2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第2章 第5节　函数的图象

1、 函数的图象考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题1利用描点法作函数的图象基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等).(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等).(3)描点、连线2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减(2)对称变换yf(x)的图象 eq

2、o(,sup9(关于x轴对称)yf(x)的图象； yf(x)的图象 eq o(,sup9(关于y轴对称)yf(x)的图象；yf(x)的图象 eq o(,sup9(关于原点对称)yf(x)的图象；yax(a0且a1)的图象 eq o(,sup9(关于直线yx对称)ylogax(a0且a1)的图象(3)伸缩变换yf(x)的图象 eq o(,sup9(a1，横坐标缩短为原来的f(1,a)，纵坐标不变,0a1，横坐标伸长为原来的f(1,a)倍，纵坐标不变)yf(ax)的图象；yf(x)的图象 eq o(,sup9(a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),sdo15(0a1，纵坐标缩短为原来的a倍，

3、横坐标不变)yaf(x)的图象(4)翻折变换yf(x)的图象 eq o(,sup9(x轴下方部分翻折到上方),sdo15(x轴及上方部分不变)y|f(x)|的图象；yf(x)的图象 eq o(,sup9(y轴右侧部分翻折到左侧),sdo15(原y轴左侧部分去掉，右侧不变)yf(|x|)的图象常用结论1函数图象自身的轴对称(1)f(x)f(x)函数yf(x)的图象关于y轴对称；(2)函数yf(x)的图象关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax(3)若函数yf(x)的定义域为R，且有f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图象关于直线x eq f(ab,2)对称2函数

4、图象自身的中心对称(1)f(x)f(x)函数yf(x)的图象关于原点对称；(2)函数yf(x)的图象关于(a，0)对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2a(3)函数yf(x)的图象关于点(a，b)成中心对称f(ax)2bf(ax)f(x)2bf(2ax)3两个函数图象之间的对称关系(1)函数yf(ax)与yf(bx)的图象关于直线x eq f(ba,2)对称(由axbx得对称轴方程)；(2)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa(3)函数yf(x)与y2bf(x)的图象关于点(0，b)对称；(4)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b 一、易错易误

5、辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1个单位得到()(2)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图象与y|f(x)|的图象相同()(4)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1函数f(x) eq f(1,x)x的图象关于()A.y轴对称B直线yx对称C.坐标原点对称 D直线yx对称Cf(x) eq f(1,x)x是奇函数，图象关于原点对称2函数y eq f(4x,x21)的图象大致为()ABCDA根据

6、函数为奇函数排除C、D选项，又x0时，y0，排除B，故选A.3已知a0且a1，函数ylogax，yax，yxa在同一坐标系中的图象可能是()ABCDC因为函数yax与ylogax的图象关于直线yx对称，再由函数yax的图象过点(0，1)，ylogax的图象过点(1，0)，观察图象知，只有C正确，故选C.4设f(x)2x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线yx对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，则h(x)_log2(x1)与f(x)的图象关于直线yx对称的图象所对应的函数为g(x)log2x，再将其图象右移1个单位长度得到h(x)log2(x1)的图象 考点一作出函

7、数的图象作出下列函数的图象(1)y eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup10(|x|)；(2)y|log2(x1)|；(3)y eq f(2x1,x1)；(4)yx22|x|1.解(1)先作出y eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x的图象，保留y eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x图象中x0的部分，再作出y eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup10(|x|)的图象，如图实线部分图图(2)将函

8、数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图.(3)y eq f(2x1,x1)2 eq f(1,x1)，故函数图象可由y eq f(1,x)图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图.图图(4)y eq blc(avs4alco1(x22x1，x0，,x22x1，x0，)且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如yx eq f(1,x)的函数(2)

9、若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序 考点二函数图象的辨识 eq avs4al(典例1)(1)(2021浙江高考)已知函数f(x)x2 eq f(1,4)，g(x)sin x，则图象为图示的函数可能是()A.yf(x)g(x) eq f(1,4)Byf(x)g(x) eq f(1,4)C.yf(x)g(x) Dy eq f(g（x）,f（x）)真题衍生我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数f(x)的部分图

10、象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为()A.f(x)ln |x|cos xB.f(x)ln |x|sin xC.f(x)ln |x|cos xD.f(x)ln |x|sin xB由题干中函数图象可知其对应的函数为非奇非偶函数，而A，C中的函数为偶函数，故排除AC；设题干中函数图象与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，且x10 x2，则|x1|x2.对于B，令yln |x|sin x0，即ln |x|sin x，作出yln |x|与ysin x的大致图象，如图所示：由图象可知，函数yln |x|sin x的图象与x轴的交点的横坐标满足x10 x2且|x1|x2，故B选项符合题意； 对于D，令

11、yln |x|sin x0，即ln |x|sin x，作出yln |x|与ysin x的大致图象，如图所示：由图象可知，函数yln |x|sin x的图象与x轴的交点的横坐标满足x10 x2，故D选项不符合题意故选B.(2)已知定义在区间0，2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为()ABCD(1)D(2)B(1)易知函数f(x)x2 eq f(1,4)是偶函数，g(x)sin x是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数选项A，yf(x)g(x) eq f(1,4)x2sin x为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；选项B，yf(x)g(x) eq f(1,4)x2sin x也为

12、非奇非偶函数，不符合题意，排除B；因为当x(0，)时，f(x)单调递增，且f(x)0，当x eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)时，g(x)单调递增，且g(x)0，所以yf(x)g(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上单调递增，由图象可知所求函数在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,4)上不单调，排除C.故选D.(2)法一(图象变换法)：作出与函数yf(x)的图象关于y轴对称的图形得到函数yf(x)的图象，再把得到的图象向右平移2个单位，得到函数yf(2x)的图象，再作出与此图象关于x轴对称的图形，得到yf(2x)的图象，故选

13、B.法二(特殊值验证)：当x0时，f(2x)f(2)1；当x1时，f(2x)f(1)1.观察各选项可知，故选B.辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复跟进训练1(1)(2021山东济南模拟)函数f(x) eq f(x3,3x1)的图象大致是()ABCD(2)函数f(x) eq f(axb,（xc）2)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a0，b0，c0Ba0，b0，c0C.a0

14、，b0，c0 Da0，b0，c0(1)D(2)C(1)由于x0时，f(x)0，排除A，C，而函数在y轴右侧yx3增长速度先比y3x快，而后比y3x慢，排除B，故选D.(2)由f(x) eq f(axb,（xc）2)及图象可知，xc，c0，则c0；当x0时，f(0) eq f(b,c2)0，所以b0；当y0时，axb0，所以x eq f(b,a)0，所以a0.故a0，b0，c0.故选C. 考点三函数图象的应用研究函数的性质典例21 在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点设顶点B(x，y)的轨迹方程是yf(x)，则下列对函数yf(

15、x)的判断中：函数yf(x)是奇函数；对任意的xR，都有f(x4)f(x4)；函数yf(x)的值域为0，2 eq r(2)；函数yf(x)在区间6，8上单调递增正确判断的序号是_由题意，当4x2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点(2，0)为圆心，2为半径的 eq f(1,4)圆；当2x2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点(0，0)为圆心，2 eq r(2)为半径的 eq f(1,4)圆；当2x4时，顶点B(x，y)的轨迹是以点(2，0)为圆心，2为半径的 eq f(1,4)圆；当4x6时，顶点B(x，y)的轨迹是以点(6，0)为圆心，2为半径的 eq f(1,4)圆，与4x2的形状相同，因此函数y

16、f(x)在4，4的图象恰好为一个周期的图象，所以函数yf(x)的周期是8，其图象如下：由图象及题意可得，该函数为偶函数，故错误；因为函数的周期为8，所以f(x8)f(x)，因此f(x4)f(x4)，故正确；由图象可得，该函数的值域为0，2 eq r(2)，故正确；因为该函数是以8为周期的函数，因此函数yf(x)在区间6，8的图象与在区间2，0的图象形状相同，因此，f(x)在区间6，8上单调递增，故正确解不等式典例22已知函数f(x)2xx1，则不等式f(x)0的解集是()A.(1，1) B(，1)(1，)C.(0，1) D(，0)(1，)Df(x)02xx1，在同一平面直角坐标系中画出h(x)

17、2x，g(x)x1的图象，如图所示，两图象交点坐标为A(0，1)和B(1，2)，观察图象可知不等式f(x)0的解集为(，0)(1，)，故选D.求参数的取值范围典例23(1)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_(2)已知函数f(x)x|x4|，若直线ya与函数f(x)的图象有三个交点A，B，C，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_(1) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)(2)(8，62 eq r(2)(1)先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与

18、直线AB平行时，斜率为1，当直线g(x)kx过A点时，斜率为 eq f(1,2)，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1).(2)f(x)x|x4| eq blc(avs4alco1(（x2）24，x4，,（x2）24，x4，)其图象如图所示由图象可得x1x24，4x322 eq r(2)，所以8x1x2x362 eq r(2).函数图象的应用类型及求解策略(1)利用函数的图象研究函数的性质，对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)g(x)的解集是函数f(x)的图象位于