北京理工大学2018-2019学年工科数学分析上期末试题A答案

1、 PAGE 5 页 （5 页）2018-2019 学年第一学期工科数学分析（上）(A 卷)标准答案及评分标准2019年1月日一、填空（每小题4分，共20分）1e22 1 t24t33.a b 04 .6(e2 1)5.2Cex21 1 x1 x1.lim2x0 x211 lim 2 1x2 1 xx02x1x 11x 1 x4 x0 x2 1x12 1x 2 1x12 1x4 x015 分42.解： 当x 0时，得y 1分2xy x y 两边对 x 求导，得2xy ln2y xy1 y分x 0, y 1代入上式，得到 y |x0 ln2 1dy x0(ln21)dx分3. 解: 定义域(, )

2、f (x) 10 x 1 ，一阶导数不存在的点为 0; f 0 11 分33 x12列表：x（ ,0）0（0,1）1(1,+)f x)+不存在-0+f (x)极大值 0极小值 -3f(x)（,）和1,;0,;极大值为:f (0) 0,极小值为:f (1) 3.分4.解I:设 y p(y)y pdp则，dy则. 2分代入原方程，得： p( y dp p) 0dyp 0y dpdy p 0p C y,1dy C y,即dx1.4 分1故原方程的通解为：1y C2eC x .由p0,即y0,得y C,此式包含在通解中(C1 0 的情况). 5 分解II:两端同乘不为零因子1y2y 0), ( y 0

3、也是解.)yy y2则y2dydx(0,分dxdy C y,故dx1.4 分1故原方程的通解为：1y C2eC x5 分y y ,解III:原方程变为：yyln yln ylnC ,dy C y,. 2分两边积分，得y C eC x1即dx.4 分三、解： 故原方程的通解为：arctan xdxx2 (1 x2)215 分 arctan xdx arctan xdx. 3分x2 a r c t 1x1 x2( a r a n( r c ta n)111 ( a r c ta )a c a nd x分2xx(2)1)t a ( a r c ta 2 1ar 1x1)t a 2xx1 x2111

4、(arctan x)2 2arctan x ln xx2 ln(1 x2 C分3四、解:lim y limxarctan(1 x2 ) ,3xcxc 1x2x3所以曲线没有垂直渐近线x3lim y limarctan(1 x2 ) ,xx 1x2所以曲线没有水平渐近线1 分a lim yx x1x3 limx x(1 x2arctan(1x2)1.4分b lim( y ax)xx3li m (a r c ta2(x).7分x 1x22故 曲线有斜渐近线 y x 2 . 8分五、(1)x sin x ,0 x 1, 因此当n 2 时，2 12xsin x x ,x单调减少；n1nn 又xnx有下

5、界，故 xn有极限.xn1 sin xnA sin A 0. 3 分x1sinx1nlim(n1 ) x2 lim(n ) x2 ,n(2)nxnnxnn为1型离散型不能直接用洛必达法则sint1lim 1 ln( sin t )先考虑lim(t0t)t2 et0t2tlimtcostsint1et02t3e 6nx11n故，l i nxnx2 )e 6. 6 分（）画草图，解交点(0),)A 1(x x2 )dx0 16（2）V 1(y)2dy1 y2dy00 1 6.2分.4分.6分.8分y 轴, x 轴建立直角坐标系x 轴的区间0,20 上任取小区间xx dx,得面积微元等于(10 x)

6、dx分5x 处水的压强为 故d P x) d 5积分得所求压力 P 20 gx(10 x )dx4400 g;.5 分053x x2,故水的压强为 gx2),于是0d P (2 ) (1x05x ,积分得所求压力 P 20 g(x2)(10 x )dx5360 g.8 分八、解：由lim(053sin x f(x)f (x) sinxlim(x1, 可知x0 xx2x0 xs i l im (fx(0,sinxsinf (0) lim f ( xlim1.分x0 x0 x1 f (x)sinx)f (x) 1 sin x 1 )x0 xx2x0 xx2x lim(f (x)1sinxx) f

7、limsinxx.6分x0 xx2x0 x2 f limcosx1 f limsinx f ( 0 ).x02xx02所以,f 1.分九、解：令u x t,则xf (x t)dt x00f (u)du代入方程可得： f (u)du xf (t)dt x tf (t)dt ex 1 2 分求导得： f (x) 00000f(t)dtex ，4 分由于 f (x) 连续, 可知 x f (t)dt 可导, 从而 f (x) 也可导. 上式两边再求导得0f (x) f (x) e xf (x f x) f x e x.6 分f (0) 1 11解此微分方程可得f ( x)exex.8 分22十、证明：(1)f(xf(0)0,由拉格朗日定理，存在 (0,1),使得f ) f (1) f (0) 1.10. 2 分(2)令 (x) f(x)