大学生数学试题

1、大学生数学试题及答案考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分一、(此题满分10分)求极限lim12(n21n222n2(n1)2)。nn【解】Sn1(n21n222n2(n1)2)n21(1(1)21(2)21(n1)2)nnnn1(1(0)21(1)21(2)21(n1)2)nnnnnn1(i)2.11i0nnn1(i)2.1limSnlim1nn0nni因1x2在0,1上连续，故12dx存在，且1-x01n11(i)2.1,2dx=lim1-x0nnni0所以，limSn12dxlim11-xn0nn12dx。1-x041xt2dt二、（此题满分10分)请问a,b,c为什么值时下式

2、建立limc.1x0sinxaxbt2【解】注意到左侧得极限中,不论a为什么值总有分母趋于零，所以要想极限存在,分子必须为无量小量，于是可知必有b0,当b0时使用洛必达法例获得1xt2dtlimx2lim1t2，x0sinxax0 x0(cosxa)1x2由上式可知:当x0时，若a1,则此极限存在，且其值为0a1，则;若1xt2dtx22，limaxb1t2limx0sinxx0(cosx1)1x2综上所述，获得以下结论：a1,b0,c0;或a1,b0,c2。三、(此题满分10分)计算定积分I2dx.01tan2010 x【解】作变换xt，则2dt220102120tantdtIcot2010

3、t1tan2010t(11tan2010)dtdtI2100t02I2dt,2所以，I。41四、(此题满分10分)求数列nn中的最小项。1【解】因为所给数列是函数yxx当x分别取1,2,3,n,时的数列.121)且令y0 xe，又yxx(lnx简单看出:当0 xe时，y0；当xe时，y0。11所以，yxx有独一极小值y(e)ee。1111而2e3,所以数列nn的最小项。23333五、(此题满分10分)求enn0n.1【解】考虑幂级数xn，其收敛半径为1,收敛区间为(1,1)，1n0n当x1时,xn1(1)n0n1收敛；n0nn1当x1xn1发散，所以其收敛域为1,1)。时，1n0n1n0n设其

4、和函数为s(x)，则x(1,1)，xs(t)dtxtndtxtnxn1x。0n0n1dt1x0n00n1n0s(x)(x12.于是，1)(1x)x故，ens(e1)e2.n0n1(e1)2分）设f(x)sinxx为连续函数，求f(x)。六、(此题满分10(xt)f(t)dt，此中f0【解】原方程可写为f(x)sinxxxf(t)dtx0tf(t)dt，0上式两头对x求导得f(x)cosxxxf(x)xf(x)cosxxf(t)dt(）f(t)dt00两头再对x求导得f(x)sinxf(x)即f(x)f(x)sinx这是一个二阶线性常系数非齐次方程,由原方程知f(0)0，由(*）式知f(0)1.

5、特点方程为210,i齐次通解为yC1sinxC2cosx设非齐次方程特解为y*x(asinxbcosx),代入f(x)f(x)sinx得1a0,b.2yC1sinxx则非齐次方程通解为C2cosxcosx2由初始条件y(0)0和y(0)1可知，C11,C20.2七、（此题满分10分)在过点O(0,0)和A(,0)的曲线族yasinx(a0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分(1y3)dx(2xy)dy的值最小.L【解】I(a)L(1y3)dx(2xy)dy01a3sin3x(2xasinx)acosxdx4a4a3。3令I(a)44a20,得a1(a1舍去)；又I(1)80,则I(a)

6、在1处取极小值,且a=1是I（a）在（0,+)内的独一极值点,故a=1时I(a)取最小值，则所求曲线为ysinx(0 x).八、（此题满分10分）设在上有二阶导数，且f(1)f(1)1，12证明:f(x)1，x-1，1。122f(x)=x在-1,1上有且只有一个实根.【证明】1.由泰勒公式f(1)f(x)f(x)(1x)f()(1x)2，(1,x)2f(1)f(x)f(x)(1x)f()(1x)2,(x,1)2两式相减并整理得2f(x)(1x2)(1x2)()2f()2f于是，f(x)(1x2)(1x2)f()(1x2)(1x2)4f()84(1x2)(1x2)1因为max8,1x12所以，|

7、f(x)|1，x1,1.2.令F(x)f(x)-x,x1,1.则F(1)f(1)13，F(1)f(1)1-1。22但F(x)在-1,1上连续,由介值定理知,F(x)在-1，1上起码有一个零点。又由1可知F(x)f(x)-10，故F(x)在-1,1上严格单一，进而至多有一个零点.这样F(x)在-1，1上有且只有一个零点,即f（x）=x在-1,1上有且只有一个实根。九、（此题满分10分)设f(x)在(-，)为连续函数，则a3f(x2)dx1a2x2xf(x)dx.00【解】令(x)x(x)x3f(x2),t3f(t2)dt,则0(x)1x21x22)2xx3f(x2),2tf(t)dt,则(x)f(x02所以(x)(x)即(x)(x)cc为常数。而(0)(0)0，(x)(x)特别地(a)(a)即a3f(x2)dx1a2x2xf(x)dx。00十、(此题满分10分）设f(x)是0,1上的连续函数，证明11ef(x)dxef(y)dy1。00【证法一】设D(x,y)|0 x1,0y1。因为ef(x)f(y)1f(x)f(y),所以11(y)dyef(x)f(y)dxdy0ef(x)dxef0D11f(x)f(y)dydx(100111111dxdyf(x)dxdydxf(y)d