函数极限和连续

1、关于函数的极限与连续1第1页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四第一节 函数及其性质一、函数的概念二、函数的性质本节主要内容:2第2页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四一、函数的概念 (一)区间与邻域 1 .区间研究函数时,常常要用到区间的概念.设开区间闭区间右半开区间左半开区间实数a ,b叫相应区间的端点,数b - a 称为区间的长度.规定:3第3页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四无限区间4第4页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四 2 .邻域点 的 邻域其中, 称为邻域中心 , 正数 称为邻域半径 .点 的去心

2、邻域点 的左 邻域 :右 邻域 :以 为中心的任何开区间称为点的邻域,记作 5第5页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四 (二)函数的概念子集，任意 xD，变量 y 按照某个对应关系则称 f 是定义在 D 上的函数，x 称为自变量,f ,有唯一确定的实数与之对应(记作 y=f (x) ) ,定义1.1.1 设x , y 是两个变量，D 是 R 的非空y 称为因变量. D 称为函数 f 的定义域，数集f (D)= f (x) | xD 称为函数 f 的值域 . 1 .函数的定义6第6页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四 定义域: 是指使表达式及实际问题都有意

3、义的自变量集合.确定函数的两要素：(1)对应关系; (2)定义域.如, 绝对值函数定义域值 域与函数 g (x) = x, 定义域 D = R, 值域 f ( D ) = R,在 x 0时，解例5 设22第22页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四 定义1. 1. 5 设函数y=f (x)的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任何x，都有 二.函数的性质 (一)奇偶性如果对于定义域中的任何x ，都有 不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.则称 y =f (x)为奇函数则称 y =f (x)为偶函数.23第23页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四

4、 如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. 奇函数与偶函数图象的对称性 如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 24第24页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四定义域 D = 且有例 6 判断函数所以该函数是奇函数解的奇偶性25第25页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四 定义1. 1. 6 设函数y=f (x), x1, x2为区间(a,b)内任意两个数，

5、 若当x1 x2时，有f (x1) f (x2)，则称函数f (x)在区间(a, b)内是单调增加的； 若当x1 f (x2)，则称函数f (x)在区间(a, b)内是单调减少的 (二)单调性26第26页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四几何特征单调增加单调减少27第27页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四 定义1. 1. 7 设函数 y = f (x)在区间I上有定义，当任意xI， 恒有| f (x) |M 成立，则称函数 y=f (x) I上的有界函数; 如果不存在这样的正数M ，则称函数 y = f (x)为I上的无界函数 (三)有界性28第28页

6、，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四几何特征 我们说一个函数是有界的或是无界的，应同时指出其自变量的相应范围 29第29页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四 定义1. 1. 8 对于函数 y=f (x) ，如果存在一个不为零的正数L ，使得对于定义域内的一切x,等式 f (x +L)= f (x) 都成立，则 y = f (x) 叫做 周期函数，L 叫做这个函数的周期 (四)周期性 周期函数若存在最小正周期，通常将最小正周期简称为周期.30第30页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四复习反三角函数1.反正弦函数:定义域:值域: 函数单调增

7、加且有界.在 上的反函数叫反正弦函数,记作:它的31第31页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四2. 反余弦函数:定义域:-1,1,值域: 函数单调减少且有界.在叫反余弦函数, 记作:它的上的反函数32第32页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四渐近线渐近线3.反正切函数:在内的反函数叫反正切函数,记作:它的定义域:值域:函数单调增加且有界.33第33页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四4.反余切函数:叫反余切函数,记作:它的定义域:值域:函数单调减少且有界.在内的反函数渐近线渐近线34第34页，共36页，2022年，5月20日，11点7分，星期四 第一节 内容小结: 一.函数的概念二.函数的性质函数的定义及表