第八章 弹性杆件横截面上的正应力分析-2

1、工程力学第八章弹性杆件横截面上的正应力分析一、弯曲正应力 当外加力偶或横向力作用于杆件纵向的某一平面内时，杆件将发生弯曲变形，其轴线将弯曲成曲线。8-2 对称弯曲正应力AB对称轴纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线对称弯曲 在AC和DB段，梁的横截面既有弯矩，又有剪力，这种情况称为横力弯曲。 在CD段内，梁的横截面上剪力为零，而弯矩为常量，这种情况称为纯弯曲。 梁在纯弯曲变形时，横截面上只有与弯矩有关的正应力。 二、梁在纯弯曲时的正应力 1、变形几何关系 作如下假设： 梁的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于变形后 的轴线，即弯曲变形的平面假设。(2) 纵向纤维间无挤压作用，各纵向

2、纤维均处于单向受拉 或受压状态。 中性层 中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。中性轴：横截面与中性层的交线。 纵向线aa变形后的长度为: aa 变形前的长度等于中性层的长度 纵向线aa的应变为 即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面高度呈线性分布。 中性层长度不变, 所以2、物理关系 因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有: 即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距离y成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。3、静力学关系 对横截面上的内力系，有: 根据静力平衡条件，纯弯曲梁只有对z轴的力偶矩M 即： 由: z 轴通过形心即：中性轴通过形心。由:因为y

3、轴是对称轴，上式自然满足。EIz 梁的抗弯刚度将上式代入由:惯性矩在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。 令:式中Wz称为弯曲截面系数，其单位为m3。例：悬臂梁受力及截面尺寸如图，求梁的1-1截面上A、B两点的正应力。解：（1）计算1-1截面上的弯矩（2）确定中性轴位置，并计算惯性矩（3）确定所求应力点到中性轴的距离，计算各点的应力。A点：B点： 将弯矩M和坐标y按规定的正负号代入，所得到的正应力若为正值，即为拉应力，若为负值，即为压应力。 也可根据梁变形的情况来判断，即以中性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力为压应力，此时,M和y可以直接代入绝对值。例：一水平放置的N

4、o.10普通热轧槽钢制悬臂梁，受力如图。外力都作用在铅垂对称面内。已知Fp=1.2KN,M=2.2KN.m,求：（1）1-1截面上A、B两点的正应力；（2）梁内最大正应力。解：（1）画弯矩图确定1-1截面上的弯矩与梁内最大弯矩。1-1截面：2-2截面：（2）确定中性轴位置及惯性矩查表，No.10普通热轧槽型钢（3）确定所求点到中性轴的距离，计算指定点的应力A点：B点：（4）计算梁内最大正应力最大正应力发生在2-2截面上距中性轴最远的点。例：如图所示圆轴在A、B两处的轴承可近似地视为简支，轴的外伸部分是空心的，求轴内的最大正应力。解：1.作轴的弯矩图，判断可能的危险截面2、计算实心与空心截面的惯

5、性矩B截面：C截面：3、计算最大应力B截面：C截面：轴中的最大正应力发生在截面处（即实心部分）。例：T形截面铸铁外伸梁的载荷和尺寸如图，试求梁内的最大拉应力和压应力。解：（1）作弯矩图截面B有最大负弯矩，MB=-5kNm在x=0.87m处截面D剪力为零， 弯矩有极值，其值为MD=3.8kNm（3）计算惯性矩 平行轴定理式（2）确定中性轴位置设截面形心到顶边的距离为yc，取顶边轴z1为参考轴(3)求最大正应力截面B：上边缘有最大拉应力，下边缘有最大压应力截面D：正弯矩，可能发生比截面B还要大的拉应力四种基本变形：拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲xyzcPxyzcPxyzcM8-3 斜弯曲与拉(压)

6、弯组合一、组合变形组合变形：由两种或两种以上基本变形组合的变形。xyzcP1P2xyzcP1P2F分析组合变形时，可以先将外力进行简化或分解，转化为几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形（拉压、扭转或弯曲）。xyzcP1xyzcP2xyzcP1P2二、叠加原理 这样，可以分别计算每一种基本变形各自引起的内力、应力、应变和位移，然后把所得的结果进行叠加，便是构件在组合变形下的内力、应力、应变和位移。这就是叠加原理。条件：要求内力、应力、应变和位移等与外力呈线性关系xyzcP1xyzcP2xyzcP1P2 当载荷作用面不在梁的纵向对称面内时，梁的弯曲轴线将不在载荷作用面内，即发生斜弯

7、曲。此时，中性轴不再与载荷的作用面垂直。yzcP平面弯曲的两大特征：1、弯曲后的轴线在载荷作用面内；2、中性轴与载荷的作用面垂直。要求：载荷作用在纵向对称面内三、斜弯曲两相互垂直平面内弯曲的组合1.外力分解：2.内力计算：3. 应力计算：上拉、下压前压、后拉利用叠加原理得x 截面上C 点处的正应力为可知截面C上任一点的正应力是：固定端截面上任一点的正应力是：截面上C 点处的正应力为 上述分析计算中，式中各物理量均可取绝对值，而各项应力的正、负号可按拉为正，压为负直观地判断。中性轴与z 轴的夹角q 为上式表示中性轴为通过截面形心的直线。 式中， 为力F与y轴的夹角。 斜弯曲平面弯曲根据中性轴定义

8、，中性轴上各点处的正应力均为零，令 代表中性轴上任意点的坐标令 ，即得中性轴方程为中性轴将横截面分为两部分，一部分受拉应力，一部分受压应力。作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点D1，D2就是该截面上拉应力和压应力为最大的点。危险点的应力状态对于有外凸角点的截面，例如矩形截面、工字形截面等，最大应力一定发生在角点处。例: 求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。P1=1 kNP2=1.6 kN1m1myzzy9cm18cmAB解：最大拉应力在固端截面A点，最大压应力在固端截面B点，二者大小相等。固端截面： 在外力作用下同时发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲两种基本变形，称为

9、拉弯组合变形。xP1xP2轴向拉压平面弯曲四、拉伸（压缩）与弯曲组合变形横向力和轴向力同时存在；力作用于截面形心，但作用线与x轴成一定夹角；力作用线与轴线平行，但不通过截面形心； 在这些情况下，杆将产生弯曲与轴向拉压的组合变形，简称拉(压)弯组合变形。xPxP1P2PxPyxP拉（压）弯组合的三种情况外力分解横向力与轴向力共同作用2内力计算在 m-m 截面上+FxFyPxFNMzPyll+叠加FN对应的应力Mz对应的应力3应力计算叠加后，横截面上正应力分布规律只可能为以下三种情况：危险点的位置很容易确定，在截面的最上缘或最下缘。由于危险点的应力状态为简单应力状态(单向拉伸或单向压缩)中性轴发生

10、平移.轴力FN s=FN /A弯矩Mz s=Mz y/Iz弯矩My s=Myz/IyxyzABMyFNMzCD横截面上任一点（y,z）处的正应力中性轴方程截面上同时作用有轴力以及两对称面内的弯矩中性轴方程中性轴是一条不通过截面形心的斜直线是两垂直平面内弯曲的情况，中性轴是通过截面形心的斜直线。xyzABMyFNMzCDD处：C处：例：如图所示起重机的最大吊量为F=12KN，若横梁 AB为NO.16工字钢，试求梁AB内的最大正应力。解：（1）取横梁AB为研究对象，画受力分析图，列平衡方程（2）画内力图可知截面C为危险截面。（3）应力计算由附录查16号工字钢的数据：最大应力发生在截面C的下边缘，为最大压应力例：开口链环由直径d=12mm 的圆钢弯制而成，其形状如图所示。链环的受力及其他尺寸均适于图中，试求：（1）链环直段部分横截面上的最大拉应力和最大压应力；（2）中性轴与