圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程

1、圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热门，主假如在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或许第20题，几乎每一年都有观察。因为题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这种问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单了然，中等学习程度的学生完整可以得心应手！?定理已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或许抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，

2、通径长为H，则（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|H；2cos2|1e|H.（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|1e2sin2|推论：（1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，|AB|H；e2cos21H；当圆锥曲线是抛物线时，|AB|H.当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|sin2e2cos21（2）焦点在y轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，|AB|H；e2sin21H；当圆锥曲线是抛物线时，|AB|H.当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|cos2e2sin21典题妙解下边以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）

3、已知椭圆x2y21（2：）C143，抛物线ym2px（p0），且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.（）当ABx轴时，求p，m的值，并判断抛物线C2的焦点能否在直线AB上；（）若p4且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.3F2例2（07全国文第22题）已知椭圆x2y21的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直32线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于、两点，且ACBD，垂足为P.AC（，）x2y2001.（1）设P点的坐标为x0y0，证明：32F1F2（2）求四边形ABCD的面积的最小值.例3（08全国理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O，焦点在x上，两条渐

4、近线分别为l1、l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点.已知|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，且BF与FA同向.（）求双曲线的离心率；（）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.l2yl1AOFxB金指点睛21.已知斜率为1的直线l过椭圆yx21的上焦点F交椭圆于A、B两点，则4|AB|=_.2.过双曲线x2y21的左焦点F作倾斜角为的直线l交双曲线于、B两点，则36A|AB|=_.3.已知椭圆x22y220，过左焦点F作直线l交A、B两点，O为坐标原点，求AOB的最大面积.4.已知抛物线y24px（p0），弦AB过焦点F，设|AB|m，AOB的面积为

5、S，求证：S2为定值.m5.（05全国文第22题）P、Q、M、N四点都在椭圆x2y21上，F为椭圆在y轴正半2轴上的焦点.已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PFMF0.求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.yMQPOxN6.(07重庆文第22题)如图，倾斜角为的直线经过抛物线y28x的焦点，且与抛物线F交于A、B两点.（）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（）若为锐角，作线段的垂直均分线m交x轴于点，证明|FP|FP|cos2为ABP定值，并求此定值.l7.点M与点F(0,2)的距离比它到直线l:y30的距离小1.（1）求点M的轨迹方程；（2）经过点F且相互垂直的两条直线与轨迹订交于

6、A、B；C、D.求四边形ACBD的最小面积.28.已知双曲线的左右焦点F1、F2与椭圆xy21的焦点同样，且以抛物线y22x的5准线为此中一条准线.（1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点F2且相互垂直的两条直线与双曲线订交于A、B；C、D.求四边形ACBD的面积的最小值.l1F2l2参照答案：证明：设双曲线方程为x2y21（a0，b0），通径H2b2，离心率ec，弦a2b2aaAB所在的直线l的方程为yk（xc）（此中ktan，为直线l的倾斜角），其参数方程为ctcos，t为参数）.ytsin.代入双曲线方程并整理得：（a2sin2b2cos2）t222ccostb40.b由t的几何意义可得：

7、|AB|t1t2|（t124t1t2t2）（2b2ccos24b2a2sin2b2cos2）2sin2b2cos2a2ab2|a2sin2b2cos2|2b2a|1e2cos2|2b2a|1e2cos2|H.|1e2cos2|例1.解：（）当ABx轴时，点A、B对于x轴对称，m0，直线AB的方程为x1.33（，）22点A在抛物线C2上，92p.即p9.48此时抛物线（9，），该焦点不在直线AB上.016（）设直线AB的倾斜角为，由（）知.2则直线AB的方程为ytan（x.1）抛物线C2的对称轴ym平行于x轴，焦点在AB上，通径H2p8，离心率e1，于3是有|AB|H8.sin2（cos2）31

8、又AB过椭圆C1的右焦点，通径H2b23，离心率e1.a2|AB|H12.|1e2cos2|4cos2F2812.（2）4231coscos解之得：cos21tan6.7，2在直线ytan（x1）上，3m1tan，进而m6.33当m6时，直线AB的方程为6xy60；3当m6时，直线AB的方程为6xy603例2.（1）证明：在x2y21中，a3，b2，c1.32F1PF290，是F1F2的中点，O|OP|1|F1F2|c1.得x0y01.222点P在圆x2y21上.明显，圆x2y21在椭圆x2y21的内部.32故x02y021.32（2）解：如图，设直线BD的倾斜角为，由ACBD可知，直线AC的

9、倾斜角.2通径H2b243，离心率e3.a33又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点F1、F2，于是|BD|H43，e2cos23cos21|AC|H43.223sin21）（ecos2F1F2四边形ABCD的面积1|BD|AC|21434323cos23sin296.24sin22，sin22，.00196，4.25故四边形ABCD面积的最小值为96.25例3，解：（）设双曲线的方程为x2y21（a，b）a2b200.|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，设|AB|m，公差为d，则|OA|md，|OB|md，(md)2m2(md)2.即m22dmd2m2m22dmd2.dm.进而|OA|3m，

10、|OB|5m.444又设直线l1的倾斜角为，则AOB2.l1的方程为ybx.atanb.而tan2tanAOB|AB|4.a|OA|32tan2b4.a1tan21b)23l2yl1(a解之得：b1.Aa2OFxe1(b)25.Ba2（）设过焦点F的直线AB的倾斜角为,则2.12cossin.而sin2tan2(2)11tan21.251()2cos21.52b2bb.通径H2baa又设直线AB与双曲线的交点为M、N.于是有：|MN|H4.e2cos21b即4.1(5)2125解得b3，进而a6.22xy所求的椭圆方程为1.3691.解：a2,b1,c3，离心率ec3，通径H2b21，直线l的

11、倾斜角.a2a4|AB|H18.1e2sin23)2(2)251(222.解：a1,b3,c2，离心率ec2，通径H2b2.aa6，直线的倾斜角6H63.|AB|1e2cos22(3)2|1223.解：x2y21，a2,b1,c1，左焦点F(1,0)，离心率ec2，通径2a22b22.Ha2b2当直线l的斜率不存在时，lx轴，这时|AB|H2，高|OF|c1，AOBa1212的面积S.22当直线l的斜率存在时，设直线l的倾斜角为，则其方程为ytan(x1)，即|0tan0tan|tan|tanxytan0，原点O到直线AB的距离d1|secsin.tan2|AB|H22222.2cos22co

12、s21sin21e(2)2cos212AOB的面积S1|AB|d2sin.21sin20，sin0.进而1sin22sin.2sin2S.2sin2当且仅当sin1，即2时，“”号建立.故的最大面积为.224.解：焦点为F(p,0)，通径H4p.当直线AB的斜率不存在时，ABx轴，这时|AB|m4p，高|OF|p，AOB的面积S1|AB|OF|2p2.2S24p44p4p3，是定值.mm4p当直线AB的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为ytan(xp)，即tanxyptan0，原点O到直线AB的距离d|ptan|p|tan|tan21|sec|psin.H4p.|AB|2sin2sinA

13、OB的面积S1|AB|d2p2.2sinS24p414p4sin2p3.msin2msin24p无论直线AB在什么地点，均有2Sp3（p3为定值）.m5.解：在椭圆x2y21中，a2，b1，c1.2由已知条件，MN和PQ是椭圆的两条弦，订交于焦点F（0，1），且MNPQ.如图，设直线PQ的倾斜角为，则直线MN的倾斜角.2通径H2b22，离心率e2.于是有a2yMQ|MN|H22，P22122()cosesinOx2|PQ|H22.Ne2sin22sin21四边形PQMN的面积1|MN|PQ|21222222cos22sin216.8sin22，sin22，.00116，2.9故四边形PQMN面

14、积的最小值和最大值分别为16和2.96.（）解：2p8,p4，抛物线的焦点F的坐标为(0,2)，准线l的方程为x2.（）证明：作ACl于，FDAC于D.通径H2p8.CH8,|EF|FP|cos,|AD|AF|cos.则|AB|2sin2sin|AF|AC|AD|p|AF|cos4.|AF|4.lcos1|EF|AF|AE|AF|1|AB|1444cos，2cossin2sin2|EF|4.进而|FP|sin2cos|FP|FP|cos2|FP|(1cos2)42sin28.sin2故|FP|FP|cos2为定值，此定值为8.7.解：（1）依据题意，点M与点F(0,2)的距离与它到直线l:y2

15、的距离相等，点M的轨迹是抛物线，点F(0,2)是它的焦点，直线l:y2是它的准线.p进而2，p4.所求的点M的轨迹方程是x28y.（2）两条相互垂直的直线与抛物线均有两个交点，它们的斜率都存在.如图，设直线AB的倾斜角为，的倾斜角为90.则直线CD抛物线的通径H2p8，于是有：H8,|CD|H8.|AB|cos2cos2(90)sin2cos2四边形ACBD的面积1|AB|CD|21882cos2sin21282sin2.当且仅当sin22获得最大值1时，S128，这时290,45.min四边形ACBD的最小面积为128.8.解：（1）在椭圆x2y21中，a5,b1,ca2b22，其焦点为F1(2,0)、5F2(2,0).在抛物线y22x中，p1，其准线方程为xp1.22在双曲线中，c2,a21，a1,bc2a23.c2所求的双曲线的方程