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文档简介

1、1第五章 随机变量的数字特征2定义 若E (X - E(X)2) 存在，则称其为随机变量 X 的方差, 记为D (X ) D (X ) = E (X - E(X)2) 称为X 的均方差. 方差的概念(X - E(X)2 随机变量X 的取值偏离平均值 的情况, 是X的函数, 也是随机变量 E(X - E(X)2 随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度 数 3若 X 为离散型 变量.，概率分布为若 X 为连续型，概率密度为f (x)常用的计算方差的公式：4 D (C) = 0 D (aX ) = a2D(X)D (aX + b ) = a2D(X) 特别地，若X ,Y 相互独立，则 方差的性质5

2、 若相互独立，为常数则若X ,Y 相互独立 对任意常数C, D (X ) E(X C)2 , 当且仅当C = E(X )时等号成立 D (X ) = 0 P (X = E(X)=1称为X 依概率 1 等于常数E(X)7P 1 08P 1 0P 1 010仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：P -1 0 1 0.1 0.8 0.1P -2 0 20.025 0.95 0.025与它们有相同的期望、方差但是分布却不同11但若已知分布的类型，及期望和方差，常能确定分布.例9 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y = 1 2 X , 求 Y 的密度函

3、数.解 12标准化随机变量设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在,且D(X ) 0, 则称为 X 的标准化随机变量. 显然，14定义 称为X ,Y 的协方差. 记为称为（X , Y ）的协方差矩阵可以证明协方差矩阵为半正定矩阵协方差和相关系数的定义15若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称为X ,Y 的 相关系数，记为事实上，若称 X ,Y 不相关.17求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 0, E(Y 2 ) 0 时，当且仅当时，等式成立.31相关系数的性质 Cauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为323334 X , Y 不相关X , Y 相互独立X , Y 不相关若 X

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