二元一次不等式组与简单的线性规划问题二

1、各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题【2014高考会这样考】1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范 围)；2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围；3.利用线性规划方法设计解决实际 问题的最优方案.【复习备考要这样做】1.掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)；2.理解目标函数的几何 意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合.基础知识,自主学习I要点梳理I.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直

2、线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域一我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我 们在坐标系中画不等式Ax+By+C三0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线， 则把边界直线画成实线.(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x, y)，把它的坐标(x, y)代入Ax+By+C 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(X0, y0),由Ax0+ By0+C的符号即可判断Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x, y组成的一次不等式线性约束条件由x, y的二次不等式(或方程)组成的不等式

3、组线性目标函数欲求最大值或最小值的一次解析式可行域约束条件所表示的平面区域最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小小问题.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值难点正本疑点清源.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.求二元一次函数z

4、二ax + by(abW0)的最值，将函数z二ax + by转化为直线的斜截式：y二精品文档各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-% + z，通过求直线的截距Z的最值间接求出z的最值.要注意：当b0时，截距Z取最 b bbb大值时，Z也取最大值；截品售取最小值时，Z也取最小值；当b0时，截品冷取最大值时， bbZ取最小值；截距标取最小值时，Z取最大值I基础自测I1.若点(1,3)和(一4,一2)在直线21+y+m=0的两侧，则m的取值范围是答案 一5 m 10解析 由题意可得(2X 1+3+ m)2x( - 4) - 2 + m0 ,即(m + 5)(m -

5、10)0 ,二-5m0解析即1 +平面区域的边界线方程为:-2 1+y - 1 = 答案 1+y 10解析即1 +平面区域的边界线方程为:-2 1+y - 1 = 0.所以平面区域满足不等式是 + v - 10.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工 资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工1人，瓦工y人，则请工人的约束条件是501+40y W2 000答案11GN*y GN*. （2012.课标全国）设1, y满足约束条件则z=1 -2y的取值范围为1一y 三一1,1+y W3,答案-3,3解析 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示,Ly-

6、x-2y=0工+y-3=0 x-y+I=0作直线1 -2y = 0 ,并向左上，右下平移，当直线过点A时，z=1 -2y取最大值；当直线精品文档各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有过点B时，z=-2y取最小值.% -y + 1= 0,y = 0,由得B(1,2),由得A(3,0).、 + y - 3 = 0% + y -3 = 0. zmax = 3-2X0 = 3, zmin=1-2X2=-3,z引-3,3.5. （2012.四川改编）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千 克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千

7、克.每桶甲产品的 利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每 天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 元.答案2 800解析 设生产甲产品桶，乙产品y桶，每天利润为z元，% + 2y 12 ,2% + y 12 ,则z = 300% + 400y.%三0,y三0,作出可行域，如图阴影部分所示.作直线300% + 400y = 0，向右上平移，过点A时，z = 300% + 400y取最大值，% + 2% + 2y = 12 ,12% + y =12 A(4,4), z max = 30

8、0X4 + 400X4 = 2 800.题型一二元一次不等式（组）表示的平面区域%三0,4【例1】若不等式组卜+3y三4,所表示的平面区域被直线y = k%+4分为面积相等的两部、3 %+y 4分，则分，则k的值是精品文档各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有思维启迪：画出平面区域，显然点（0,4）在已知的平面区域内，直线系过定点（0, , 结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可.7答案3解析不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y=kx+3过定点（0, 4）.因此只有直线过AB中点时，直线y=kx+能平分平面区域.n , 5 k , 4 时，2=2+3因

9、为 A(1,1)n , 5 k , 4 时，2=2+3当 y=kx+4过点（2，D、7所以k=3.探究提高不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，画出 图形后，面积关系可结合平面知识探求.0W x W2,变式训嫉1已知关于x, y的不等式组lx+y2三0,所表示的平面区域的面积为4,、kxy+2 三 0则k的值为.答案1解析 其中平面区域kx - y + 2三0是含有坐标原点的半平面.直线kx - y + 2 = 0又过定 点（0,2），这样就可以根据平面区域的面积为4 ,确定一个封闭的区域，作 出平面区域即可求解.平面区域如图所示，根据平面区域面积为4 ,得A（2,4）

10、，代入直线方程， 得 k =1.题型二 求线性目标函数的最值7 x5 y23W0【例2】已知x, y满足条件lx+7y 11W0，求4x3y的最大值和最小值.14x+y +10 三 0思维启迪：目标函数z = 4x - 3y是直线形式，可通过平行移动，求最值.7x - 5y - 23W0解 不等式组1 x + 7y - 1K0表示的区域如图所示.Mx + y +10 三 0精品 文档各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有可观察出4x - 3y在A点取到最大值，在B点取到最小值. 解方程组x - 5y - 23 = 0，4x + y +10 = 0L yL y =

11、- 6则 A (-1,-6).x + 7 x + 7 y -11 = 0L4x + y +10 = 0解方程组则B （-3,2），因此4x - 3 y的最大值和最小值分别为14,-18.探究提高（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处 取得.（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线 的纵截距的关系.变式被统2 （2011广东改编）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 0W x W 隹Vy W2,给定.若M（x, y）为D上的动点，点A的坐标为（啦，1）,则z=OM- O）Ax Wv2y的最大值为.答案4解析由线性约

12、束条件0WxW啦,卜二x Wy画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z = OM. OA =率x + y，将 /7其化为y =- ；2x + z，结合图形可知，目标函数的图象过点仙，2） 时，z最大，将点（2，2）的坐标代入z =逢x + y得z的最大值为4.题型三线性规划的简单应用【例3】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过 精品 文档各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两 个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万

13、元和0.2万元.问 该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 多少万元？思维启迪：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约 束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题.解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为1分钟和y分钟，总收益为z元， 由题意得1 + y300 , 5001 + 200y90 000 ,1%三0 , y三0.目标函数为z = 3 000% + 2 000y.% + y300 ,J二元一次不等式组等价于| 5% + 2y900 ,作出二元一次不等式组所表示的平面区1%三0 , y三0.域，即可行域，如图：5U

14、D作直线 l ： 3 000% + 2 000y = 0 ,即 3% + 2y = 0.平移直线l ,从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值.联立卜+ y = 300，、5 % + 2y = 900.解得 % =100 , y = 200.点m的坐标为（100,200）,二 zma= 3 000% + 2 000y = 700 000（元）.即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大， 最大收益是70万元.探究提高 解线性规划应用问题的一般步骤是：（1）分析题意，设出未知量；（2）列出线性精品 文档各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度

15、，方案手册，应有尽有约束条件和目标函数；（3）作出可行域并利用数形结合求解；（4）作答.变式训堞2 （1）（2012.江西改编）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入一总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种 植面积分别为.答案30亩，20亩% + y50 ,解析 设种植黄瓜亩，韭菜y亩，则由题意可知1.2% + 0.9y54,求目标函数z1% , yGN +，=% +0.9y的最大值，根据题意

16、画可行域如图阴影所示.当目标函数线l向右平移，移至点A（30,20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植 30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大.f 2%y+2 三 0,（2）如果点P在平面区域卜+y20,上，点Q在曲线%2+（y+2）2=1上，那么PQ2y 1 三0答案解析答案解析如图，当p取点（0,2），Q取点（0，-1）时，PQ有最小值为|.思想与方法系列16利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值精品文档各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有%4y+3W0典例：(14分)变量、y满足4 3%+5y25W0,、三1(i)设z=y，求z的最小值； %(2

17、)设z=%2+y2,求z的取值范围；(3)设 z=%2+y2+6%4y +13,求 z 的取值范围.审题视角(% , y)是可行域内的点.(1)z二山可以理解为点(%，y)与点(0,0)连线的斜% - 0率.(2)% 2 + y 2可以理解为点(% , y)与点(0,0)连线距离的平方.(3) % 2 + y 2 + 6%-4y +13 = (%+ 3)2 + (y - 2)2可以理解为点( , y)与(-3,2)的距离的平方.结合图形确定最值.规范解答，作出( , y)的可行域如图所示.% - 4y + 3W0 解 由约束条件 3% + 5，作出( , y)的可行域如图所示.%三1% = 1

18、由,、3 % + 5 y -25 = 0解得 a(1, 22).f % = 1由|，解得c (1,1).、 - 4y + 3 = 0%-4y + 3 = 0，解得 B(5,2) . 4 分、3 % + 5 y -25 = 0(1)V (1)V zy = y-0% %-0.z的值即是可行域中的点与原点。连线的斜率.观察图形可知zmin = kOB = |.7分(2)z = %2 + y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域 上的点到原点的距离中，dmin = OC = V2 , dmax = OB = V29.A20时，截距b取最大值 时，z也取最大值；截距Z取最小

19、值时，z也取最小值；当bo，x+y 1 -x - y， I 2解析 由已知得x + (1 - x - y)y，即 I y4，ly + (1 - x - y)x， I 1精品文档各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有%三0,2. (2011湖北改编)2. (2011湖北改编)直线2%+y-10=0与不等式组、表示的平面区域的公共% - y 三-2，%+3 y 20点的个数为.答案1解析 在坐标平面内画出直线2% + y -10 = 0与不等式组表示的平面区域，易知直线与此 区域的公共点有1个.%+2y 三2，3. (2012山东改编)设变量%，y满足约束条件2%+

20、y 4，则目标函数z=3 % - y的取值、4%y 三一1，范围是.一一 3-答案 一2，6解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3% - y = 0 ,并向左上、 右下平移.由图可得，当直线过点A时，z = 3% - y取最大值；当直线过点B时，z = 3% - y取最小值.% + 2y - 2 = 0 ,由解得A(2,0)；、2% + y-4 = 0由卜% - y +1=0 ,、2% + y -4 = 0解得B 33).,Zmax = 3X2-0 = 6, Zmin=3X1-3=-|.z = 3 % - y的取值范围是-2,6_.2%+y604.设不等式组, %+y一3三

21、0表示的平面区域为M，若函数y=k(%+1)+1的图象经过区、y 2域M，则实数k的取值范围是.精品文档各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有答案4答案4，2B（丹 rB（丹 rj2）口耳J）解析 作出平面区域，如图所示.因为函数的图象是过点P (-1 , 1),且斜率为k的直线/,由图知，当直线l过点4(1,2)时，k取最大值 1 ；当直线l过点B(3,0)时，k取最小值-1，故 N/i,(2011陕西)如图，点(%, y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2%y的最小值为答案1解析 令b = 2% - y，则y = 2% - b，如图所示，作斜率为2的平

22、行线y = 2% - b , 当经过点A时，直线在y轴上的截距最大为-b，此时b = 2% - y取得最小值为b = 2X1-1 = 1.3W2%+y W9,(2011课标全国)若变量%, y满足约束条件二 则z=% + 2y的最小值为 、6W %y W9,答案一6解析作出不等式表示的可行域如图(阴影部分).精品文档各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有易知直线z= + 2y过点B时，Z有最小值.所以z mi所以z mi4 + 2X（-5）=-6.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销

23、售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是万元.答案27解析 设生产甲产品吨、乙产品y吨,则获得的利润为z=5%+3y.由题意得y三0由题意得y三0,3 %+y W13,I 32r+3y=L82%+3 y W18,可行域如图阴影所示.由图可知当%、y在A点取值时，z取得最大值，此时%=3, y=4, z=5X3+3X4 = 27（万元）.二、解答题（共27分）（13分）画出2%32%-3 ,解先将所给不等式转化为厂y W3.而求正整数解则意味着% , y还有限制条件，精品 文档各类专业

24、好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有y2% - 3即求0所给不等式等价于丁2% - 3y W3.依照二元一次不等式表示平面区域可得如图（1）.y2% - 3 ,表示的平面区域.如图（2）所示：对于2% - 3y W3的正整数解，再画出卜W3 , 1% , 表示的平面区域.如图（2）所示：（I）可知，在该区域内有整数解为（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,2）、（2,3）共五组.（14分）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某 投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100% 和50%,可能的最大亏损

25、率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元， 要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元， 才能使可能的盈利最大？解 设投资人分别用%万元、y万元投资甲、乙两个项目，% + y W10 , 0.3% + 0.1 y0，当% = 4 , y = 6时，z取得最大值， 所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的 前提下，使可能的盈利最大.B组专项能力提升 (时间:35分钟，满分：58分) 一、填空题(每小题5分，共30分)%+y3W0,(2012.福建改编)若函数y = 2%图象上存在点(%, y)满足约束条

26、件1 %2y3W0,贝恢数m的最大值为.答案1解析在同一直角坐标系中作出函数y = 2%的图象及 %+y-3W0, 1所表示的平面区域，如图阴影部分所示.、 - 2y - 3W0由图可知，当m W1时， 函数y = 2%的图象上存在点( , y)满足约束条件， 故m的最大值为1.(2012.课标全国改编)已知正三角形ABC的顶点A(1,1), B(1,3), 顶点C在第一象限，若点(%, y)在4ABC内部，则z = %+y的取值范围是答案(1,瓦2)-解析 如图，根据题意得C(1 + -,-13 , 2).作直线-% + y = 0,并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1 +承,2

27、)时，z =- % + y取范 围的边界值，即-(1 + “3) + 2z - 1 + 3 ,.z =- % + y的取值范围是(1 7n , 2).精品文档各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有%三1,3.设不等式组0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是答案(I，)解析*-3=0Oy=*-3=0Oy= flx+-z画出%、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z = a% + y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y =- a% + z的斜率应小于直线% + 2y-3 = 0的斜率，即-a |.(2011湖北改编)已知向量 a = (%+z, 3

28、), b = (2, y - z)，且 a b .若 %, y 满足不等式 I % I + I y IW1,则z的取值范围为 答案-3,3解析 V a = (% + z, 3)，b = (2，y - z )，且 a b，精品文档各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有，a- b = 2(x + z) + 3(y - z) = 0, 即 2x + 3y - z = 0.又I x I + I y W1表示的区域为图中阴影部分，当 2x + 3y - z = 0 过点 B(0 ,- 1)时，zmin =- 3 ,当 2x + 3y - z = 0 过点4(0,1)时，zmin = 3.Az引-3,3.二、解答题(共28分)(14分)某营养师要为某个儿童预订午