第四章机构动力学建模的等效元素

1、第四章 机构动力学建模的等效元素集成法 有限元方法自诞生以来，已在机械和土木工程等结构分析领域得到了广泛而成功的应用，目前已成为各种复杂结构计算分析的强有力工具。 机构动力学分析中运用有限元方法并不多见。因为机构分析中的刚性单元与结构分析中的弹性单元有很大区别，系统组建规则无法直接运用。本章引入等效元素和等效系统集成的概念，以解决有限刚性构件组成的复杂机械系统动力学建模的难题。 如前所述，在将有限元法应用于多刚体系统动力学分析时，单元自由度数少于结点位移数，构造质量阵时要考虑各结点虚位移的相关性，结点位移的非独立性将导致相应的约束方程，为避免以上问题，使模型建立简捷、组装集成方便，本文引入了等

2、效单元、等效系统、等效力系的概念，这种等效是为应用有限元方法组装的需要而进行的，是对每一构件（单元）本身动力学和静力学特性的等效，然后构成等效系统，等效的目的是为了集成，而绝非传统意义上将系统的动力学特性向某一构件上的等效。 等效单元 机构由若干构件构成，每个构件又可划分为一个或若干个单元，单元的运动状况取决于单元上的受力和单元的自身惯性。两个质量分布情况不同的单元，惯性却可能相同。对此，称之为等效单元。等效单元之间的质量分布必须满足一定的条件，使等效后的单元和原单元惯量特性相同。 4.1具有集中惯量的等效构件单元 任意一个质量均布或不均布的构件单元，如图41所示，都可以按等效原则等效成具有集

3、中质量的构件单元，而此集中质量可以根据动力学模型需要位于质心或构件两端，如图42所示。 图41构件单元图42 等效单元 等效单元的集中惯量分布 在工程实际中，常采用集中质量单元来代替实际质量单元。在多刚体系统机构动力学分析时，单元等效中等效集中质量法的运用有其特殊性。为保证等效集中质量单元与原均布或不均布质量单元在静力学和动力学方面的等效性，应保证等效之后单元的惯性矩阵与原单元的惯性矩阵完全相同。 等效原则：对任意单元进行质量和惯量凝聚，形成等效单元时等效单元与原实际单元要在总质量、质心、质量矩、惯性矩等方面完全一致。 对于图所示的对称等截面杆，用集中质量和集中惯量代替原均质杆，当把质量和惯量

4、对称凝聚时，由于截面的对称性有设质量和惯量的凝聚点为i=1,2,n 当把质量和惯量对称集中在杆的两端（结点）时,即图4-4集中质量位于杆的两端(结点) 将质量和惯量集中于杆质心时, 即 图4-5集中质量位于杆质心 由以上两式可看到，不仅杆的质量被按质心不变的原则集中到特定的质点位置上，还产生了所谓集中惯性矩，它表征了质量在该质点上的分布。式中甚至出现了负值的惯性矩，这是为抵消质量集中到杆的两端而造成的惯性矩变大所产生的“折扣惯性矩”项，其定义正如在求截面形心时有时要用到负面积的概念一样。如图4-6所示，杆内有一集中质量块m，杆长为l ，分别向两端1，2等效时（图4-7）得图4-6 具有集中质量

5、杆图4-7 向两端等效或者，对于平面均质杆单元，设其惯性矩为J ，等效成图4-7等效单元后，有如下等式对于任意单元进行质量和惯量凝聚时，等效单元的集中惯量须满足对于形如图4-8所示的质量不均布单元，可将其按静力等效等效成图4-9所示的形式，然后可如前所述按等效原则分别向两端或质心等效。图4-8质量不均布单元 图4-9 等效后的单元 对于形如图10所示的不规则单元，可将其等效成图11所示的形式，然后可如前所述按等效原则向质心等效。 图4-10 不规则单元 图4-11 等效单元 对于图4-12所示的同一根轴上的n个轮毂单元，也都可以用等效的方式等效成图4-13所示的等效单元。 图4-12 任意轮毂

6、单元 图4-13 等效单元 以上各等效构件具有与原构件相同的惯性矩阵，从动力等效意义上来说它们是完全惯性等效的。运用惯性等效原则，得出集中质量分布形式的等效单元。等效单元导出的伪惯性矩阵与实际单元导出的完全一样。然而，集中质量及惯量分布对单元运动方程的推导及系统运动方程的集成组装带来很大便利。对连杆单元组成的连杆机构而言，推荐采用将质量集中在杆两端结点处的等效单元，因为系统正是通过单元结点的联系组建起来的，这是梁杆系统有限元方法建立系统方程的基本方法。4.2 若干单元的等效质量阵 为了方便地用有限元法对刚性单元进行组装，等效元素集成法将单元的质量（惯量）凝聚在边界结点上（构件两端），此时，先将

7、刚性单元视为弹性的，各结点自由度独立无关，每自由度对应一集中质量或惯量，使质量阵的表达式与弹性单元无异，然后加上刚性约束条件以限制非独立自由度。 平面杆单元等效到杆中质心处的质量阵为： 图4-14向质心等效的平面杆单元 平面杆单元等效到杆两端的质量阵为 图4-15 向两端(结点)等效的平面杆单元 轮毂单元的等效质量阵为： 图4-16 轮毂单元 平面梁杆单元的质量阵可表为如前所述，任何分布质量的刚性构件，均可按等效原则变为集中质量的等效单元，从而使单元质量阵的列写极为简单，例如平面梁杆单元的质量阵可表为但是必须指出，这只是如图所示具有两结点、6自由度的平面弹性梁杆的质量阵，它并不能应用于刚性系统

8、的动力学建模，它只是借用了弹性单元的表达形式。实质上，在刚性单元中，这些结点自由度并非相互独立。图4-14所示的平面单元中，只有3个独立自由度（两个平动，一个转动），而对空间单元，则有6个独立自由度（三个平动，三个转动），只有在加入刚性约束条件后，等效单元才具有真正意义上的等效。对刚性单元，有约束条件将以上约束条件代入虚位移平衡方程有4.3 由等效单元到系统动力学方程的集成 将约束条件代入虚位移平衡方程得单元运动方程4.3.1从弹性单元到刚性单元图4-17悬摆取广义坐标为 悬摆运动方程： 具有等效单元的机械系统动力学方程的集成 若将机构中各单元视为具有集中惯量的弹性单元，从单元到系统的集成则完

9、全可运用有限元理论及方法，得到不记及弹性刚度的系统虚位移动力学平衡方程 系统过渡坐标 与广义坐标 之间的关系有得到系统动力学通用表达式式中 系统在广义坐标下二阶质量阵； 系统在广义坐标下三阶质量阵； 系统在广义坐标下的广义力阵。由此得到系统动力学方程表达式 或图4-18 平面曲柄滑块机构 图4-19 系统单元划分 单元质量阵分别为 将图18中的单元按通常的有限元方法组装到图19中的等效系统中，得过渡坐标下的系统质量阵 系统的等效力为 根据约束条件得过渡坐标与广义坐标间关系 得到曲柄滑块机构动力学方程 等效单元构成的系统动力学方程通用表达式 * 在应用等效元素集成法列写复杂机构动力学方程时,问题

10、的关键归结为系统中非独立的过渡坐标与独立的广义坐标之间的二阶转换张量和三阶转换张量的确定和系统质量阵的集成。 * 等效元素集成法的概念形成对复杂的机械系统而言，建立过渡坐标 与广义坐标之间关系的二阶转换阵 并非易事,雅可比阵 往往比较复杂，难以一下子完整表达。因此，可采用多次集成法。不失一般性，可认为由等效单元所构成的等效系统的过渡坐标与广义坐标之间可经过多次坐标轮换而成，即复杂机构动力学方程的二次及多次集成 复杂机构动力学方程的二次及多次集成 通过合理选择适当的中间坐标，可得到相应的中间转换矩阵，从而把复杂的转换分解成若干简单的中间转换的合成。将上式各矩阵代入二阶转换阵和三阶转换阵的表达式，

11、将获得与上节中完全一致的结果。 7R级机构中有7个运动连杆，各杆长为l 如图所示，设各截面积为A ，质量密度为 .系统中各节点的过渡坐标 的选取如图所示，求运动微分方程4.4复杂空间机构动力学建模的等效元素集成法4.4.1具有集中惯量的空间等效构件单元空间杆单元的伪惯性矩阵 构件坐标系原点如图20所示取于单元中心时图4-20坐标原点位于中心的空间构件 图4-21坐标原点位于一端的空间构件 构件坐标系原点如图21所示取于单元一端时空间杆单元的等效质量阵 图4-22空间向两端(结点)等效杆单元 1空间杆单元等效到两端的质量阵为 图4-23 空间向质心等效杆单元 2空间杆单元等效到杆中质心处的质量阵

12、为： 3 空间轮毂单元的等效质量阵为 4.4.2空间复杂机构动力学方程的集成方法源于动力学普遍方程的动力学微分方程对于空间机构和平面机构是通用的.基于等效元素集成法,系统动力学方程可表为但是转换张量 和 的列写和等效质量阵 的集成要比平面机构复杂。 4.4.2.1 空间转换张量的列写方法 如同平面机构一样，在空间机构中，系统中非独立的过渡坐标与独立的广义坐标之间的二阶转换张量和三阶转换张量与机构的真实速度和加速度无关，只与机构的运动学尺寸、机构类型及机构输入参数（广义坐标）有关，即与机构的位形有关。二阶及三阶转换张量的求解方法通常由以下几种 : 1)求导法; 2)环路方程法; 3)虚设机构法 .设空间机构中广义坐标（输入参数）为q1、q2qn，Ui为系统运动中各节点和外力作用点对应的运动自由度（节点在系统中的可能位移） ，则：4.4.2.2空间复杂机构动力学方程的集成方法空间质量阵的集成 * 由于构件坐标原点取在构件质心上，因此广义质量阵 中平动与转动的耦合项为零，为对角阵，系统中过渡坐标总数等于系统质量