函数最大值、最小值

1、关于函数的最大值、最小值第1页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四第2页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四函数的最大值和最小值1.最大值对于定义域为I的函数f(x)，条件：f(x)Mf(x0)=M第3页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四结论：M是定义域为I的函数f(x)的最大值.几何意义：函数y=f(x)图象上最_点的_.思考：函数f(x)=-x21总成立吗？f(x)的最大值是1吗?提示:f(x)=-x21总成立，但是不存在x0使f(x0)=1，所以f(x)的最大值不是1，而是0. 高纵坐标第4页，共52页，2022年，5月20日，11

2、点5分，星期四2.最小值对于定义域为I的函数f(x)，条件：结论：M是函数f(x)在I上的最小值.几何意义：函数y=f(x)图象上最_点的_.f(x)Mf(x0)=M低纵坐标第5页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)=x的最小值是-.( )(2)函数f(x)=-x2在1,3上的最小值是-1.( )(3)函数f(x)=2x在区间1,3)上的最小值是-2，无最大值.( )第6页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四提示：(1)错误. 函数f(x)=x在(,+)上无最大值和最小值.(2)错误. 当x=3时函数f(

3、x)=-x2在1,3上取得最小值-9.(3)正确.由于函数f(x)=2x在区间1,3)上是增函数，故当x=-1时函数取得最小值-2，函数无最大值.答案：(1) (2) (3)第7页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【知识点拨】1.最大值、最小值定义的理解(1)最大(小)值定义中具备的两个条件对于定义域内全部元素,都有f(x)M (f(x)M)成立;M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如f(x)=-x2的最大值是0,有f(0)=0,注意定义中“存在”一词的理解.(2)两条件缺一不可,若只有前者, M不是最大(小)值,如f(x)=-x21总成立,但1不是最大值,更不能只有后

4、者,那样就丢掉了最大值的核心了.第8页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四2.求最大值、最小值时的三个关注点(1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标.(2)单调性法求最值勿忘求定义域.(3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意.第9页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四3.辨析函数的最值和值域(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域.(2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在.(3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素.例如，函

5、数f(x)=-x2对任意的xR，都有f(x)1,但是f(x)的最大值不是1，因为1不在f(x)的值域内. 第10页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四类型 一 图象法求函数最值(值域) 【典型例题】1.函数y=f(x)，x4,7的图象如图，则其最大值、最小值为( )A.3，2 B.3，-2C.3，0 D.2，-22.写出函数f(x)=|x+1|+|2x|，x(,3的单调区间和最值.第11页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【解题探究】1.利用图象法求函数的最值时应写最高(低)点的纵坐标,还是横坐标？2.题2中求函数的单调区间与最值时应按照怎样的思路求解？探

6、究提示：1.利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标.2.应先作图象，找出单调区间，最后确定最值.第12页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【解析】1.选B.观察图象知，图象的最高点(3，3)，最低点(-1.5，-2)，所以其最大值、最小值分别为3，-2.2. 其图象如下：由图象得单调递减区间为(-,-1，单调递增区间为2,3,有最小值3，无最大值.第13页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【互动探究】把题2中的问题改为求f(x)5的x的取值范围.【解析】结合题2图象，令g(x)=5,则x的范围为x-2或x=3.第14页，共52页，202

7、2年，5月20日，11点5分，星期四【拓展提升】利用图象法求函数最值(1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法,对图象易作出的函数常用.(2)图象法求最值的一般步骤:第15页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四类型 二 单调性法求函数的最值(值域)【典型例题】1.已知函数f(x)=x2+2x+a(x0,2)有最小值-2，则f(x)的最大值为( )A.4 B.6 C.1 D.22.函数f(x)= (x0).(1)求证：f(x)在(0,+)上是增函数.(2)若函数f(x)的定义域与值域都是 2，求a的值.第16页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【解题

8、探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么?2.题2(1)证明f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决(2)是否有作用？探究提示：1.求二次函数f(x)在某区间m,n上的最值的关键是判断函数在m,n内的单调性.2.证明f(x)单调性的步骤为取值作差变形定号判断(结论)，可以利用其单调性解决(2)中的值域问题，进而求出a的值.第17页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【解析】1.选B.f(x)=x2+2x+a(x0,2)为增函数，所以最小值为f(0)=a=2，最大值为f(2)=8+a=6.第18页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四2.(1)任取x1，

9、x2(0,+)，且x1x2，则f(x1)f(x2)，即f(x)在(0,+)上是增函数.(2)由(1)知，f(x)在(0,+)上是增函数，所以若函数f(x)的定义域与值域都是 2，则 即解得a=第19页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【拓展提升】1.利用单调性求最值的一般步骤(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性写出最值.2.利用单调性求最值的三个常用结论(1)如果函数f(x)在区间a,b上是增(减)函数,则f(x)在区间a,b的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值.(2)如果函数f(x)在区间(a,b上是增函数,在区间b,c)上是减函数,则函数f(x)在区间(

10、a,c)上有最大值f(b).第20页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四(3)如果函数f(x)在区间(a,b上是减函数,在区间b,c)上是增函数,则函数f(x)在区间(a,c)上有最小值f(b).第21页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【变式训练】已知函数f(x)= x2,5，求其最大值与最小值.【解析】任意取x1，x22,5且x1x2，则f(x1)f(x2)=x1，x22,5且x10，所以f(x)= x2,5是减函数，f(5)f(x)f(2)，故f(x)的最大值为f(2)=2，最小值为f(5)=第22页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星

11、期四类型 三 函数最值的应用 【典型例题】1.绿园商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为_元/瓶.第23页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四2.一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面 m，铅球落地点距刚出手时相应地面上的点10m，铅球运动中最高点离地面3m，如图：已知铅球走过的路线是抛物线，求该抛物线表示的函数的解析式.第24页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【解题探究】1.解实

12、际应用问题时需要考虑定义域吗？2.二次函数解析式有哪几种设法？第25页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四探究提示：1.需要考虑定义域,因为解应用题,就是确定函数,求函数最值的问题,应时刻牢记函数的定义域,不仅使函数式有意义，而且还要与实际问题相符合.2.(1)一般式: y=ax2+bx+c(a0 ).已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式,然后列出三元一次方程组求解.(2)顶点式: y=a(x-h)2+k(a0).已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程时,通常设函数解析式为顶点式.第26页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四(3)两根式: y=a(xx

13、1)(xx2)( a0).已知二次函数与x轴的两个交点或已知与二次函数对应的一元二次方程的两个实根时,经常采用两根式.第27页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【解析】1.设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y=(x3)(400+ 40)=80(x3)(9x)=-80(x-6)2+720(x3)，所以x=6时，y取最大值.答案：62.由题意，抛物线的最大值为3，故设抛物线方程为y=a(xh)2+3(a0)，又其过点(0, )，(10,0)，所以 解得 抛物线方程为y= (x4)2+3，x0,10.第28页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【拓展提升】解实

14、际应用题的四个步骤(1)审题:解读实际问题,找出已知条件、未知条件,确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模:建立数学模型,列出函数关系式.(3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案.第29页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【变式训练】快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45千米/时和15千米/时，已知AC150千米，在快艇到达C地之前，经过多少时间，快艇和轮船之间的距离最短？第30页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【解析】设

15、经过x小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设为y，由15045= 知定义域为x|0 x 可求得当x=3时，y有最小值故经过3小时，快艇与轮船之间的距离最短. 第31页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四 二次函数在区间上的最值 【典型例题】1.已知函数f(x)=x2-2ax+2，x-1,1，求函数f(x)的最小值.2.设函数f(x)=x2-2x+2,xt,t+1,tR，求函数f(x)的最小值.第32页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【解析】1.f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上，且对称轴为直线x=a.第33页，共52页，20

16、22年，5月20日，11点5分，星期四当a1时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间-1，1上是减函数，最小值为f(1)=3-2a;当-1a1时，函数图象如图(2)所示，函数f(x)在区间-1,1上是先减后增，最小值为f(a)=2-a2;当a-1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间-1，1上是增函数，最小值为f(-1)=3+2a.第34页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,xt,t+1,tR，对称轴为直线x=1.第35页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四当t+11，即t1时，函数图象如图(3)

17、所示，函数f(x)在区间t,t+1上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2.第36页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【拓展提升】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间m,n上的最值的类型(1)若对称轴x= 在区间m,n内，则最小值为f( )，最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x= 距离较远的一个对应的函数值为最大值).(2)若对称轴x= n,则f(x)在区间m,n上是减函数，最大值为f(m),最小值为f(n). 第37页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【规范解答】利用函数的单调性求最值问题【规范解答】设x1,

18、x2为1,2上的任意两个实数,且x1x2, 1分【典例】 【条件分析】第38页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四则f(x1)-f(x2) 5分x1,x21,2,且x1x2,x1-x20.第39页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四x1x2(1,4)，x1x2-90, f(x1)f(x2)，函数f(x)=x+ 在1,2上为减函数. 10分所以当x=1时取最大值，最大值f(1)=10,当x=2时取最小值，最小值f(2)=从而函数的最大值是f(1)=10,最小值是f(2)= . 12分第40页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【失分警示】第41页，共52页，2022年，5月20日，11点5分，星期四【防范措施】1.对单调性定义的把握在函数的定义域中任给x1x2，比较出f(x1)f(x2)的关系，从而得出是增函数还是减函数.如本例中f(x1)-f(x2)0,得出f(x1)f(x2),从而判定为减函数.2.单调性与最值的关系利用函数的单调性可