大一下学期高等数学期末考试试题及答案

1、高数高数第 第5页 共 2 页高等数学 A(下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别班级学号姓名成绩大题大题小题一二3三四五六七1245得分本题共5 小题，每小题4 分，满分20 把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足a b 0，a 2，b 2，则ab 3 z22、设z xln(xy)，则y23、曲面x2 y2 z 9在点(1,2,4)处的切平面方程为4、设f (x)是周期为2 的周期函数，它在,)上的表达式为f (x) x，则f (x)的傅里叶级数在x 3处收敛于，在x 处收敛于5、设L 为连接(1,0) 与(0,1) 两点的直线段，则(x y)ds L本题共5 小题，每小题7

2、分，满分35 分）2x2 3y2 z1、求曲线9在点M处的切线及法平面方程0z2 3x2 y22z 2x2 2 y2 z 6 x2 y2 所围成的立体体积n13、判定级数n1(1)n ln是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？n2z4、设z f (xy,)sin y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求,5、计算曲面积分dS z其中是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的顶部三、（本题满分 9 分）z x2 y2 x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值四、（本题满分 10 分）计算曲线积分(ex sin y m)dx (ex c

3、os y mx)dy ，L其中m L A(a,0) 至原点O(0,0) x2 y2 ax (a 0)五、（本题满分 10 分）求幂级数n1xnn的收敛域及和函数六、（本题满分 10 分）I 2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy ，其中 z 1 x2 y2 (z 0) 的上侧x2 x2 y2设f (x)为连续函数，f (0) a，F(t) z f (x2 y2 z2)dv，其中tt是由曲面 z z 所围成的闭区域，求 t 2 x2 t 2 x2 y2F (t)t3备注：考试时间为 2 小时；考试结束时，请每位考生按卷面 答题纸 不得带走试卷。高等数学 A(下册)期末考试试题【A

4、 卷】参考解答与评分标准一、填空题4 20 分】 1、4 ； 1 ；3、2x4y z 14； 43，0； 、.2y22二、试解下列各题【每小题 7 分，共 35 分】3y dy z dz 2xdxdxdy5xdz7x1、解：方程两边对x 求导，得， 从而，.【4】 y dy z dz 3xdx4ydx4zdxdx该曲线在处的切向量为T (1,5,7) 1(8,10,7).【】故所求的切线方程为 x 1 y 14 88z 2.【6】8107法平面方程为 8x110y17z20 即 8x10y 7z 12【7】 z 2x2 2 y2、解：z 6 x2y2 x2y 2 xOy面上的投影区域为D:x2

5、xyy2 2 .【2】2故所求的体积为V dv 2 d2d 62 dz (632)d 【】21021220、解：由lim n unn limnln(1) limln(1)n nnnn1 0n1u发散【】n又| u| ln(11 ) ln(11) u|,lim|u| limln(11 ) 0 .故所给级数收敛且条件收敛7】nnn n1nnnz、解：(fy f1)0 yf 1f，【】2x f 1 x fy 1x ) 1yf 21 x x ) f xyf 1f x【7】11112y2y22y2122y2111y22y322 z ，在xOy面上的投影区域为Da2 a2 x2 y2 (x, y) | x

6、2 y2 a2 h21 z2 1 z2 z2xya2 x2 y2 ，】dS adxdyad aln(a2a2 a2 h2 2 ) a ln a .【】za2Dxyx2 y200a2 22ha2 a2 h2x2 y2 z2d三9 x2 y2 z2d【1】Lx, yz) x2 y z (z x2 y2 ) (x y z 1) ， L 2x 2x 013Lx 2y2y13yy则由L 2z z 0 x y ， z 223 于是得到两个可能极值点z x2 y2x yz 113M (13,2 13122(,2 3).【】1313139953.故dOM|953,dOM |max2min1【9】【10 分L

7、与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得I (ex sin y (ex cos y mx)dy md 28 ma2 【】LOAD而I (ex sinydx(ex cosymx)dy madxma 【】1OA0(ex sin y (ex cos y mx)dy IIL21 ma 8 ma2【10】aan1naan1n10 分】解： lim lim R 3，收敛区间为 (3,3)【】n1nn 13n13 n又当x 3时，级数成为，发散；当x 时，级数成为，收敛【】nn1nn1故该幂级数的收敛域为 3,3 【5】sxn1xn（n3n x ，则xn11x11 1s(x)()n1 , ( | x | 3) 【8】3nn13n1331 x/33 x于是s(x) x s(x)dx xdx ln3xln3ln3x（3 x3 10】00 3x0【10 分】解：取1z 0( x2y 1) 的下侧，记 与1所围成的空间闭区域为 ，则由高斯公式，有I22x3dydz2y3dzdx1z2 1 dxdy 6 x2 y2 zdv【】2126d d 2 000dz 【7】而I 2x3dydz 2y3dzdx 11z 2 1dxdy 31z 2 1dxdy 3 dxdy 3 . 【 9 】x2 y2 1I II 10】21七6 分Ft 2 d nd4rcos 42 r2dr. 【2】