2010考研数一真题及解析

1、 HYPERLINK / HYPERLINK / 全国免费咨询电话：400029全国免费咨询电话：400029地址：陕西省西安市长安北路会展国际 19 层 1901 室（省体育场对面 PAGE 12010 年全国硕士研究生入学统一考数学一试一、选择题(18小题,每小题 432个选项中,只有一个选项符合xx极限x (x a)(xb) (A)(B) eeab eba 设函数 z z(xy) F yz 0 F F0 x xxx yy (A) x(B) zx z n dx的收敛性仅与m 的取值有关(B)仅与n 的取值有关(C)与m,n取值都有关(D)与m,n取值都无关lim nnn j1 ni j 0

2、dx0 1x1y2dy0 dx0 1x1 ydy0 dx0 1x1 ydy(D) 0 dx0 1x1 y2 dy设A为mn矩阵,B为nm矩阵,E为m阶单位矩阵,若ABE,则秩rAm,秩rBm(B) 秩rAm ,秩rBn(C) 秩rAn,秩rBm(D) 秩rAn,秩rBn设A为4阶实对称矩阵,且A2 A O ,若A的秩为3,则A相似于 HYPERLINK / HYPERLINK / 全国免费咨询电话：400029全国免费咨询电话：400029地址：陕西省西安市长安北路会展国际 19 层 1901 室（省体育场对面 PAGE 2xX F(x) 2ex,1(A)2x1 e121 e1f1(x) 为标

3、准正态分布的概率密度,af1(x),x f2 (x) 为13 上均匀分布的概率密f (x) bf2(x),x ,(a0,b0)为概率密度,则a,b应满足(A) 2a3b4(B) 3a2b4abab 2二、填空题(9 14 4 24 x设y tln1u2du, t2xxdx Ly 1 x1,1,起点是1.0,终点是10 分xydxx2dy 设x,y,zx2 y2 z 1,则的形心的竖坐标z 设1210T ,1,102T ,2,1,1aT ,若由,生成的向量空间的维数是2,则a X PXk C kk0,12, EX 2三、解答题(1523 小题,共 94 分.请将解答写在 HYPERLINK /

4、HYPERLINK / 全国免费咨询电话：400029全国免费咨询电话：400029地址：陕西省西安市长安北路会展国际 19 层 1901 室（省体育场对面 PAGE 6(1510y3y2y 2xex 的通解 (16101f x x2 x2 tet2dt 1(1710 (1810dt n 12,求极限limun求幂级数2nx2n (1910PSx2 y2 z2 yz 1S P xOy x 3y 4 y2z2 4P 的轨4 y2z2 4dS ,其中是椭S 于曲线C上方的部分. (2011aA0 1 ，b1Ax b 1 IaIIAxb的通解. (2111 分)已知二次f (x x x ) xTAx

5、 在正交变x Qy 下的标准y2 y2Q三列为( 2,2)TIAIIAE为正定矩阵E3 (2211设二维随机变量X ,Y ) f(x,y) Ae2x22xyy2 ,x,yAfY|X y|x(2311X123X123P2其中参数0,1Ni X 的简单随机样本n )中等于i 33i123a1a2a3,使TaiNi为的无偏估计量,并求T的方差一、选择2010年全国硕士研究生入学统一考试【解析】本题属于未定式求极限,极限为1 型,故可以用“ e 的抬起法”求limxlimxlim x xaxb22xaxb 22xaxb lim x ln xaxb lim xln 1x2 (xa)(xb) (xa)(x

6、b) xx2 (xa)(xa)(xb)(ab)x2 lim (xa)(xb) a 故原式极限为eab ,所以应该选择Fy F z F F1 x2 2 x2 F2 【解 x 2 FFzFxFFF 1 F FF 2xyFF 2 1 z FFF【解x0 x1 n m lnm ln2 1xn m ln2 1xn dxdxdx 用比较判别法的极限形式,对于 2 dx,由于ln2(1x)1xn1n 1xn 显然,当0 1 2 112 0ln2(11 存在,此时21dx 实际上不是反常积分n xn敛n 12 12n 故不论m,n 是什么正整数,2 dx总收敛.对于dx,取n 0 1mn 1ln2(1xn1l

7、imln2(1x)m(1x)0 12n dx 收敛,故选jjj【解析】nin2 j2ni(n2 j2) n2 j2jjjnnlimlim1nn ,2,n j1 n n j1 j 1(11 nlim nlim1 nn i1 nnn n i1 (111 11lim2 lim( 2 n i1 j1 ni j n j1 n i1 n(lim 2 ) (limn j1 n n i1 n11dy 10 110 1 y0 1 x1 y2【解析】AB E r(AB) r(E) m r(AB) rArAB r(Bmr(A),mAmnB nmr(A) m,r(B) r(A) mr(B) m 【解析】设A的特征值A

8、2 A O ,所以2 0,即(1) 0 A的 1 或 0. 由 于 A A 是连续函数.观察本题中F(x)的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的 HYPERLINK / HYPERLINK / 全国免费咨询电话：400029全国免费咨询电话：400029地址：陕西省西安市长安北路会展国际 19 层 1901 室（省体育场对面 PAGE 7PX 1PX1PX1F1F101 2 2e1 本题【解析】根据题意知, xe ( x),1, 1 x , 利用概率密度的性质: f xdx 1f xdx 0 af

9、 xdxbf xdx a f xdx31dx a 3b2 0 2a3b4,故本题应选(A).【答案】【解析】ln1t22ln 12d2dln1t2et d2y d2y et 0 x【答案x t【解析】txt2dx2tdt 原式 tcost2tdt 2t2costdt 2 t dsin 2t2sint 0 2tsintdt04tcostcos0 【解 xydxx2dy xydxx2dy xydx 0 x1 xdx x2dx1 x1xdx x2 0 2x2 xdx1x2x2x2 2x3 3 2 2 3 211223 HYPERLINK / HYPERLINK / 全国免费咨询电话：400029全国

10、免费咨询电话：400029地址：陕西省西安市长安北路会展国际 19 层 1901 室（省体育场对面2【答案】 3z 1d rdr1 2 2 r 【解1r2122122 r61 021 2 1 0 2 .a6 ) 22 2 13 1 13 a6 aa 0 a62 1 PX k k!Ce ,整理得到C ,kkPXke kkX 服从参数为1EX 1DX 1 三、解答【解析】对应齐次方程的特征方程为2 320,解得特征根1, 2应齐次方程的通解为yc Ce C y* x(axb)ex y* ax2 2axbxbexy*ax24axbx2a2bex,a 1b 2y* x(x2)ex y y* CexC

11、e2x x(x2)ex xxf(x) (x2t)et2dt x22xet2 dt xtet2 dt 所 以, 令f(x) 2x x2 et2dt2x3ex4 2x3ex4 2x x2 et2所 以, 令f(x) , 则x0,x114x 又f (x) 2 14x 2 x4 f 000112f(0) 0(0t)et2dt 1 1(10112又因为x1f(x00 x1f(x0 1 x0 时, f(x) 0 ； x 1时, f (x) 0 ,所以 f (x) 的单调递减区间为(1(0,1) , f (x) 的单调递增区间为(10) (1) .I)当0 x1时0ln(1xx,故ln(1t)n tnlnt

12、ln(1t)n lnt tn1 lntln(1t)ndt1 lnttndt n1,2,1lnt tndt 1lnttndt 1lntdtn1 n 1,n,0un 1lnttndt 0n1根据夹逼定理得0limun 2 0,所以limun 01( n nx2 ( nlim 2(n1) limlim lim 2n1 x2 x2 2n2nn 2n 2n1 (1)n1x2n2nx21,即 2n1 (1)n1x2n2nx1数的收敛域为1,1x2nx2n,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原(IIS(x) 2n x 2nx2n1 S1(x) 2n1 1 x1,1S (x) (1)n1x2n2 (x2 x1

13、,1S (x) x1,11(x2)1 S1(x)0 1x2 dxS1(0)arctanx,x1,1S1(xx 1,1S(x) 在收敛域1,1S(x) xarctanx ,x1,1【解析】 IFx, yz x2 y2 z2 yz1Pxyz量 为 2x2yz2z yx2 y2 z2 yz xOy C 2z y HYPERLINK / HYPERLINK / 全国免费咨询电话：400029全国免费咨询电话：400029地址：陕西省西安市长安北路会展国际 19 层 1901 室（省体育场对面x2 y2 z2 yz II2z y z ,可得曲线C xOy xOy :(xy|x2 3y2 1,由x2y2

14、z2 yzx 1x 44y2 z2 4yz y 2z11x yzz故 x 3y dxdy I dSx3dxdyxdxdy4 y2z4 y2z2 4D23【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于 3,进而可231IAx b2r(A) rA) 3 a 11A11aa 0 11a1a1 1 当1A0 0 0 0 1 1 10 0 0 01r(A) r(A)Ax b 001 当1时,A0 1 ,由于r(A)r(A)3,所以a2,故1 ,aa2Axb2的解,r(A) rA3A 0A 知1或- HYPERLINK / HYPERLINK / 全国免费咨询电话：400029全国免

15、费咨询电话：400029地址：陕西省西安市长安北路会展国际 19 层 1901 室（省体育场对面当1r(A) 1 rA2Ax b无解,因此1r(A) rA) ,得a2II1 2 1 3 212A 1 2 10 1 30 0 0 3 2 x1x3 1 可知原方程组等价为x x 0223 2x2 x31 3 2 1因此Axb的通解为xk0 ,其中k为任意常数12 0 IxQyy2 y2A T2T2T由于Q3TA对应于3 0的特征向量为记为3 . 由于 A 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属1的特征向量为x x T ,则T0,即 2 x 2 x 0. 求得该程组的基础解系

16、为 0,10T , 10,1T ,因此, 为属于特征值1 12 1 0,1,0T , 12 HYPERLINK / HYPERLINK / 全国免费咨询电话：400029全国免费咨询电话：400029地址：陕西省西安市长安北路会展国际 19 层 1901 室（省体育场对面12 2 122 0 ,则Q AQ ,且Q 222 2 1 2故 A 0 1 2 IIA E 也是实对称矩阵A1,1,0AE 2,2,1A E A E 【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度f x, y后, 要求条件概率密度y|x,可以根据条件概率公式 (y|x) f(xy) 来进行计算.本题中还有待定YYfX数, A f xfx,ydye2x22xyy2dy e(yx)2 x2 dy Ae e(yx)2 ex2 ,x1 fxdxex2dx AA1fx1 ex2 , x当 xyx f 1 ex2