2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第7章 第1节 第2课时　空间几何体的切、接、截问题

1、 第2课时空间几何体的切、接、截问题 考点一简单几何体的外接球 eq avs4al(典例1)(1)已知三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB eq r(5)，BC eq r(7)，AC2，则此三棱锥的外接球的体积为()A eq f(8,3) B eq f(8r(2),3) C eq f(16,3) D eq f(32,3)(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且BAC eq f(3,4)，AA1BC2，则球O的体积为()A4 eq r(3) B8 C12 D20(1)B(2)A(1)AB eq r(5)，BC eq r(7)，AC2，PA1，PC eq r(

2、3)，PB2.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图所示，则长方体的外接球同时也是三棱锥PABC的外接球长方体的体对角线长为 eq r(134)2 eq r(2)，球的直径为2 eq r(2)，半径R eq r(2)，因此，三棱锥PABC外接球的体积是 eq f(4,3)R3 eq f(4,3)( eq r(2)3 eq f(8r(2),3).故选B.(2)在底面ABC中，由正弦定理得底面ABC所在的截面圆的半径为r eq f(BC,2sin BAC) eq f(2,2sin f(3,4) eq r(2)，则直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的半径为R eq r(r2blc(rc

3、)(avs4alco1(f(AA1,2)2) eq r(（r(2)）212) eq r(3)，则直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的体积为 eq f(4,3)R34 eq r(3).故选A.母题变迁1若将本例(2)的条件“BAC eq f(3,4)，AA1BC2”换为“AB3，AC4，ABAC，AA112”，则球O的半径为_ eq f(13,2)如图所示，过球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM eq f(1,2)BC eq f(5,2)，OM eq f(1,2)AA16，所以球O的半径ROA eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)262) eq f(13,2

4、).2若将本例(2)的条件改为“正四面体的各顶点都在以O为球心的球面上”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为_ eq f(6r(3),)设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14 eq f(r(3),4)a2 eq r(3)a2，其内切球半径r为正四面体高的 eq f(1,4)，即r eq f(1,4) eq f(r(6),3)a eq f(r(6),12)a，因此内切球表面积为S24r2 eq f(a2,6)，则 eq f(S1,S2) eq f(r(3)a2,f(a2,6) eq f(6r(3),).3若将本例(2)的条件改为“侧棱和底面边长都是3 eq r(2)的正

5、四棱锥的各顶点都在以O为球心的球面上”，则其外接球的半径为_3依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3 eq r(2) eq r(2)6，高为 eq r(（3r(2)）2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)6)2)3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.通过本例及母题变迁训练，我们可以看出构造法、补形法等是处理“外接”问题的主要方法，其关键是找到球心，借助勾股定理求球的半径(1)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体，利用2R eq r(a2b2c2)求

6、R.(2)一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱先借助几何体的几何特征确定球心位置，然后把半径放在直角三角形中求解跟进训练1(1)(2021天津高考)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 eq f(32,3)，两个圆锥的高之比为13，则这两个圆锥的体积之和为()A3 B4 C9 D12(2)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为_(1)B(2)61(1)如图，设球O的半径为R，由题意， eq f(4,3)R3 eq f(32,3)，可得R2，则球O的直径为4，两个圆锥的高之比为13，AO11，BO13，由

7、直角三角形中的射影定理可得：r213，即r eq r(3).这两个圆锥的体积之和为V eq f(1,3)( eq r(3)2(13)4.故选B.(2)截面图如图所示，下底面半径为5，圆周直径为10.则圆台的下底面位于圆周的直径上，OCOB5，OC4，OOC eq f(,2)，则圆台的高为3，V eq f(1,3)h(S1 eq r(S1S2)S2)25162061. 考点二简单几何体的内切球 eq avs4al(典例2)(2020全国卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_ eq f(r(2),3)法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CDAB，BD1，BC3，圆

8、O内切于ABC，E为切点，连接OE，则OEBC.在RtBCD中，CD eq r(BC2BD2)2 eq r(2).易知BEBD1，则CE2.设圆锥的内切球半径为R，则OC2 eq r(2)R，在RtCOE中，OC2OE2CE2，即(2 eq r(2)R)2R24，所以R eq f(r(2),2)，圆锥内半径最大的球的体积为 eq f(4,3)R3 eq f(r(2),3).法二：如图，记圆锥的轴截面为ABC，其中ACBC3，AB2，CDAB，在RtBCD中，CD eq r(BC2BD2)2 eq r(2)，则SABC2 eq r(2).设ABC的内切圆O的半径为R，则R eq f(2SABC,

9、332) eq f(r(2),2)，所以圆锥内半径最大的球的体积为 eq f(4,3)R3 eq f(r(2),3).“切”的问题处理规律(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决(2)体积分割是求内切球半径的通用方法跟进训练2在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则VA4 B eq f(9,2) C6 D eq f(32,3)B要使球的体积最大，必须使球的半径最大设球的半径为R，ABC的内切圆半径为 eq f(6810,2)2，R2，由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的直径取得最大值为3，R eq f(3,2)，Vmax eq

10、f(4,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq sup10(3) eq f(9,2).故选B. 考点三空间几何体的截面、截线问题 eq avs4al(典例3)(1)(2020全国卷)已知ABC是面积为 eq f(9r(3),4)的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为()A eq r(3) B eq f(3,2) C1 D eq f(r(3),2)(2)(2020新高考卷)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2.BAD60，以D1为球心， eq r(5)为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_(1)C(2) e

11、q f(r(2),2)(1)由等边三角形ABC的面积为 eq f(9r(3),4)，得 eq f(r(3),4)AB2 eq f(9r(3),4)，得AB3，则ABC的外接圆半径r eq f(2,3) eq f(r(3),2)AB eq f(r(3),3)AB eq r(3).设球的半径为R，则由球的表面积为16，得4R216，得R2，则球心O到平面ABC的距离d eq r(R2r2)1，故选C.(2)如图，连接B1D1，易知B1C1D1为正三角形，所以B1D1C1D12.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1GD1H eq r(2212) eq

12、 r(5)，D1MB1C1，且D1M eq r(3).由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP eq r(2)，连接D1P，则D1P eq r(D1M2MP2) eq r(（r(3)）2（r(2)）2) eq r(5)，连接MG，MH，易得MGMH eq r(2)，故可知以M为圆心， eq r(2)为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线由B1MGC1MH45知GMH90，所以 eq o(GH,sup8()的长为 eq f(1,4)2 eq r(2) eq f(r(2),2).巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤(1)确定球心O和截面圆的圆心O；

13、(2)探求球的半径R和截面圆的半径r；(3)利用|OO|2r2R2计算相关量跟进训练3如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以 eq r(2)为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()A eq f(3,4) B eq r(2)C eq f(3,2) D eq f(9,4)C正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的 eq f(1,4)，所以所有弧长之和为3 eq f(2,4) eq f(3,2).故选C.5.寻找球心解决与球有关的问题简单几何体外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也是历年高考重要的考

14、点，几乎每年都要考查，重在考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心 eq avs4al(典例4)一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 eq f(9,8)，底面周长为3，则这个球的体积为_ eq f(4,3)设正六棱柱底面边长为a，正六棱柱的高为h，则a eq f(1,2)，底面积为S6 eq f(r(3),4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup10(2) eq f(3r(3),8)，V

15、柱Sh eq f(3r(3),8)h eq f(9,8)，h eq r(3)，R2 eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2) eq sup10(2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup10(2)1，R1，球的体积为V eq f(4,3).直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型如图其外接球球心就是上下底面外接圆圆心连线的中点利用长方体与球的中心对称性质确定球心 eq avs4al(典例5)已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，沿AD进行折叠，使折叠后的BDC eq f(,2)，则过A，B，C，D四点的球的表面积为()A.3 B4 C5 D

16、6C连接BC(图略)，由题知几何体ABCD为三棱锥，BDCD1，AD eq r(3)，BDAD，CDAD，BDCD，将折叠后的图形补成一个长、宽、高分别是 eq r(3)，1，1的长方体，其体对角线长为 eq r(113) eq r(5)，故该三棱锥外接球的半径是 eq f(r(5),2)，其表面积为5.若几何体存在三条两两垂直的线段或者三条线有两条垂直，可构造墙角模型(如下图)，直接用公式(2R)2a2b2c2求出R.图图图图根据球与长方体的对称性可知，长方体的对称中心就是球心，所以长方体(或可补形为长方体的柱体、锥体)的体对角线就是其外接球的直径利用底面三角形与侧面三角形的外心探索球心 e

17、q avs4al(典例6)平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD eq r(2)，BDCD.将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD.若四面体ABCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为()A. eq f(r(3),2) B3 C eq f(r(2),3) D2A如图，设BD，BC的中点分别为E，F.因点F为底面直角BCD的外心，知三棱锥ABCD的外接球球心必在过点F且与平面BCD垂直的直线l1上又点E为底面直角ABD的外心，知外接球球心必在过点E且与平面ABD垂直的直线l2上因而球心为l1与l2的交点又FECD，CDBD知FE平面ABD.从而可知球心为点F.又ABAD1，

18、CD1知BD eq r(2)，球半径RFD eq f(BC,2) eq f(r(3),2).故V eq f(4,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2) eq sup10(3) eq f(r(3),2).三棱锥侧面与底面垂直时，可紧扣球心与底面三角形外心连线垂直于底面这一性质，利用底面与侧面的外心，巧探外接球球心，妙求半径利用截面图形的几何性质确定球心 eq avs4al(典例7)在四面体ABCD中，AB eq r(2)，DADBCACB1，则四面体ABCD的外接球的表面积为()A. B2 C3 D4B取AB的中点O，由AB eq r(2)，DADBCACB1，所以C

19、A2CB2AB2，AD2BD2AB2，可得ACBADB90，所以OAOBOCOD eq f(r(2),2)，即O为外接球的球心，球的半径R eq f(r(2),2)，所以四面体ABCD的外接球的表面积为S4R24 eq f(1,2)2.由圆的几何性质可知，直径所对的圆周角是直角，故当遇有公共斜边的直角三角形的四面体外接球问题时，常采用取中点的方式解答跟进训练4(1)已知三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA1，SBSC2，若点P为三棱锥SABC的外接球的球心，则这个外接球的半径是_(2)(2021合肥一中模拟)半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长