初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第16讲锐角三角函数

1、第十六讲锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用以下几何结论：在两个大小不同样样的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值必然相等正是祖先对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的出名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式三角函数揭露了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1单调性；2互余三角函数间的关系；3同角三角函数间的关系平方关系：sin2+cos2=1；商数关系：tg=sin，ctg=cos；cossin倒数关系：tgctg=1【例题

2、求解】5【例1】已知在ABC中，A、B是锐角，且sinA，tanB=2，AB=29cm，则SABC=思路点拨过C作CDAB于D，这样由三角函数定义获取线段的比，sinA=CD5，tanB=CDAC132，设CD=5m，AC13m，CD2n，BDn，解题的要点是求出m、n的值BD注：设ABC中，a、b、c为A、B、C的对边，R为ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1)111SABC=bcsinAacsinBabsinC；222（2）abcsinAsinB2RsinC【例2】如图，在ABC中ACB90，ABC15，BC=1，则AC=()A23B23CD32思路点拨由1

3、5构造特别角，用特别角的三角函数促使边角转变1注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特别角直角三角形（2）求(已知)锐角角函数值常依照定转变成求对应线段比，有时需经过等的比来变换【例3】如图，已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，过BC的中点D作DEAB于E，连结CE，求sinACE的值思路点拨作垂线把ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转变成求线段的比【例4】如图，在ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cosDAC，求证：ACBD；若sinC=12，BC=12，求AD的长13思路点拨(1)把三角函数转变成线段的比，利用比率线段证明；(2)sinC=12AD，引入参数可设k

4、，AC13kAD=1213AC【例5】已知：在RtABC中，C=90，sinA、sinB是方程x2pxq0的两个根求实数p、q应满足的条件；(2)若p、q满足(1)的条件，方程x2pxq0的两个根可否等于RtABC中两锐角A、B的正弦?思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立p、q等式，注意鉴识式、三角函数值的有界性，建立严实拘束条件的不等式，才能正确求出实数p、q应满足的条件学历训练1已知为锐角，以下结论sin+cos=l；若是45，那么sincos；如果cos1，那么60；(sin-1)21sin正确的有222如图，在菱形ABCD中，AEBC于E，BC=1，cosB5，则这个菱形的面积为133

5、如图，C=90，DBC=30，ABBD，利用此图可求得tan75=4化简(1)tan227tan2632=(2)sin2l+sin22+sin288+sin289=5身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛三人放出风筝线长、线与地面夹角以下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中()A甲的最高B丙的最高C乙的最低D丙的最低6已知sincos=1，且045则co-sin的值为()8C3A3B3D322447如图，在ABC中，C90，ABC30，D是AC的中点，则ctgDBC的值是()A3B2333CD248如图，在等腰RtABC中C90，AC6，D是AC上一点，若tanDBA=1，5则AD的

6、长为()A2B2C1D229已知关于x的方程4x22(m1)xm0的两根正是某直角三角形两锐角的正弦，求m的值310如图，D是ABC的边AC上的一点，CD=2AD，AEBC于E，若BD8，sinCBD=，4求AE的长37，则sin=11若02B12C12D无法确定14如图，在正方形ABCD中，F是CD上一点，AEAF，点E在CB的延长线上，EF交AB于点G(1)求证：DFFCBGEC；(2)当tanDAF=1时，AEF的面积为10，问当tanDAF=2时，AEF的面积是多少?3315在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值16台风

7、是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力据气象观察，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最暴风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米时的速度沿北偏东30方向往C处搬动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或高出四级，则称为受台风影响(1)该城市可否会碰到此次台风的影响?请说明原由(2)若会碰到台风影响，那么台风影响该城市的连续时间有多长?9(3)该城市碰到台风影响的最暴风力为几级?17如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有广阔平展地带该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H可供使用的测量工拥有皮尺、测角器(1)请你依照现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案具体要求以下：测量数据尽可能少；在所给图形上