2010年3月31日-正交设计-贺高红

1、正交试验设计大连理工大学贺高红2021-3-311主要内容因素、水平和指标单因素试验设计多因素试验设计正交表及其根本性质正交试验设计流程正交试验结果直观分析水平数目不等的正交试验设计有交互作用时的正交试验设计正交试验后的下一轮试验正交试验结果方差分析21. 因素、水平和指标因素：考察的变量，如反响温度、压力、催化剂品种等。 定量因素：取值可以在某一区间内连续变化，如反响温度和压力等； 定性因素：只能取有限个类别，如催化剂品种水平：因素被考察的值。如反响温度是因素A，它的试验范围取为80-200。在此范围内假设选择在80，120，160，200处试验，那么这些温度称为A的水平，并记作A1=80，

2、A2=120，A3=160，A4=200。试验指标：试验的结果。试验的目的：研究因素对试验指标的影响和它们之间的关系，以及因素间的交互作用 。一个好的试验设计，是用最少的试验来获取试验指标和因素之间关系的最多信息。32. 单因素试验设计2.1 均分法因素x的取值试验点均匀地分布在整个试验区间，假设试验区间为a, b，总共进行n次试验：优点：试验结果可靠、合理，适用于各种试验目的缺点：试验工作量大适用条件：在整个试验区间，试验指标与因素之间的关系函数为一连续函数。abi=0,n42.2 对分法适用条件：根据一次试验结果能得到下一次试验的方向。假设试验区间为(a, b)，那么第一次试验点为(a +

3、 b) /2，根据试验结果，判断下一次试验的区间，删除整个试验区间的一半。第二次试验点选取仍为保存的试验区间的中点，根据结果再删除一半的试验区间，直到找到最正确试验结果为止。例: 某酸性废水用投加石灰的方法中和，石灰投加量为20-120mg/L，那么第一次试验石灰的投加量为60mg/L，如果投加后废水的pH值大于7，那么说明投加量过大，第二次试验石灰的投加量为40mg/L，如此一直试验下去，直到废水的pH等于7为止。20100 x2=40 x1=60优点：每次试验能去掉试验区间的50%。缺点：适用范围较窄，要求根据一次试验就能得到下一次试验的方向。52.3 0.618法源于计算机求单峰函数极值

4、时常用的一种计算方法。在求单峰函数 y = f(x) 的极值时，先在计算区间(a, b)内选取两点x1，x2，(0.5)：如果y1凝聚剂投加量絮凝时间对出水SS：凝聚剂投加量凝聚剂种类絮凝时间292假设得到的试验结果如下表3单个分析计算最正确水平组合COD：聚合物硫酸铝，40mg/L，20min。SS：聚合物硫酸铝，40mg/L，20min。30硫酸铝45678聚合硫酸铝三氯化铁104070102030硫酸铝1518212427聚合硫酸铝三氯化铁104070102030（a）凝聚剂种类（b）凝聚剂投加量 （mg/L）（c）絮凝时间（min）（a）凝聚剂种类（b）凝聚剂投加量 （mg/L）（c）

5、絮凝时间（min）出水COD（mg/L）出水SS（mg/L）为了更直观的反映试验结果，也可根据试验结果作因素指标趋势图。314分析结果最正确水平组合为了明确各因素对试验指标的影响，也可在正交试验之后进行单因素试验。32多指标试验直观分析对于多指标试验，经常出现各个指标的最正确水平组合不同的情况，需要具体分析。分析时需考虑各个指标的重要性、试验的目的、相关专业知识。另一种用于直观分析多指标正交试验结果的方法为指标叠加法，即构造一个综合指标 y = a1y1+a2y2+akyk式中，a1, a2, ak为各单项指标前的系数，其大小正负要视指标性质和重要程度而定。33例3 对例2的试验结果采用指标叠

6、加法进行分析由于本试验的结果中出水SS普遍较低，远低于国家排放标准，而出水COD浓度较高，在排放标准左右，因而可认为出水COD是一个比较重要的指标。定义综合指标 y = 1.5COD + SS主次顺序：凝聚剂种类凝聚剂投加量絮凝时间最正确水平组合：凝聚剂种类为聚合硫酸铝，凝聚剂投加量为40mg/L，絮凝时间为20min347 水平数目不等的正交试验设计有些试验由于受试验条件限制，某些因素不能多取水平，而有些因素为了重点考察，又必须多取水平，故在实际试验过程中，不可防止地会出现水平数不等的正交试验。一般用以下两种方法安排试验：1用混合型正交表安排试验使用混合型正交表时，分析方法与等水平正交表相同

7、。2拟水平法当现有的混合正交表试验次数较多，或者没有现成的混合正交表供选用时，可选用水平数较多的正交表，将水平数较少的因素虚拟一些水平。拟水平选取的原那么是：根据实际情况将比较好的水平或比较重要的水平重复一次。在进行直观分析与方差分析时，需注意各水平的重复数不同。35例4 为提高化工产品的收率，考察4个因素，温度，甲 醇钠量Kg，醛的状态，缩合剂用量Kg，因素水平表如下 因素水平A 温度B甲醇钠量C醛的状态D缩合剂用量1253固0.92354液1.234551.5由于共有四个因素，人们首先想到用正交表L9(34)来安排试验。但C因素只有两个水平， L9(34)不能适用。那么一个最简单的方法是人

8、为地为A因素增加一个水平然后使用L9(34) 。这种人为地增加因素水平数的方法，对连续变化的因素是可行的。但对于离散性因素如本题中，因其水平数目是自然形成的，不能随意调整，只能采用“拟水平法。根据经验，工程师估计醛的状态为液态时，产品收率较高，所以将其重复一次，凑成第3个水平称为拟水平。36利用拟水平法安排试验对采用拟水平法安排的试验结果进行直观分析时，各因素的水平均值为其实际进行的试验结果总和除以实际进行的试验次数，并以此求极差。如本例中，因素C第一个水平固均值为2、6、7三次试验结果之和除以3；因素C第二个水平液均值为3、4、8三次试验结果之和加上1、5、9三次拟水平的试验结果之和除以6；

9、因素C的极差即为这两个水平均值之差。378 有交互作用时正交试验设计假设现在考察因素A与因素B对试验结果的影响，每个因素均只考察两个水平，选用L4(23)来安排试验结果如下。从分析结果可知，空白列的极差比B因素的极差还大。什么原因？38可能原因有两个：1试验误差的影响。在各因素间没有交互作用时，空白列一般反映了试验误差的影响。当某因素对试验结果的影响非常小，而试验误差又很大时，有可能使空白列的极差大于某因素的极差，但这种可能性非常小。2交互作用。空白列外表上没有安排因素，但实际上存在着一些“因素，这些“因素是实际存在的因素的交互作用。39有交互作用正交试验的表头设计考虑有交互作用的正交试验设计

10、时，需要借助“二列间的交互作用表。必须严格按照该表来排列。正交表L8(27)的二列间的交互作用表如下表所示：列号12345671325476231674532176544567123547613267452317654321如果把因素A排在表头的第1列，因素B排在表头的第2列，那么AB排在哪一列就唯一确定第3列。对试验结果分析时，把它看作一个单独的因素。表头设计时注意：1先排有交互作用的两个因素，把这两个因素排在某两列上；2利用交互作用表，查两列的交互作用列，并在其上填该两因素的交互作用 项。这一列决不能排其它因素，否那么就会发生混杂。3最后放剩下的因素。40交互作用表的由来试验号列号1234

11、567111111112111-1-1-1-131-1-111-1-141-1-1-1-1115-11-11-11-16-11-1-11-117-1-111-1-118-1-11-111-1下面以L827为例。对于2水平试验设计，可以将其正交表中的1用“+1表示，2用“-1表示。得到右表。发现，第一列与第二列向量相乘点乘的结果为第三列向量；第一列与第四列向量相乘的结果为第五列向量根据向量点乘的意义，可知第三列表示了第一列与第二列的交互作用。更高阶的交互作用也可由类似方法得出。考虑交互作用并使用L827的表头设计可简单的表示成：419 正交试验后的下一轮试验进行一轮正交试验后，通过分析可得到各个

12、因素的最正确水平组合、影响因素的主次顺序，以及各因素的显著性。为了验证试验结果是否可靠，一般需再次进行试验。1对直观分析得到的最正确水平组合进行试验，以验证所得到的最正确水平组会是否正确；2去除一些影响不显著的因素后，重新选取保存下来的因素的水平，对影响显著的因素进行重点考察，再次进行正交试验；3根据第一轮试验结果，重新选取一些因素的水平，再次进行正交试验；4删除一些影响不显著的因素，增加一些尚未考察的因素，再次进行正交试验。42Thanks！439 正交试验结果的方差分析正交试验结果的直观分析主要通过计算水平均值与极差来确定因素最近水平组合和因素的主次顺序。直观分析的优点是简单、直观、分析计

13、算量小。但因缺乏误差分析，所以不能给出误差大小的估计，不能把试验条件的改变与由试验误差二者所引起的数据波动区别开来，也不能提供一个标准，用来考察、判断各个因素的影响是否显著。方差分析是对直观分析的一个有力补充。方差分析根本思想是将数据的总变异分解成因素引起的变异和误差引起的变异两局部，构造F统计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。44方差分析步骤总偏差平方和所对应的自由度ft等于试验总次数减1因为SSt中存在一个线性关系，即均值与各样本值之间的关系。类似的，各因素的偏差平方和的自由度等于该因素的水平数减1。误差平方和的自由度等于总自由度减去各因素的自由度。关于方差分析的具体推导见有关专著，下面给出方差分析的步骤。设通过正交表安排了n次试验，得到的试验结果为yzz = 1,2,n，试验中有r个因素，每个因素对应的水平为mi均值总偏差平方和2总偏差平方和可以分解成试验误差平方和与各个因素的偏差平方和相加1计算所有试验结果之和3偏差平方和除以所对应的自由度便可以得到方差，即4构造F统计量5列方差分析表，作F检验服从F(fi, fe)分布。各