13控制原理课件-wanghui

1、2022/10/5Chapter 2-11CHAPTER 2Mathematical Models of Systems By Hui Wang2022/10/5Chapter 2-12Outline of this chapterIntroduction Differential Equation of Physical SystemsTransfer FunctionState Equation of SystemsBlock Diagram, Signal Flow GraphsLinearizationThe relation of various models2022/10/5Cha

2、pter 2-13Linearization2022/10/5Chapter 2-14Linearization, why? How to do?Most physical systems in nature are nonlinear. Ex. We describe a nonlinear physical system by the general differential equation 2)Ratio of Reagent to Influent Flow（反应物）1413121110987654321000.20.40.60.81.01.21.41.61.82.01) Highl

3、y Nonlinear (Titration Curve)滴定曲线2022/10/5Chapter 2-15An AC servomotor is shown as Fig.2.28(P58). As Fig.(b), the torque-speed curves are not straight line. So, a linear differential equation cannot be used to represent the exact motor characteristics. Nonlinear System Example-1: AC servomotor(see P

4、57, 2.14)Input ecOutput Fig.2.28 (a)According to original AC servomotor equilibrium equationwhere torque-speed equilibrium equation is(1)(2)（伺服马达）（转矩）2022/10/5Chapter 2-16Nonlinear System Example-1: AC servomotor(see P57, 2.14)Input ecOutput Fig.2.28 (a)Eliminating steady-state item from Eq. (3), th

5、en an AC servomotor dynamic model is obtained. When small changes appear, equilibrium equation will be where J is a moment of inertia.(3)Noted Eq.(1) From Eq.(1)2022/10/5Chapter 2-17Nonlinear System Example-1: AC servomotor(see P57, 2.14)Input ecOutput Fig.2.28 (a)It is obviously that an AC servomot

6、or dynamic model is nonlinear. Sufficient accuracy may be obtained by approximating the nonlinear characteristics by linearization. In textbook P58,Eq.2.136, it is done by Taylor series expansion of T about the origin and keep only the linear terms. ?2022/10/5Chapter 2-18Nonlinear System Example-2:

7、PendulumWrite the Pendulum dynamic equation Input uoutput?2022/10/5Chapter 2-19非线性方程的线性化几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程。但在比较小的范围运动来说，把这些关系看作是线性关系，是不会产生很大误差的。方程式一经线性化，就可以应用迭加原理。 研究非线性系统在某一工作点（平衡点）附近的性能，（如图所示，(if0，0)为平衡点，受到扰动后，if (t)偏离if0，产生if (t)，if (t)的变化过程，表征系统在平衡点附近的性能）。非线性特性的线性化，实质上就是以平衡点附近的直线代替平衡点附近的曲线。 i

8、f if2022/10/5Chapter 2-110非线性方程的线性化方法设非线性函数设在平衡点的邻域内， 对if的各阶导数（直至n+1）是存在的，它可展成泰勒级数：if if 式中 Rn+1为余项，0和 if0 为原平衡点,为原平衡点处的一阶、 二阶、导数.if =if - if 02022/10/5Chapter 2-111非线性方程的线性化方法if if忽略泰勒级数右端第三项及其以后的各项原平衡点是已知的，故是可以从左图的曲线求得2022/10/5Chapter 2-112非线性方程的线性化方法if if式中的Lf为常值，在不同平衡点有不同的值。因此该式可写为：或 在平衡点附近，经过线性

9、化处理（忽略偏量的高次项）后，原方程的偏移量间已经具有线性关系了。偏移愈小，这个关系愈准确。2022/10/5Chapter 2-113非线性方程的线性化方法：例题（参见P54） 磁场控制的直流电动机。电枢电压ua为常值，输出为w ，控制输入为uf 。研究它的小偏差过程，例如控制输入uf改变一个微量uf引起的变化过程。(1) 对激磁电路有： (2) 找出中间变量与其它变量的关系，同时线性化。小偏差过程可用以下办法使之线性化。 如前所述，设在平衡点的邻域内， 对if的各阶导数（直至n+1）是存在的，它可展成泰勒级数。2022/10/5Chapter 2-114非线性方程的线性化方法经线性化后，得

10、到激磁回路偏量间的线性关系，动态电感Lf为常值，但在不同平衡点有不同的值 。(3)求以偏量表示的微分方程式，即线性化方程式。将uf = u f 0+u f ， = 0+Lfif ，if = if 0+if 代入原方程在平衡点得：两式相减激磁回路偏量微分方程式：SeeP55. 2.1222022/10/5Chapter 2-115非线性方程的线性化方法上面得到的激磁回路偏量微分方程式：在熟练后通常可直接对原方程式两边取增量求得，从而简化推导过程。它为激磁回路动态时间常数，则有：若令 上式把原来的非线性数学模型，转化成了以偏量表示的常系数线性数学模型。在线性化过程中，只考虑了泰勒级数中的一次偏量，

11、故该式又称为一次线性化方程式。 2022/10/5Chapter 2-116Nonlinear System Example-1: AC servomotor(see P57, 2.14)Taylor series expansionThusorec2022/10/5Chapter 2-117Nonlinear System Example-2: PendulumWrite the pendulum dynamic equation Input uoutputUsing linearization method, pendulum dynamic equation 2022/10/5Chapter 2-118Nonlinear System Example-2: Pendulum2022/10/5Chapter 2-119要建立整个系统的线性化微分方程式，首先确定系统处于平衡状态时，各元件的工作点；然后列出各元件在工作点附近的偏量方程式，消去中间变量；最后得到整个系统以偏量表示的线性化方程式。小结2022/10/5Chapter 2-120Analysis and Design Loop PhysicalAssumptions RealSystemPhysical Model Differential Equat