高考数学(理数)一轮复习学案4．2《同角三角函数的基本关系及诱导公式》(含详解)

1、42同角三角函数的基本关系及诱导公式1同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：_；_(2)同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角的三角函数式；证明同角的三角恒等式2三角函数的诱导公式(1)诱导公式的内容：x函数sinxcosxtanxsincostaneq f(,2)eq f(3,2)2(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指eq f(,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍

2、，则函数名称_“符号看象限”是把当成_时，原三角函数式中的sin(360 120)sin120，sin(270120)cos120，此时把120当成了锐角来处理“原三角函数”是指等号左边的函数(3)诱导公式的作用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为_三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：eq x(aal(任意负角的,三角函数)eq o(,sup7(去负（化负角为正角）)eq x(aal(任意正角的,三角函数)eq o(,sup7(脱周),sdo5(脱去k360)eq x(aal(0到360的,三角函数)eq o(,sup7(化锐),sdo5(（把角化为锐角 ）)eq x(锐角三角函数)

3、3sincos，sincos，sincos三者之间的关系(1)(sincos)2_.(2)(sincos)2_.(3)(sincos)2(sincos)2_.(4)(sincos)2(sincos)2_.自查自纠：1(1)sin2cos21eq f(sin,cos)tan2(1)x函数sinxcosxtanxsincostaneq f(,2)cossinsincostaneq f(3,2)cossin2sincostan(2)不变锐角象限(3)锐角3(1)1sin2(2)1sin2(3)2(4)2sin2 若sineq f(5,13)，且为第四象限角，则 tan ()A.eq f(12,5)

4、Beq f(12,5) C.eq f(5,12) Deq f(5,12)解：因为sineq f(5,13)，且为第四象限角，所以coseq f(12,13)，所以taneq f(5,12).故选D. (eq avs4al(2017全国卷)已知sincoseq f(4,3)，则sin2 ()Aeq f(7,9) Beq f(2,9) C.eq f(2,9) D.eq f(7,9)解：sin22sincoseq f(（sincos）21,1) eq f(7,9).故选A. ( ()Asin2cos2 Bsin2cos2C(sin2cos2) Dcos2sin2解：eq r(12sin（2）cos（

5、2）)eq r(12sin2cos2)eq r(（sin2cos2）2)|sin2cos2|sin2cos2.故选A. (eq avs4al(2018兰州一诊)若sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(2,5)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.解：coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) eq f(2,5).故填eq f(2,5). (eq avs4al(201

6、7郑州质检)已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，则eq f(sin3（）cos（）,5cosblc(rc)(avs4alco1(f(5,2)3sinblc(rc)(avs4alco1(f(7,2)的值为_解：因为coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，所以sin2cos，则sin2cos，代入sin2cos21，得cos2eq f(1,5).所以eq f(sin3（）cos（）,5cosblc(rc)(avs4alco1(f(5

7、,2)3sinblc(rc)(avs4alco1(f(7,2)eq f(sin3cos,5sin3cos)eq f(8cos3cos,7cos)eq f(8,7)cos2eq f(1,7)eq f(3,35).故填eq f(3,35).类型一利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值 (1)(eq avs4al(2017全国卷)已知aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，tan2，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.解：由tan2得sin2cos.又sin2cos21，所以cos2eq f(1,5).因为eq blc(rc)(avs4alco1(

8、0，f(,2)，所以coseq f(r(5),5)，sineq f(2r(5),5).因为coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coscoseq f(,4)sinsineq f(,4)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(5),5)eq f(r(2),2)eq f(2r(5),5)eq f(r(2),2)eq f(3r(10),10).故填eq f(3r(10),10).(2)(eq avs4al(2018河南漯河统考)若点P(cos，sin)在直线y2x上，则coseq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2) ()Aeq

9、f(4,5) B.eq f(4,5) Ceq f(3,5) D.eq f(3,5)解：由题知sin2cos，sin2cos21，则4cos2cos21，所以cos2eq f(1,5).又coseq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2)sin22sincos4cos2eq f(4,5).故选B.点拨：给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；另外可以变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的(1)设sineq f(,2)eq f(4,5)，且是第二象限角，则taneq f(,2)的值为_解：因为是第

10、二象限角，所以eq f(,2)是第一或第三象限角当eq f(,2)是第一象限角时，有coseq f(,2)eq r(1sin2f(,2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)sup12(2)eq f(3,5)，所以taneq f(,2)eq f(sinf(,2),cosf(,2)eq f(4,3)；当eq f(,2)是第三象限角时，与sineq f(,2)eq f(4,5)矛盾，舍去综上，taneq f(,2)eq f(4,3).故填eq f(4,3).(2)已知sincoseq r(2)，(0，)，则tan_.解法一：由eq blc(avs4alco1(sincosr(

11、2)，,sin2cos21，) 得2cos22eq r(2)cos10，即(eq r(2)cos1)20，所以coseq f(r(2),2).又(0，)，所以eq f(3,4)，tantaneq f(3,4)1.解法二：因为sincoseq r(2)，所以(sincos)22，得sin21.因为(0，)，所以2(0，2)，2eq f(3,2)，所以eq f(3,4)，tan1.故填1.类型二诱导公式的应用(1)(eq avs4al(2016全国卷)已知是第四象限角，且sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,5)，则taneq blc(rc)(avs4alco1(

12、f(,4)_.解：由题意知，eq f(,4)是第一象限角，得coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(4,5)，根据同角三角函数关系式可得taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,4).所以taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,2)eq f(1,tanblc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(4,3).故填eq f(4,3).(2)化简eq f(sin（2）cos（）cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)cosblc(rc)(a

13、vs4alco1(f(11,2),cos（）sin（3）sin（）sinblc(rc)(avs4alco1(f(9,2)_.解：原式eq f(（sin）（cos）（sin）（sin）,（cos）sinsincos)tan.故填tan.点拨：应用诱导公式要注意：三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱；在运用公式时正确判断符号至关重要；三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视；正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率(1)(eq avs4al(2017合肥一模)已知f(x)sinxcosx，则

14、下列结论成立的是 ()Af(x)sinxcosx Bf(x)sinxcosxCfeq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)sinxcosx Dfeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)sinxcosx解：由f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，feq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)cosxsinx，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)sineq b

15、lc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)cosxsinx.故选D.(2)(eq avs4al(2017北京)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sineq f(1,3)，则cos()_.解：因为和的终边关于y轴对称，所以 2k，kZ，那么sinsineq f(1,3)，coscos，这样cos()coscossinsin cos2sin22sin21eq f(7,9).故填eq f(7,9).类型三关于sin，cos的齐次式问题已知eq f(tan,tan1)1，求下列各式的值(1)eq

16、f(sin3cos,sincos)；(2)sin2sincos2.解：由已知得taneq f(1,2).(1)eq f(sin3cos,sincos)eq f(tan3,tan1)eq f(5,3).(2)sin2sincos2eq f(sin2sincos,sin2cos2)2eq f(tan2tan,tan21)2eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)f(1,2),blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)1)2eq f(13,5).点拨：形如asinbcos和asin2bsincosccos2的式子分别称为关于sin，cos的一次

17、齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos或cos2)求解如果分母为1，可考虑将1写成sin2cos2.已知tanm的条件下，求解关于sin，cos的齐次式问题，必须注意以下几点：一定是关于sin，cos的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；因为cos0，所以可以用cosn(nN*)除之，这样可以将被求式化为关于tan的表达式，可整体代入tanm的值，从而完成被求式的求值运算；注意1sin2cos2的运用(eq avs4al(荆州2017届质量检测)已知tan(5x)2，则eq f(2cos2f(x,2)sinx1,sinxcosx)_.解：tan(5x)2

18、，即tan(x)2，得tanx2.又因为2cos2eq f(x,2)1cosx，所以eq f(2cos2f(x,2)sinx1,sinxcosx)eq f(cosxsinx,sinxcosx)eq f(1tanx,tanx1)3.故填3.1诱导公式用角度制和弧度制都可表示，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取2已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位

19、置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解3计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin，cos的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cosn(nN*)，这样可以将被求式化为关于tan的式子(2)巧用“1”进行变形，如1sin2cos2 tan45等(3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取(4)熟悉sincos，sincos，sincos三者之间的内在联系，利用(sin

20、cos)212sincos进行和积转换，可知一求二1(eq avs4al(福建四地六校2017届月考)已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(4,5)，eq f(,2)eq f(,2)，则sin2的值等于 ()Aeq f(24,25) B.eq f(24,25) Ceq f(12,25) D.eq f(12,25)解：由coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(4,5)，eq f(,2)eq f(,2)，得sineq f(4,5)，coseq f(3,5)，则sin22sincoseq f(24,25).故选A.2(eq avs4al(

21、2017宁波模拟)已知sineq f(m3,m5)，coseq f(42m,m5)，其中eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，)，则下列结论正确的是()Am5 B3m0，cos0.因为(sincos)212sincoseq f(7,4)，所以cossineq f(r(7),2).所以eq f(1tan,1tan)eq f(cossin,cossin)eq f(f(r(7),2),f(1,2)eq r(7).故选A.7已知是第三象限角，且sin2coseq f(2,5)，则sincos_.解：由平方关系得eq blc(rc)(avs4alco1(2cosf(2,5)eq sup12(

22、2)cos21，且cos0，解得coseq f(7,25)，从而sineq f(24,25)，故sincoseq f(31,25).故填eq f(31,25).8(eq avs4al(黄冈2017届期末)已知函数ysin(x)2cos(x)(0)的图象关于直线x1对称，则sin2_.解：yf(x)sin(x)2cos(x)eq r(5)sin(x)，其中sineq f(2,r(5)，coseq f(1,r(5)，因为函数的图象关于x1对称，所以yf(1)eq r(5)，即eq f(,2)k，kZ，sin2sin2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k)sin(22k)sin(2

23、)sin22sincos2eq f(2,r(5)eq f(1,r(5)eq f(4,5).故填eq f(4,5).9已知sin(3)eq f(1,3)，求值：.解：所以原式eq f(cos,cos（cos1）)eq f(cos,cos（cos）cos)eq f(1,1cos)eq f(1,1cos)eq f(2,1cos2)eq f(2,sin2)eq f(2,blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)sup12(2)18.10(eq avs4al(2018吉林长春月考)已知关于x的方程2x2(eq r(3)1)xm0的两个根为sin和cos，(0，2)，求：(1)eq f(sin,1f

24、(1,tan)eq f(cos,1tan)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及的值解：(1)由已知得eq blc(avs4alco1(sincosf(r(3)1,2)，,sincosf(m,2)，)则eq f(sin,1f(1,tan)eq f(cos,1tan)eq f(sin2,sincos)eq f(cos2,cossin)eq f(sin2cos2,sincos)sincoseq f(r(3)1,2).(2)将式两边平方得12sincoseq f(2r(3),2).所以sincoseq f(r(3),4).由式得eq f(m,2)eq f(r(3),4)，所以meq f(r(3),2

25、).(3)由(2)可知原方程变为2x2(eq r(3)1)xeq f(r(3),2)0，解得x1eq f(r(3),2)，x2eq f(1,2).所以eq blc(avs4alco1(sinf(r(3),2)，,cosf(1,2)或eq blc(avs4alco1(cosf(r(3),2)，,sinf(1,2).)又(0，2)，所以eq f(,3)或eq f(,6).11(1)已知tan3，求eq f(2,3)sin2eq f(1,4)cos2的值；(2)已知eq f(1,tan1)1，求eq f(1,1sincos)的值解：(1)eq f(2,3)sin2eq f(1,4)cos2eq f(

26、f(2,3)sin2f(1,4)cos2,sin2cos2)eq f(f(2,3)tan2f(1,4),tan21)eq f(f(2,3)32f(1,4),321)eq f(5,8).(2)由eq f(1,tan1)1得tan2，eq f(1,1sincos)eq f(sin2cos2,sin2cos2sincos)eq f(tan21,tan2tan1)eq f(221,2221)eq f(5,7). (eq avs4al(2018四川宜宾月考)是否存在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，(0，)，使等式sin(3) eq r(2)coseq blc(rc)(a

27、vs4alco1(f(,2)，eq r(3)cos()eq r(2)cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由解：假设存在角，满足条件，则由已知条件可得eq blc(avs4alco1(sinr(2)sin，,r(3)cosr(2)cos.)由22，得sin23cos22.所以sin2eq f(1,2)，所以sineq f(r(2),2).因为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，所以eq f(,4).当eq f(,4)时，由式知coseq f(r(3),2)，又(0，)，所以eq f(,6)，此时式成立；当eq f(,4)时，由式知coseq f

28、(r(3),2)，又(0，)，所以eq f(,6)，此时式不成立，故舍去所以存在eq f(,4)，eq f(,6)满足条件42同角三角函数的基本关系及诱导公式1同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：_；_(2)同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角的三角函数式；证明同角的三角恒等式2三角函数的诱导公式(1)诱导公式的内容：x函数sinxcosxtanxsincostaneq f(,2)eq f(3,2)2(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限其中“奇变偶不变”中的奇、

29、偶分别是指eq f(,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称_“符号看象限”是把当成_时，原三角函数式中的sin(360 120)sin120，sin(270120)cos120，此时把120当成了锐角来处理“原三角函数”是指等号左边的函数(3)诱导公式的作用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为_三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：eq x(aal(任意负角的,三角函数)eq o(,sup7(去负（化负角为正角）)eq x(aal(任意正角的,三角函数)eq o(,sup7(脱周),sdo5(脱去k360)eq

30、 x(aal(0到360的,三角函数)eq o(,sup7(化锐),sdo5(（把角化为锐角 ）)eq x(锐角三角函数)3sincos，sincos，sincos三者之间的关系(1)(sincos)2_.(2)(sincos)2_.(3)(sincos)2(sincos)2_.(4)(sincos)2(sincos)2_.自查自纠：1(1)sin2cos21eq f(sin,cos)tan2(1)x函数sinxcosxtanxsincostaneq f(,2)cossinsincostaneq f(3,2)cossin2sincostan(2)不变锐角象限(3)锐角3(1)1sin2(2)1

31、sin2(3)2(4)2sin2 若sineq f(5,13)，且为第四象限角，则 tan ()A.eq f(12,5) Beq f(12,5) C.eq f(5,12) Deq f(5,12)解：因为sineq f(5,13)，且为第四象限角，所以coseq f(12,13)，所以taneq f(5,12).故选D. (eq avs4al(2017全国卷)已知sincoseq f(4,3)，则sin2 ()Aeq f(7,9) Beq f(2,9) C.eq f(2,9) D.eq f(7,9)解：sin22sincoseq f(（sincos）21,1) eq f(7,9).故选A. (

32、()Asin2cos2 Bsin2cos2C(sin2cos2) Dcos2sin2解：eq r(12sin（2）cos（2）)eq r(12sin2cos2)eq r(（sin2cos2）2)|sin2cos2|sin2cos2.故选A. (eq avs4al(2018兰州一诊)若sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(2,5)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.解：coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq

33、blc(rc)(avs4alco1(f(,4) eq f(2,5).故填eq f(2,5). (eq avs4al(2017郑州质检)已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，则eq f(sin3（）cos（）,5cosblc(rc)(avs4alco1(f(5,2)3sinblc(rc)(avs4alco1(f(7,2)的值为_解：因为coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，所以sin2cos，则sin2cos，代入sin2cos2

34、1，得cos2eq f(1,5).所以eq f(sin3（）cos（）,5cosblc(rc)(avs4alco1(f(5,2)3sinblc(rc)(avs4alco1(f(7,2)eq f(sin3cos,5sin3cos)eq f(8cos3cos,7cos)eq f(8,7)cos2eq f(1,7)eq f(3,35).故填eq f(3,35).类型一利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值 (1)(eq avs4al(2017全国卷)已知aeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，tan2，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.解：由ta

35、n2得sin2cos.又sin2cos21，所以cos2eq f(1,5).因为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以coseq f(r(5),5)，sineq f(2r(5),5).因为coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coscoseq f(,4)sinsineq f(,4)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(5),5)eq f(r(2),2)eq f(2r(5),5)eq f(r(2),2)eq f(3r(10),10).故填eq f(3r(10),10).(2)(eq avs4al(2018河南漯河

36、统考)若点P(cos，sin)在直线y2x上，则coseq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2) ()Aeq f(4,5) B.eq f(4,5) Ceq f(3,5) D.eq f(3,5)解：由题知sin2cos，sin2cos21，则4cos2cos21，所以cos2eq f(1,5).又coseq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2)sin22sincos4cos2eq f(4,5).故选B.点拨：给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；另外可以变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达

37、到解题的目的(1)设sineq f(,2)eq f(4,5)，且是第二象限角，则taneq f(,2)的值为_解：因为是第二象限角，所以eq f(,2)是第一或第三象限角当eq f(,2)是第一象限角时，有coseq f(,2)eq r(1sin2f(,2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)sup12(2)eq f(3,5)，所以taneq f(,2)eq f(sinf(,2),cosf(,2)eq f(4,3)；当eq f(,2)是第三象限角时，与sineq f(,2)eq f(4,5)矛盾，舍去综上，taneq f(,2)eq f(4,3).故填eq f(4,3)

38、.(2)已知sincoseq r(2)，(0，)，则tan_.解法一：由eq blc(avs4alco1(sincosr(2)，,sin2cos21，) 得2cos22eq r(2)cos10，即(eq r(2)cos1)20，所以coseq f(r(2),2).又(0，)，所以eq f(3,4)，tantaneq f(3,4)1.解法二：因为sincoseq r(2)，所以(sincos)22，得sin21.因为(0，)，所以2(0，2)，2eq f(3,2)，所以eq f(3,4)，tan1.故填1.类型二诱导公式的应用(1)(eq avs4al(2016全国卷)已知是第四象限角，且sin

39、eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,5)，则taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.解：由题意知，eq f(,4)是第一象限角，得coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(4,5)，根据同角三角函数关系式可得taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(3,4).所以taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,2)eq f(1,tanblc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(4,3).故填eq f(4,3

40、).(2)化简eq f(sin（2）cos（）cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)cosblc(rc)(avs4alco1(f(11,2),cos（）sin（3）sin（）sinblc(rc)(avs4alco1(f(9,2)_.解：原式eq f(（sin）（cos）（sin）（sin）,（cos）sinsincos)tan.故填tan.点拨：应用诱导公式要注意：三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱；在运用公式时正确判断符号至关重要；三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视；正确理

41、解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率(1)(eq avs4al(2017合肥一模)已知f(x)sinxcosx，则下列结论成立的是 ()Af(x)sinxcosx Bf(x)sinxcosxCfeq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)sinxcosx Dfeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)sinxcosx解：由f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，feq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)coseq blc(rc)(

42、avs4alco1(xf(,2)cosxsinx，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x)cosxsinx.故选D.(2)(eq avs4al(2017北京)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sineq f(1,3)，则cos()_.解：因为和的终边关于y轴对称，所以 2k，kZ，那么sinsineq f(1,3)，coscos，这样cos()coscossinsin cos2sin22sin21eq f(7,9).

43、故填eq f(7,9).类型三关于sin，cos的齐次式问题已知eq f(tan,tan1)1，求下列各式的值(1)eq f(sin3cos,sincos)；(2)sin2sincos2.解：由已知得taneq f(1,2).(1)eq f(sin3cos,sincos)eq f(tan3,tan1)eq f(5,3).(2)sin2sincos2eq f(sin2sincos,sin2cos2)2eq f(tan2tan,tan21)2eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)f(1,2),blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)1)2

44、eq f(13,5).点拨：形如asinbcos和asin2bsincosccos2的式子分别称为关于sin，cos的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos或cos2)求解如果分母为1，可考虑将1写成sin2cos2.已知tanm的条件下，求解关于sin，cos的齐次式问题，必须注意以下几点：一定是关于sin，cos的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；因为cos0，所以可以用cosn(nN*)除之，这样可以将被求式化为关于tan的表达式，可整体代入tanm的值，从而完成被求式的求值运算；注意1sin2cos2的运用(eq avs4al(荆州2017

45、届质量检测)已知tan(5x)2，则eq f(2cos2f(x,2)sinx1,sinxcosx)_.解：tan(5x)2，即tan(x)2，得tanx2.又因为2cos2eq f(x,2)1cosx，所以eq f(2cos2f(x,2)sinx1,sinxcosx)eq f(cosxsinx,sinxcosx)eq f(1tanx,tanx1)3.故填3.1诱导公式用角度制和弧度制都可表示，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取2已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的

46、象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解3计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin，cos的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cosn(nN*)，这样可以将被求式化为关于tan的式子(2)巧用“1”进行变形，如1sin2cos2 tan45等(3)

47、平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取(4)熟悉sincos，sincos，sincos三者之间的内在联系，利用(sincos)212sincos进行和积转换，可知一求二1(eq avs4al(福建四地六校2017届月考)已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(4,5)，eq f(,2)eq f(,2)，则sin2的值等于 ()Aeq f(24,25) B.eq f(24,25) Ceq f(12,25) D.eq f(12,25)解：由coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(4,5)，eq f(,2)eq f(,2)，得sineq

48、 f(4,5)，coseq f(3,5)，则sin22sincoseq f(24,25).故选A.2(eq avs4al(2017宁波模拟)已知sineq f(m3,m5)，coseq f(42m,m5)，其中eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，)，则下列结论正确的是()Am5 B3m0，cos0.因为(sincos)212sincoseq f(7,4)，所以cossineq f(r(7),2).所以eq f(1tan,1tan)eq f(cossin,cossin)eq f(f(r(7),2),f(1,2)eq r(7).故选A.7已知是第三象限角，且sin2coseq f(2

49、,5)，则sincos_.解：由平方关系得eq blc(rc)(avs4alco1(2cosf(2,5)eq sup12(2)cos21，且cos0，解得coseq f(7,25)，从而sineq f(24,25)，故sincoseq f(31,25).故填eq f(31,25).8(eq avs4al(黄冈2017届期末)已知函数ysin(x)2cos(x)(0)的图象关于直线x1对称，则sin2_.解：yf(x)sin(x)2cos(x)eq r(5)sin(x)，其中sineq f(2,r(5)，coseq f(1,r(5)，因为函数的图象关于x1对称，所以yf(1)eq r(5)，即e

50、q f(,2)k，kZ，sin2sin2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k)sin(22k)sin(2)sin22sincos2eq f(2,r(5)eq f(1,r(5)eq f(4,5).故填eq f(4,5).9已知sin(3)eq f(1,3)，求值：.解：所以原式eq f(cos,cos（cos1）)eq f(cos,cos（cos）cos)eq f(1,1cos)eq f(1,1cos)eq f(2,1cos2)eq f(2,sin2)eq f(2,blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)sup12(2)18.10(eq avs4al(2018吉林长春月

51、考)已知关于x的方程2x2(eq r(3)1)xm0的两个根为sin和cos，(0，2)，求：(1)eq f(sin,1f(1,tan)eq f(cos,1tan)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及的值解：(1)由已知得eq blc(avs4alco1(sincosf(r(3)1,2)，,sincosf(m,2)，)则eq f(sin,1f(1,tan)eq f(cos,1tan)eq f(sin2,sincos)eq f(cos2,cossin)eq f(sin2cos2,sincos)sincoseq f(r(3)1,2).(2)将式两边平方得12sincoseq f(2r(3),2)

52、.所以sincoseq f(r(3),4).由式得eq f(m,2)eq f(r(3),4)，所以meq f(r(3),2).(3)由(2)可知原方程变为2x2(eq r(3)1)xeq f(r(3),2)0，解得x1eq f(r(3),2)，x2eq f(1,2).所以eq blc(avs4alco1(sinf(r(3),2)，,cosf(1,2)或eq blc(avs4alco1(cosf(r(3),2)，,sinf(1,2).)又(0，2)，所以eq f(,3)或eq f(,6).11(1)已知tan3，求eq f(2,3)sin2eq f(1,4)cos2的值；(2)已知eq f(1,

53、tan1)1，求eq f(1,1sincos)的值解：(1)eq f(2,3)sin2eq f(1,4)cos2eq f(f(2,3)sin2f(1,4)cos2,sin2cos2)eq f(f(2,3)tan2f(1,4),tan21)eq f(f(2,3)32f(1,4),321)eq f(5,8).(2)由eq f(1,tan1)1得tan2，eq f(1,1sincos)eq f(sin2cos2,sin2cos2sincos)eq f(tan21,tan2tan1)eq f(221,2221)eq f(5,7). (eq avs4al(2018四川宜宾月考)是否存在eq blc(rc

54、)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，(0，)，使等式sin(3) eq r(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，eq r(3)cos()eq r(2)cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由解：假设存在角，满足条件，则由已知条件可得eq blc(avs4alco1(sinr(2)sin，,r(3)cosr(2)cos.)由22，得sin23cos22.所以sin2eq f(1,2)，所以sineq f(r(2),2).因为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，所以eq f(,4).当eq f(,4)时，由式

55、知coseq f(r(3),2)，又(0，)，所以eq f(,6)，此时式成立；当eq f(,4)时，由式知coseq f(r(3),2)，又(0，)，所以eq f(,6)，此时式不成立，故舍去所以存在eq f(,4)，eq f(,6)满足条件42同角三角函数的基本关系及诱导公式1同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：_；_(2)同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角的三角函数式；证明同角的三角恒等式2三角函数的诱导公式(1)诱导公式的内容：x函数sinxcosxtanxsincostaneq f(,

56、2)eq f(3,2)2(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指eq f(,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称_“符号看象限”是把当成_时，原三角函数式中的sin(360 120)sin120，sin(270120)cos120，此时把120当成了锐角来处理“原三角函数”是指等号左边的函数(3)诱导公式的作用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为_三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：eq x(aal(任意负角的,三角函数)eq o(,sup7

57、(去负（化负角为正角）)eq x(aal(任意正角的,三角函数)eq o(,sup7(脱周),sdo5(脱去k360)eq x(aal(0到360的,三角函数)eq o(,sup7(化锐),sdo5(（把角化为锐角 ）)eq x(锐角三角函数)3sincos，sincos，sincos三者之间的关系(1)(sincos)2_.(2)(sincos)2_.(3)(sincos)2(sincos)2_.(4)(sincos)2(sincos)2_.自查自纠：1(1)sin2cos21eq f(sin,cos)tan2(1)x函数sinxcosxtanxsincostaneq f(,2)cossin

58、sincostaneq f(3,2)cossin2sincostan(2)不变锐角象限(3)锐角3(1)1sin2(2)1sin2(3)2(4)2sin2 若sineq f(5,13)，且为第四象限角，则 tan ()A.eq f(12,5) Beq f(12,5) C.eq f(5,12) Deq f(5,12)解：因为sineq f(5,13)，且为第四象限角，所以coseq f(12,13)，所以taneq f(5,12).故选D. (eq avs4al(2017全国卷)已知sincoseq f(4,3)，则sin2 ()Aeq f(7,9) Beq f(2,9) C.eq f(2,9)

59、 D.eq f(7,9)解：sin22sincoseq f(（sincos）21,1) eq f(7,9).故选A. ( ()Asin2cos2 Bsin2cos2C(sin2cos2) Dcos2sin2解：eq r(12sin（2）cos（2）)eq r(12sin2cos2)eq r(（sin2cos2）2)|sin2cos2|sin2cos2.故选A. (eq avs4al(2018兰州一诊)若sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(2,5)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.解：coseq blc(rc)(avs4alco1(

60、f(,4)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) eq f(2,5).故填eq f(2,5). (eq avs4al(2017郑州质检)已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，则eq f(sin3（）cos（）,5cosblc(rc)(avs4alco1(f(5,2)3sinblc(rc)(avs4alco1(f(7,2)的值为_解：因为coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2