(整理)高中函数值域的求法

1、高中函数值域的求法题型一求函数值：特别是分段函数求值例1f(x)eq f(1,1x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求fg(3)的值.解(1)f(x)eq f(1,1x)，f(2)eq f(1,12)eq f(1,3).又g(x)x22，g(2)2226.(2)g(3)32211，fg(3)f(11)eq f(1,111)eq f(1,12).反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于fg(x)型的求值，按“由内到外的顺序进行，要注意fg(x)与gf(x)的区别.跟踪训练4函数f(x)eq f(x

2、1,x2).(1)求f(2)；(2)求ff(1).解(1)f(x)eq f(x1,x2)，f(2)eq f(21,22)eq f(3,4).f(1)eq f(11,12)eq f(2,3)，ff(1)f(eq f(2,3)eq f(f(2,3)1,f(2,3)2)eq f(5,8).5.函数f(x)x2x1.(1)求f(2)，f(eq f(1,x)；(2)假设f(x)5，求x的值.解(1)f(2)22215，f(eq f(1,x)eq f(1,x2)eq f(1,x)1eq f(1xx2,x2).(2)f(x)x2x15，x2x60，x2，或x3.4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x1)f

3、(x)1，f(0)1，那么f(5)_.答案6解析f(1)f(0)1112，f(2)f(1)13，f(3)f(2)14，f(4)f(3)15，f(5)f(4)16.二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法：1直接法2图象法数形结合3函数单调性法4配方法5换元法包括三角换元6反函数法逆求法7别离常数法8判别式法9复合函数法10不等式法11平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求直接法一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0，=，当x0

4、时，那么当时，其最小值；当a0时或最大值a0时，再比较的大小决定函数的最大小值.假设a,b,那么a,b是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大小值.注：假设给定区间不是闭区间，那么可能得不到最大小值；当顶点横坐标是字母时，那么应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y=3+的值域解：由算术平方根的性质，知0，故3+3。函数的值域为. 2、求函数的值域解：对称轴1 单调性法例3 求函数y=4x(x1/3)的值域。设f(x)=4x,g(x)= ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf

5、(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+的值域。(答案：y|y3)2 换元法例4 求函数的值域解：设，那么点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法表达换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=的值域。答案：y|y3/4求的值域；例5 三角换元法求函数的值域解：设小结：1假设题目中含有，那么可设2假设题目中含有那么可设，其中

6、3假设题目中含有，那么可设，其中4假设题目中含有，那么可设，其中5假设题目中含有，那么可设其中3 平方法例5 选求函数的值域解：函数定义域为：4 别离常数法例6 求函数的值域由，可得值域小结：分式函数，如果在其自然定义域代数式自身对变量的要求内，值域为；如果是条件定义域对自变量有附加条件，采用局局部式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。练习求函数的值域求函数的值域01求函数y=的值域；y(-1，1)01-10134-4-10134-4xy解法一：图象法可化为如图，观察得值域解法二：不等式法同样可得值域练习：的值域例8 求函数的值域解：换元法设，那么原函数可化为例9求函数的值域解：换元法令，那

7、么10 x10 xy例10 求函数的值域解：图象法如图，值域为换元法设，那么例13 函数的值域解法一：逆求法2解法二：换元法设，那么2解法三：判别式法原函数可化为时不成立时，综合1、2值域解法四：三角换元法设，那么原函数的值域为10例14 求函数的值域105解法一：判别式法化为51时，不成立2时，得综合1、2值域解法二：复合函数法令，那么所以，值域例15 函数的值域解法一：判别式法原式可化为解法二：不等式法1当时，时，综合12知，原函数值域为例16 (选) 求函数的值域解法一：判别式法原式可化为解法二：不等式法原函数可化为当且仅当时取等号，故值域为例17 选求函数的值域解：换元法令，那么原函数

8、可化为。小结：分式函数，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为选的形式，采用局局部式法，进而用根本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用根本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据求函数的值域象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用

9、判别式法求值域。解：由得：y-1x2+(1-y)x+y=0 上式中显然y1,故式是关于x的一元二次方程用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验例：求函数的值域。错解：原式变形为，解得。故所求函数的值域是错因：把代入方程显然无解，因此不在函数的值域内。事实上，时，方程的二次项系数为0，显然不能用“来判定其根的存在情况。正解：原式变形为1当时，方程无解；2当时，解得。综合1、2知此函数的值域为二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化例2：求函数的值

10、域。错解：将函数式化为1当时，代入上式得，故属于值域；2当时，综合1、2可得函数的值域为。错因：解中函数式化为方程时产生了增根与虽不在定义域内，但是方程的根，因此最后应该去掉与时方程中相应的值。所以正确答案为，且。三、注意变形后函数值域的变化例3：求函数的值域。错解：由得，两边平方得整理得，由，解得。故函数得值域为。错因：从式变形为式是不可逆的，扩大了的取值范围。由函数得定义域为易知，因此函数得最小值不可能为。时，故函数的值域应为。四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性例4：求函数的值域。错解：令，那么，由及得值域为。错因：解法中无视了新变元满足条件。设，。故函数得值域为。综上所述，在用

11、判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。练习：1 、；解：x0，y11.另外，此题利用根本不等式解更简捷：(或利用对勾函数图像法)2 、0y5.3 、求函数的值域；解：令0,那么,原式可化为,u0，y，函数的值域是-，.解：令t=4x0得0 x4 在此区间内 (4x)=4 ，(4x) =0函数的值域是 y| 0y24、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象以下列图，由图象可知，函数的值域是y|y3.解法2：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+. 如图5、求函数的值域解：设那么t0 x=1代入得t0 y46、选求