中心对称图形-平行四边形全章复习与巩固提高知识讲解

1、中心对称图形一一平行四边形全章复习与巩固（提高）责编：杜少波.掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋 转中心连线所成的角.理解中心对称图形的定义和性质.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法，并能运用这 些知识进行有关的证明和计算.掌握三角形中位线定理.【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转的概念和性质将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分 别与旋转中心连线所成的角相等.要点二

2、、中心对称与中心对称图形一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关 于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分把一个图形绕某一个点旋转180,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那 么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.要点三、平行四边形.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质（1）对边平行且相等； TOC o 1-5 h z （2）对角相等；邻角互补；.（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.222BC.面积：S平行四边形底义高.判定：边：(1

3、)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角：(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (5)两组邻角分别互补的四边形是平行四边形.边与角：(6) 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形;对角线：(7)对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：(1)平行线间的距离都相等；(2)等底等高的平行四边形面积相等.要点四、矩形.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质(1)具有平行四边形的所有性质；(2)四个角都是直角；(3)对角线互相平分且相等；(4)中心对称图形，轴对称

4、图形.面积：S矩启长义宽.判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.要点五、菱形.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质(1)具有平行四边形的一切性质；(2)四条边相等；(3)两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形，轴对称图形. 一丘吉_对角线x对角线.面积：S菱形-底x高一豆.判定(1) 一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)对角线互相垂直

5、的平行四边形是菱形;(3)四边相等的四边形是菱形.要点六、正方形.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.性质(1)对边平行；(2)四个角都是直角；(3)四条边都相等；(4)对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；(5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形; (6)中心对称图形，轴对称图形.1.面积：S正方位边长X边长=2X对角线X对角线.判定(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2) 一组邻边相等的矩形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形；(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；(6)四条边都相等，四个角都是直角的四边

6、形是正方形.【典型例题】类型一、旋转与中心对称图形1、如图，在ABC中，NCAB=75,在同一平面内，将ABC绕点A旋转到ABC,的位置，使得 的位置，使得 CC/AB,则NBAB，=(【思路点拨】根据旋转的性质可得AC=AC,NBAC二NB,AC,再根据两直线平行，内错 角相等求出NACC，=NCAB,然后利用等腰三角形两底角相等求出NCAC，,再求出 NBAB，二NCAC,从而得解.【答案】A；【解析】解：,ABC绕点A旋转到ABC的位置， .AC=ACz,ZBAC=ZBzACz,CC/AB,NCAB=75,AZACCz=ZCAB=75,AZCACz=180 -2ZACCz=180 -2X

7、75=30, VZBABz=ZBAC-ZBzAC, ZCACz=ZBzACz -ZBAC, .ZBABz=ZCACz=30.故选A.【总结升华】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的 形状与大小的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质.类型二、平行四边形2、(2016菏泽)如图，点O是ABC内一点，连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的 中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG.(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)若M为EF的中点，OM=3,NOBC 和/OCB互余，求DG的长度.【思路点拨】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等

8、于第三边的一半可得EFBC且 EFBC, DGBC且DGqBC,从而得到DE=EF, DGEF,再利用一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形证明即可；(2)先判断出NB0C=90,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可.【答案与解析】解：(1)：D、G分别是AB、AC的中点，.DGBC, DGqBC,E、F分别是OB、OC的中点，.EFBC, EF=yBC,.DG=EF, DGEF,四边形DEFG是平行四边形；(2)VZOBC 和/OCB 互余，AZOBC+Z0CB=90,AZB0C=90,M为EF的中点，OM=3,.EF=2OM=6.由(1)有四边形DEFG是平行四边形，D

9、G=EF=6.【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性 质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形.举一反三:【变式】已知448(3中，AB = 3, AC=4, BC=5,分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作 正ABD、正4ACE和正BCF,求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积.【答案】证明：AB = 3, AC = 4, BC = 5,AZBAC=90ABDACE和ABCF为正三角形， .AB=BD=AD, AC=AE=CE, BC=BF=FC ,Z1 + ZFBA=Z2+ZFBA=60AZ1 = Z2易证BAC04BDF (S

10、AS), .DF=AC=AE = 4,ZBDF=90同理可证BAC04FEC .AB=AD=EF=3四边形AEFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).DFAE, DFBD延长EA交BD于H点，AHLBD,则H为BD中点，平行四边形AEFD的面积=DFXDH=4X 3 =6.类型三、矩形3、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点， 且 AE=BF=CG=DH.(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若 E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，且 DGLAC, OF=2 cm，求矩形 ABCD的面积.【答案与解析】(

11、1)证明：二四边形ABCD是矩形， .OA=0B=OC=OD, VAE=BF=CG=DH,.AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH, 即：OE = OF=OG=OH,四边形EFGH是矩形；(2)解：:G是OC的中点，.GO=GC,VDGXAC, ?.ZDGO=ZDGC = 9G, 又,DG=DG,.,.DGCSDGO, .CD=OD,F 是 BO 中点，OF=2cm ,ABO=4 cm ,四边形ABCD是矩形， .DO=BO = 4cm ,ADC=4 cm , DB = 8 cm ,.CB=DB2 DC2 = 4 V3, ，矩形 ABCD 的面积=4X 43 = 16。3cm2 .【总

12、结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线 相等.举一反三：【变式】（2015秋太康县期中）如图，M是4ABC的边BC的中点，AN平分NBAC,且BNLAN, 垂足为 N,且 AB=6, BC=10, MN=1.5,求4ABC 的周长.【答案】解：延长线段BN交AC于E.AN 平分NBAC,在4ABN和4AEN中，Vban=Zean，AN 二 ANtZANB=ZANE=90.,.ABNSAEN(SAS),.AE=AB=6, BN=NE,又M是ABC的边BC的中点，ACE=2MN=2X1.5=3,.ABC 的周长是 AB+BC+AC=6+10+6+3=25.4、

13、在 RtABC 中，ZACB=90,BC=4.过点 A 作 AEAB 且 AB=AE,过点 E 分别作 EFAC,EDLBC,分别交AC和BC的延长线与点F, D.若FC=5,求四边形ABDE的周长.【思路点拨】首先证明ABC04EAF,即可得出BC=AF, AC二EF,再利用勾股定理得出AB的 长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可.【答案与解析】解：:NACB=90,AE，AB, AZ1+ZB=Z1+Z2=90. AZB=Z2.VEFXAC, AZ4=Z5=90. AZ3=Z4.在ABC和AEAF中，Z3 = Z4,AB = AE,.ABCSEAF(AAS).ABC

14、=AF, AC=EF. BC=4,AF=4. FC=5, AAC=EF=9.在 RtAABC 中，AB=、(B2 + AC2 = v42 + 92 = J97 .AE=97 .VEDXBC, AZ7=Z6=Z5=90.四边形EFCD是矩形. .CD=EF=9, ED=FC=5.四边形 ABDE 的周长:AB+BD+DE+EA=%：97 +4+9+5+ *；97 =18+2 97 .【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识， 根据已知得出AC=EF=9是解题关键.类型四、菱形 、如图，平行四边形ABCD中，ABAC, AB=1, BC= 55 .对角线AC,

15、 BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC, AD于点E, F.(1)证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能， 说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.【思路点拨】(1)当旋转角为90时，NA0F=90,由ABLAC,可得ABEF,即可证明 四边形ABEF为平行四边形；(2)证明AOF04COE即可；(3)当EFLBD时，四边形BEDF 为菱形，又由 ABLAC, AB=1, BC=；5 ,易求得 OA=AB,即可得NA0B=45,求

16、得NA0F=45, 则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45.【答案与解析】(1)证明：当NAOF=90 时，ABEF,又 AFBE,四边形ABEF为平行四边形.(2)证明：；四边形ABCD为平行四边形，AAO = CO,ZFAO=ZECO,ZAOF=ZCOE. .,.AOFSCOE.AF=CE(3)四边形BEDF可以是菱形.理由：如图，连接BF, DE,由（2）知AOF04COE,得 OE=OF, EF与BD互相平分.当EFXBD时，四边形BEDF为菱形.在 RSABC 中，AC = 7、正方形ABCD的边长为3, E、F分别是AB、BC边上的点，且NEDF=45.将4DAE 绕点D逆

17、时针旋转90,得到4DCM.(1)求证:EF=FM；(2)当AE=1时，求EF的长.【答案与解析】解：（1）证明：二DAE逆时针旋转90得到ADCM,.DE=DM,ZEDM=90,.ZEDF+ZFDM=90,VZEDF=45,.ZFDM=ZEDF=45,在ADEF和4DMF中，DE = DM ， /EDF = /MDFDF = DF.,.DEFSDMF（SAS）,.EF=MF；（2）设 EF=MF= % ,VAE=CM=1, = %2 ,55解得：% =-，则 EF=.【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股 定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.举一反三：【变式】如图（1）,正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C,且B、C、E在一直线上， 连接BG、DE.（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由.（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2）, BG和DE是否 还存在上述关系？