解：2x23|x|3502|x|23|x|350(|x|5)(2|x|7)0|x|5或|x|5或x5故填x|x58关于x的不等式eq f(4xm,x22x3)0，所以原不等式即4xm2(x22x3)恒成立，所以m2x28x6恒成立，设f(x)

18、2x28x6，则需mf(x)min而f(x)2x28x62(x2)22，所以f(x)min2，所以m0的解集是eq blcrc(avs4alco1(x|f(1,2)xa5的解集解：(1)依题意知，a3，即eq f(12x,x1)30，整理得eq f(（x2）,x1)0，即(x1)(x2)0，解得2x1故不等式的解集为x|2x110(eq avs4al(2018池州模拟)已知函数f(x)eq r(ax22ax1)的定义域为R(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为eq f(r(2),2)，解关于x的不等式x2xa2a0，,（2a）24a0，)解得00，所以当x1时，f(x)mineq

19、 r(1a)，由题意，得eq r(1a)eq f(r(2),2)，所以aeq f(1,2)所以x2xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq f(1,2)0，即(2x1)(2x3)0，解得eq f(1,2)x1(aR)解：(1)由题意，a0，则f(x)aeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2a)eq sup12(2)eq f(14a2,4a)当a0时，不符合题意；当a1，即ax2xa1，(x1)(axa1)0，当a0时，解集为x|x1；当a0时，(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(1,a)0，解集为eq blcrc(

20、avs4alco1(x|x1或x1f(1,a)；当aeq f(1,2)时，(x1)20，解集为；当eq f(1,2)a0时，(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(1,a)0，解集为eq blcrc(avs4alco1(x|1x1f(1,a)；当aeq f(1,2)时，(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(1,a)0，解集为eq blcrc(avs4alco1(x|1f(1,a)x0的解集为(1，t)，记函数f(x)ax2(ab)xc(1)求证：函数yf(x)必有两个不同的零点；(2)若函数yf(x)的两个零点分别为m，n，求|mn|的取值范围解：(1)证

21、明：由题意知a0，abc0，且eq f(b,2a)1，所以ca0，所以ac0，所以对于函数f(x)ax2(ab)xc有(ab)24ac0，所以函数yf(x)必有两个不同零点(2)|mn|2(mn)24mneq f(（ba）24ac,a2)eq f(（2ac）24ac,a2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,a)eq sup12(2)8eq f(c,a)4，由不等式ax2bxc0的解集为(1，t)可知，方程ax2bxc0的两个解分别为1和t(t1)，由根与系数的关系知eq f(c,a)t，所以|mn|2t28t4，t(1，)所以|mn|eq r(13)，所以|mn|的取值范围为(

22、eq r(13)，)72一元二次不等式及其解法1解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是_(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的_(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示2一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb(a0)的形式当a0时，解集为_；当a0时，解集为_若关于x的不等式axb的解集是R，则实数a，b满足的条件是_3一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为_不等式(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个

23、一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)(其中a0)的形式，其对应的方程ax2bxc0有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2(此时b24ac0)，则可根据“大于号取_，小于号取_”求解集(4)一元二次不等式的解函数、方程与不等式000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根x1,x2(x1x2)x1x2eq f(b,2a)无实根ax2bxc0(a0)的解集Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx24分式不等式解法(1)化分式不等式为标

24、准型方法：移项，通分，右边化为0，左边化为eq f(f（x）,g（x）)的形式(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：eq blc (avs4alco1(f(f（x）,g（x）)0) f(x)g(x)0；eq f(f（x）,g（x）)0 f(x)g(x)0；eq f(f（x）,g（x）)0 eq blc(avs4alco1(f（x）g（x）0，,g（x）0；)eq f(f（x）,g（x）)0 eq blc(avs4alco1(f（x）g（x）0，,g（x）0)自查自纠：1(1)同解不等式(2)同解变形2eq blcrc(avs4alco1(x|xf(b,a)eq blcrc(avs4alc

25、o1(x|xf(b,a)a0，b03(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xx1或xx2)eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(b,2a) (eq avs4al(2016梧州模拟)不等式eq f(2,x1)1的解集是()A(，1)(1，) B(1，)C(，1) D(1，1)解：因为eq f(2,x1)1，所以eq f(2,x1)10，即eq f(1x,x1)0，所以x1故选A (eq avs4al(2016青海模拟)不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xR恒成立，则实数a的取

26、值范围是 ()A(，2 B(2，2C(2，2) D(，2)解：当a2时，有eq blc(avs4alco1(a20，,0，) 所以2a2当a2时，原式化为40，恒成立所以20的解集为x|3x0的解集为 ()Aeq blcrc(avs4alco1(x|f(1,2)xf(1,3) Beq blcrc(avs4alco1(x|xf(1,3)Cx|3x2 Dx|x2解：由题意得eq blc(avs4alco1(f(5,a)32，,f(b,a)3（2），)解得a 1，b6，所以不等式bx25xa0为6x25x10，即(3x1)(2x1)0，所以解集为eq blcrc(avs4alco1(x|f(1,2)

27、x0(a0)的解集为(，x1)(x2，)，且x2x15eq r(2)，则a_解法一：由题意得，x1x2a，x1x2 6a2，24可得(x2x1)225a2，又x2x15eq r(2)，所以25a250，解得aeq r(2)，因为a0(a0，因为a3a，所以解不等式得x2a或x0，0，x2，x1x2，x1x2)(1)解下列不等式()x22x30；()x22x20解：()不等式两边同乘以1，原不等式可化为x22x30方程x22x30的解为x13，x21而yx22x3的图象开口向上，可得原不等式x22x30的解集是x|3x1()因为0，所以方程x22x20无实数解，而yx22x2的图象开口向上，可得

28、原不等式x22x20的解集为R(2)若关于x的不等式ax2x2a0，,0，)即eq blc(avs4alco1(a0，,18a20，)解得aeq f(r(2),4)，即a的取值范围是eq blcrc)(avs4alco1(f(r(2),4)，)故填eq blcrc)(avs4alco1(f(r(2),4)，)类型二二次不等式、二次函数及二次方程的关系(1)已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2，则不等式2x2bxa0的解集为()Aeq blcrc(avs4alco1(x|xf(1,2) Beq blcrc(avs4alco1(x|1xf(1,2)Cx|2x1 Dx|x1解：由题意知x1，x

29、2是方程ax2bx 20的两根，且a0由韦达定理得eq blc(avs4alco1(12f(b,a)，,（1）2f(2,a)eq blc(avs4alco1(a1，,b1)所以不等式2x2bxa0，即2x2x10解得1xeq f(1,2)故选B点 拨：已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负(2)已知函数f(x)ax2(b8)xaab，当x(，3)(2，)时，f(x)0()求f(x)在0，1内的值域；()若ax2bxc0的解集为R，求实数c的取值范围解：()依题意知，3，2是方程ax2(b8)

30、xaab0的两根，且a4的解集为x|xb()求a，b；()解不等式ax2(acb)xbc4的解集为x|xb，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，且b1由根与系数的关系，得eq blc(avs4alco1(1bf(3,a)，,1bf(2,a) 解得eq blc(avs4alco1(a1，,b2)()不等式ax2(acb)xbc0，即x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2时，不等式的解集为x|2xc；当c2时，不等式的解集为x|cx2；当c2时，不等式的解集为(2)(eq avs4al(2018江苏模拟)已知函数f(x)x2axb(bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)

31、c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解：由题意知f(x)x2axbeq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)eq sup12(2)beq f(a2,4)因为f(x)的值域为0，)，所以beq f(a2,4)0，即beq f(a2,4)，所以f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)eq sup12(2)又因为f(x)c，所以eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)eq sup12(2)0，则eq f(a,2)eq r(c)xeq f(a,2)eq r(c)所以eq blc(avs4alco1(f(a,2)r(c)m， ,f(a,2)r(c

32、)m6)得2eq r(c)6，所以c9另解：由题意知f(x)x2axeq f(a2,4)又f(x)c的解集为(m，m6)，所以方程f(x)c0即x2axeq f(a2,4)c0的两根x1m，x2m6，则|x1x2|6eq r(（x1x2）24x1x2)eq r(（a）24blc(rc)(avs4alco1(f(a2,4)c)，解得c9故填9类型三分式不等式的解法解下列不等式(1)eq f(x1,2x1)1解：(1)原不等式可化为(x1)(2x1)0，所以1xeq f(1,2)，故原不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(x|1xf(1,2)(2)原不等式可化为eq f(x1,3x5

33、)0，所以eq blc(avs4alco1(（x1）（3x5）0，,3x50，)所以eq blc(avs4alco1(f(5,3)x1，,xf(5,3)，)即eq f(5,3)x1故原不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(x|f(5,3)0，即eq f(x1（x2）,x2)0，所以eq f(3,x2)0，则x2故原不等式的解集为x|x0 x|1xe或xf(1,2)，故ABeq blc(rc(avs4alco1(1，f(1,2)故选B类型四和一元二次不等式有关的恒成立问题设函数f(x)mx2mx1(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x1，3，f(x)

34、m5恒成立，求m的取值范围解：(1)若m0，显然10恒成立；若m0，则eq blc(avs4alco1(m0，,m24m0)4m0所以m的取值范围为(4，0(2)方法一：要使x1，3时，f(x)m5恒成立，需meq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)eq f(3,4)m60，x1，3令g(x)meq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)eq f(3,4)m6，x1，3则需g(x)max0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m6，所以7m60，解得meq f(6,7)，所以0meq f(6,7)当m

35、0时，60恒成立当m0时，g(x)在1，3上是减函数所以g(x)maxg(1)m60，解得m6，所以m0综上所述，m的取值范围为eq blc(rc)(avs4alco1(，f(6,7)方法二：f(x)m5恒成立，即m(x2x1)60，所以meq f(6,x2x1)，在x1，3上恒成立又函数yeq f(6,x2x1)eq f(6,blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)sup12(2)f(3,4)在1，3上的最小值为eq f(6,7)，所以只需m0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c0；当a0时，eq blc(avs4alco1(a0，,0；)不等式ax2bxc0的

36、解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c0；当a0时，eq blc(avs4alco1(a0，,0恒成立，只需0，即(a4)24(52a)0，解得2a0，,x24x31，)即eq blc(avs4alco1(1x3，,x2，)故函数f(x)的定义域为(1，2)(2，3)故选D2关于x的不等式x2px20的解集是(，1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)，则a的值为()A1 Beq f(1,2) C1 D2解：由题意得a0，且不等式等价于a(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)0，由解集的特点可得a0且eq f(1,a)eq f(1

37、,2)，故 a2故选D4(eq avs4al(2018福建模拟)若集合Ax|ax2ax10，,a24a0，)得0a4，所以实数a的取值范围是0，4故选D5不等式(2x1)(1|x|)1或x1或1xeq f(1,2)C1xeq f(1,2) Dxeq f(1,2)解：原不等式等价于eq blc(avs4alco1(2x10，,1|x|0)或eq blc(avs4alco1(2x10)所以eq blc(avs4alco1(xf(1,2)，,x1或x1)或eq blc(avs4alco1(xf(1,2)，,1x1或1xeq f(1,2)故选B6(eq avs4al(2018重庆模拟)关于x的不等式x

38、2 2ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a ()Aeq f(5,2) Beq f(7,2) Ceq f(15,4) Deq f(15,2)解：由条件知x1，x2为方程x22ax8a2 (x2a)(x4a)0的两根，则x12a，x24a，4a2a15，得aeq f(5,2)故选A7(eq avs4al(2018青岛模拟)不等式2x23|x|350的解集为_解：2x23|x|3502|x|23|x|350(|x|5)(2|x|7)0|x|5或|x|5或x5故填x|x58关于x的不等式eq f(4xm,x22x3)0，所以原不等式即4xm2(x22x3)恒成立，所以m2x28x

39、6恒成立，设f(x)2x28x6，则需mf(x)min而f(x)2x28x62(x2)22，所以f(x)min2，所以m0的解集是eq blcrc(avs4alco1(x|f(1,2)xa5的解集解：(1)依题意知，a3，即eq f(12x,x1)30，整理得eq f(（x2）,x1)0，即(x1)(x2)0，解得2x1故不等式的解集为x|2x110(eq avs4al(2018池州模拟)已知函数f(x)eq r(ax22ax1)的定义域为R(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为eq f(r(2),2)，解关于x的不等式x2xa2a0，,（2a）24a0，)解得00，所以当x1时

40、，f(x)mineq r(1a)，由题意，得eq r(1a)eq f(r(2),2)，所以aeq f(1,2)所以x2xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq f(1,2)0，即(2x1)(2x3)0，解得eq f(1,2)x1(aR)解：(1)由题意，a0，则f(x)aeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2a)eq sup12(2)eq f(14a2,4a)当a0时，不符合题意；当a1，即ax2xa1，(x1)(axa1)0，当a0时，解集为x|x1；当a0时，(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(1,a)0，解集

41、为eq blcrc(avs4alco1(x|x1或x1f(1,a)；当aeq f(1,2)时，(x1)20，解集为；当eq f(1,2)a0时，(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(1,a)0，解集为eq blcrc(avs4alco1(x|1x1f(1,a)；当aeq f(1,2)时，(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(1,a)0，解集为eq blcrc(avs4alco1(x|1f(1,a)x0的解集为(1，t)，记函数f(x)ax2(ab)xc(1)求证：函数yf(x)必有两个不同的零点；(2)若函数yf(x)的两个零点分别为m，n，求|mn|的

42、取值范围解：(1)证明：由题意知a0，abc0，且eq f(b,2a)1，所以ca0，所以ac0，所以对于函数f(x)ax2(ab)xc有(ab)24ac0，所以函数yf(x)必有两个不同零点(2)|mn|2(mn)24mneq f(（ba）24ac,a2)eq f(（2ac）24ac,a2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,a)eq sup12(2)8eq f(c,a)4，由不等式ax2bxc0的解集为(1，t)可知，方程ax2bxc0的两个解分别为1和t(t1)，由根与系数的关系知eq f(c,a)t，所以|mn|2t28t4，t(1，)所以|mn|eq r(13)，所以|

43、mn|的取值范围为(eq r(13)，)72一元二次不等式及其解法1解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是_(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的_(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示2一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb(a0)的形式当a0时，解集为_；当a0时，解集为_若关于x的不等式axb的解集是R，则实数a，b满足的条件是_3一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为_不等式(2)使某个一元二次不等式

44、成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)(其中a0)的形式，其对应的方程ax2bxc0有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2(此时b24ac0)，则可根据“大于号取_，小于号取_”求解集(4)一元二次不等式的解函数、方程与不等式000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根x1,x2(x1x2)x1x2eq f(b,2a)无实根ax2bxc0(a0)的解集Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx24分式不等式解法(

45、1)化分式不等式为标准型方法：移项，通分，右边化为0，左边化为eq f(f（x）,g（x）)的形式(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：eq blc (avs4alco1(f(f（x）,g（x）)0) f(x)g(x)0；eq f(f（x）,g（x）)0 f(x)g(x)0；eq f(f（x）,g（x）)0 eq blc(avs4alco1(f（x）g（x）0，,g（x）0；)eq f(f（x）,g（x）)0 eq blc(avs4alco1(f（x）g（x）0，,g（x）0)自查自纠：1(1)同解不等式(2)同解变形2eq blcrc(avs4alco1(x|xf(b,a)eq blc

46、rc(avs4alco1(x|xf(b,a)a0，b03(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xx1或xx2)eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(b,2a) (eq avs4al(2016梧州模拟)不等式eq f(2,x1)1的解集是()A(，1)(1，) B(1，)C(，1) D(1，1)解：因为eq f(2,x1)1，所以eq f(2,x1)10，即eq f(1x,x1)0，所以x1故选A (eq avs4al(2016青海模拟)不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xR

47、恒成立，则实数a的取值范围是 ()A(，2 B(2，2C(2，2) D(，2)解：当a2时，有eq blc(avs4alco1(a20，,0，) 所以2a2当a2时，原式化为40，恒成立所以20的解集为x|3x0的解集为 ()Aeq blcrc(avs4alco1(x|f(1,2)xf(1,3) Beq blcrc(avs4alco1(x|xf(1,3)Cx|3x2 Dx|x2解：由题意得eq blc(avs4alco1(f(5,a)32，,f(b,a)3（2），)解得a 1，b6，所以不等式bx25xa0为6x25x10，即(3x1)(2x1)0，所以解集为eq blcrc(avs4alco

48、1(x|f(1,2)x0(a0)的解集为(，x1)(x2，)，且x2x15eq r(2)，则a_解法一：由题意得，x1x2a，x1x2 6a2，24可得(x2x1)225a2，又x2x15eq r(2)，所以25a250，解得aeq r(2)，因为a0(a0，因为a3a，所以解不等式得x2a或x0，0，x2，x1x2，x1x2)(1)解下列不等式()x22x30；()x22x20解：()不等式两边同乘以1，原不等式可化为x22x30方程x22x30的解为x13，x21而yx22x3的图象开口向上，可得原不等式x22x30的解集是x|3x1()因为0，所以方程x22x20无实数解，而yx22x2

49、的图象开口向上，可得原不等式x22x20的解集为R(2)若关于x的不等式ax2x2a0，,0，)即eq blc(avs4alco1(a0，,18a20，)解得aeq f(r(2),4)，即a的取值范围是eq blcrc)(avs4alco1(f(r(2),4)，)故填eq blcrc)(avs4alco1(f(r(2),4)，)类型二二次不等式、二次函数及二次方程的关系(1)已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2，则不等式2x2bxa0的解集为()Aeq blcrc(avs4alco1(x|xf(1,2) Beq blcrc(avs4alco1(x|1xf(1,2)Cx|2x1 Dx|x1

50、解：由题意知x1，x2是方程ax2bx 20的两根，且a0由韦达定理得eq blc(avs4alco1(12f(b,a)，,（1）2f(2,a)eq blc(avs4alco1(a1，,b1)所以不等式2x2bxa0，即2x2x10解得1xeq f(1,2)故选B点 拨：已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负(2)已知函数f(x)ax2(b8)xaab，当x(，3)(2，)时，f(x)0()求f(x)在0，1内的值域；()若ax2bxc0的解集为R，求实数c的取值范围解：()依题意知，3，2

51、是方程ax2(b8)xaab0的两根，且a4的解集为x|xb()求a，b；()解不等式ax2(acb)xbc4的解集为x|xb，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，且b1由根与系数的关系，得eq blc(avs4alco1(1bf(3,a)，,1bf(2,a) 解得eq blc(avs4alco1(a1，,b2)()不等式ax2(acb)xbc0，即x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2时，不等式的解集为x|2xc；当c2时，不等式的解集为x|cx2；当c2时，不等式的解集为(2)(eq avs4al(2018江苏模拟)已知函数f(x)x2axb(bR)的值域为0，)，若关

52、于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解：由题意知f(x)x2axbeq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)eq sup12(2)beq f(a2,4)因为f(x)的值域为0，)，所以beq f(a2,4)0，即beq f(a2,4)，所以f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)eq sup12(2)又因为f(x)c，所以eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)eq sup12(2)0，则eq f(a,2)eq r(c)xeq f(a,2)eq r(c)所以eq blc(avs4alco1(f(a,2)r(c)m，

53、,f(a,2)r(c)m6)得2eq r(c)6，所以c9另解：由题意知f(x)x2axeq f(a2,4)又f(x)c的解集为(m，m6)，所以方程f(x)c0即x2axeq f(a2,4)c0的两根x1m，x2m6，则|x1x2|6eq r(（x1x2）24x1x2)eq r(（a）24blc(rc)(avs4alco1(f(a2,4)c)，解得c9故填9类型三分式不等式的解法解下列不等式(1)eq f(x1,2x1)1解：(1)原不等式可化为(x1)(2x1)0，所以1xeq f(1,2)，故原不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(x|1xf(1,2)(2)原不等式可化为e

54、q f(x1,3x5)0，所以eq blc(avs4alco1(（x1）（3x5）0，,3x50，)所以eq blc(avs4alco1(f(5,3)x1，,xf(5,3)，)即eq f(5,3)x1故原不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(x|f(5,3)0，即eq f(x1（x2）,x2)0，所以eq f(3,x2)0，则x2故原不等式的解集为x|x0 x|1xe或xf(1,2)，故ABeq blc(rc(avs4alco1(1，f(1,2)故选B类型四和一元二次不等式有关的恒成立问题设函数f(x)mx2mx1(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对

55、于x1，3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解：(1)若m0，显然10恒成立；若m0，则eq blc(avs4alco1(m0，,m24m0)4m0所以m的取值范围为(4，0(2)方法一：要使x1，3时，f(x)m5恒成立，需meq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)eq f(3,4)m60，x1，3令g(x)meq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)eq f(3,4)m6，x1，3则需g(x)max0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m6，所以7m60，解得meq f(6,7)，所以0me

56、q f(6,7)当m0时，60恒成立当m0时，g(x)在1，3上是减函数所以g(x)maxg(1)m60，解得m6，所以m0综上所述，m的取值范围为eq blc(rc)(avs4alco1(，f(6,7)方法二：f(x)m5恒成立，即m(x2x1)60，所以meq f(6,x2x1)，在x1，3上恒成立又函数yeq f(6,x2x1)eq f(6,blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)sup12(2)f(3,4)在1，3上的最小值为eq f(6,7)，所以只需m0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c0；当a0时，eq blc(avs4alco1(a0，,0；)不等式ax2bxc0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c0；当a0时，eq blc(avs4alco1(a0，,0恒成立，只需0，即(a4)24(52a)0，解得2a0，,x24x31，)即eq blc(avs4alco1(1x3，,x2，)故函数f(x)的定义域为(1，2)(2，3)故选D2关于x的不等式x2px20的解集是(，1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)，则a的值为()A1 Beq f(1,2) C1 D2解：由题