2023-2023年广东高考理科数学卷及答案

1、绝密启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试广东卷 数 学本试卷分选择题和非选择题两局部.共4页，总分值150分.考试时间120分钟. 考前须知：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B铅笔将答题卡试卷类型B涂黑。2每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 第一局部 选择题共50分一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1、函数的定义域是A. B. C. D.2、假设

2、复数满足方程，那么A. B. C. D.3、以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是图1A. B. C. D.图14、如图1所示，是的边上的中点，那么向量A. B.C. D.5、给出以下四个命题：= 1 * GB3如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，= 2 * GB3如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面= 3 * GB3如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，= 4 * GB3如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是A.4 B.3 C.2 D.16

3、、某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，那么其公差为A.5 B.4 C.3 D.2图27、函数的反函数的图像与轴交于点如图2所示，那么方程在上的根是图2A.4 B.3 C.2 D.18、双曲线，那么双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于图3A. B. C.2 D.4图39、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是A. B. C. D.10、对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“为：；运算“为：，设，假设，那么A. B. C. D.第二局部 非选择题共100分二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.11、_.12、棱长为3的正方体

4、的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为_.13、在的展开式中，的系数为_.图414、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干堆“正三棱锥形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层第一层分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，那么；答案用表示.图4三解答题：本大题共6小题，共80分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(此题14分)函数.(= 1 * ROMANI)求的最小正周期；(= 2 * ROMANII)求的的最大值和最小值；(= 3 * ROMANIII

5、)假设，求的值.16、(此题12分)某运发动射击一次所得环数的分布如下：789100现进行两次射击，以该运发动两次射击中最高环数作为他的成绩，记为. (= 1 * ROMANI)求该运发动两次都命中7环的概率(= 2 * ROMANII)求的分布列(= 3 * ROMANIII) 求的数学期望.图517、(此题14分)如图5所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,.图5(= 1 * ROMANI)求二面角的大小；(= 2 * ROMANII)求直线与所成的角.18、(此题14分)设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对

6、称点.求(= 1 * ROMANI)求点的坐标；(= 2 * ROMANII)求动点的轨迹方程.19、(此题14分)公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.(= 1 * ROMANI)求数列的首项和公比；(= 2 * ROMANII)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和；(= 3 * ROMANIII)设为数列的第项，求，并求正整数，使得存在且不等于零.注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前项和的极限20、(此题12分)是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：= 1 * GB3对任意的，都有；= 2 * GB3存在常数，使得对任意的，都有.(=

7、1 * ROMANI)设 ，证明：(= 2 * ROMANII)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；(= 3 * ROMANIII) 设，任取，令，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式2006年高考数学参考答案广东卷第一局部 选择题50分1、解：由，应选B.2、由，应选D.3、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;应选A.4、，应选A.5、正确，应选B.6、，应选C.7、的根是2，应选C8、依题意可知 ，应选C.9、由交点为，当时可行域是四边形OABC，此时，当时可行域是OA此时，应选D.10、由得,所以,应选B

8、.第二局部 非选择题100分二、填空题11、12、13、所以的系数为14、10，三、解答题15解：的最小正周期为;的最大值为和最小值；因为，即,即 16解：()求该运发动两次都命中7环的概率为；()的可能取值为7、8、9、10分布列为78910P0.040.210.390.36() 的数学希望为.17、解：()AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小为450；()以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系如下图，那么O0，0，0，A0，0，B，0，0,D0，8

9、，E0，0，8，F0，0所以，设异面直线BD与EF所成角为，那么直线BD与EF所成的角为18解:()令解得当时, 当时, ,当时,所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,所以, 点A、B的坐标为.() 设，所以，又PQ的中点在上，所以消去得19解: ()依题意可知,()由()知,所以数列的的首项为,公差,即数列的前10项之和为155.()=，=当m=2时，=，当m2时，=0，所以m=220、解：对任意,所以对任意的，所以0,令=，所以反证法:设存在两个使得,那么由，得，所以，矛盾，故结论成立。，所以+绝密启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试广东卷数学理科本试卷共4页，21小题，总分

10、值150分，考试时间120分钟。考前须知：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型B填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处。 2.选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题

11、的题号或题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高。 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式.选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分.1.函数的定义域为，的定义域为，那么A.B.C.D.2.假设复数是纯虚数是虚数单位，是实数那么A.2B.C.D.3.假设函数A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数4.客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时

12、到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，以下描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间 A B C D5.数|an|的前n项和，第k项满足,那么A. 9 B. 8 C. 7 D. 66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、A10如A2表示身高单位：cm150，155内的学生人数.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160180cm(含160cm,不含180cmA.i6 B. i7 C. i8 D. i97.图3是某汽车维修公司的维修点环

13、形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n为A. 15 B.16 C. 17 D.8.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*即对任意的，对于有序元素对,在S中有唯一确定的元素与之对应.假设对任意的,有(,那么对任意的,以下等式中不恒成立的是 A. () B. ()C. ()D. ()()二、填空题：本大题共7小题，每题5分，总分值30分，其中1315题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.

14、甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，那么取出的两球都是红球的概率为.答案用分数表示10.假设向量满足与的夹角为120，那么.11.在平面直角坐标系中，有一定点2，1，假设线段的垂直平分线过抛物线的焦点，那么该抛物线的准线方程是.12.如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有对异面直线，那么 图4;.答案用数字或的解析式表示13.坐标系与参数方程选做题在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，(参数),圆的参数方程为(参数)，那

15、么圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离为.14.不等式选讲选做题设函数;假设，那么的取值范围是.15.几何证明选讲选做题如图5所示，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点、，那么，线段的长为 . 图5三、解答题：本大题共有6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.本小题总分值12分 顶点的直角坐标分别为.1假设，求sin的值;2假设是钝角，求的取值范围.17.(此题总分值12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.x3456y2.5344.51请画出上表数据的散点图

16、；2请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=;3该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据2求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？参考数值：32.5+43+54+64.566.518.本小题总分值14分在平面直角坐标系中，圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线相切于坐标原点O.椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.1求圆C的方程.2试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.假设存在，请求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由.19.本小题总分值14分如图6所示，等腰ABC的

17、底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EFAB.现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE.记 V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.1求V(x)的表达式；2当x为何值时，V(x)取得最大值？3当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值20.本小题总分值14分a是实数，函数如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.21.本小题总分值14分函数是方程的两个根,是的导数.设,(1)求的值；(2)证明：对任意的正整数n，都有;(3)记,求数列的前n项和.2007年高考数学参考答案广东卷一. CADB BCBA二. 9. 10. 11. 12

18、. ,12 , 13. 14. 15. 三.解答题16.(1)解:,设AC中点为M,那么; (2)解:,假设是钝角,那么.17.解: (1) 散点图略 (2) ; 所求的回归方程为 (3) , 吨, 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)18. 解:(1) 设圆C 的圆心为 那么 解得 所求的圆的方程为 (2) 由可得 椭圆的方程为 , 右焦点为 .设存在点满足条件,那么解得故存在符合要求的点.19.解: (1)即; (2),时,时,时取得最大值.(3)以E为空间坐标原点,直线EF为轴,直线EB为轴,直线EP为轴建立空间直角坐标系,那么;,设异面直线AC与PF夹角是20.解:假设,

19、那么有唯一零点为,故不符合要求;由, 且.由当时,当时,在两个区间上分别递增;当时,在两个区间上分别递减;由时,时,时,分析如图:解法二: 假设 , ,显然在上没有零点, 所以 令 得 当 时, 恰有一个零点在上; 当 即 时,也恰有一个零点在上; 当 在上有两个零点时, 那么 或解得或因此的取值范围是 或 ;21解:(1) 由 得 (2)(数学归纳法)当时,命题成立;假设当时命题成立,即,又等号成立时时,时命题成立;由知对任意均有. (3) 同理 又 数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;.绝密 启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学理科本试卷共4页，21小题，总分值1

20、50分考试用时120分钟考前须知： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型B填涂在答题卡相应位置上将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处2选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号或题组号对应的信息点，再作

21、答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：如果事件互斥，那么是正整数，那么 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1，复数的实部为，虚部为1，那么的取值范围是 A B C D2记等差数列的前项和为，假设，那么 A16 B24 C36 D48一年级二年级三年级女生373男生3773703某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为A24 B1

22、8 C16 D12 表14假设变量满足那么的最大值是 A90 B80 C70 D405将正三棱柱截去三个角如图1所示分别是三边的中点得到几何体如图2，那么该几何体按图2所示方向的侧视图或称左视图为 EEFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED6命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，那么以下命题中为真命题的是 A BC D7设，假设函数，有大于零的极值点，那么 A BC D8在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点假设，那么 A BCD二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分开始n开始n整除a?是输入结束输出图3否9阅读图

23、3的程序框图，假设输入，那么输出，注：框图中的赋值符号“也可以写成“或“10是正整数的展开式中，的系数小于120，那么11经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 12函数，那么的最小正周期是二、选做题1315题，考生只能从中选做两题13坐标系与参数方程选做题曲线的极坐标方程分别为，那么曲线与交点的极坐标为14不等式选讲选做题，假设关于的方程有实根，那么的取值范围是15几何证明选讲选做题是圆的切线，切点为，是圆的直径，与圆交于点，那么圆的半径三、解答题：本大题共6小题，总分值80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16本小题总分值13分函数，的最大值是1，其图像经过点1求的解析式；2，且，求

24、的值17本小题总分值13分随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润单位：万元为1求的分布列；2求1件产品的平均利润即的数学期望；3经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，那么三等品率最多是多少？18本小题总分值14分AyxOBGFF1图4设，椭圆方程为，抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点AyxOBGFF

25、1图41求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；2设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？假设存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由不必具体求出这些点的坐标19本小题总分值14分设，函数，试讨论函数的单调性20本小题总分值14分FCPGEAB图5D如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，垂直底面，分别是上的点，且，过点作的平行线交于FCPGEAB图5D1求与平面所成角的正弦值；2证明：是直角三角形；3当时，求的面积21本小题总分值12分设为实数，是方程的两个实根，数列满足，1证明：，；2求数列的通项公式；3假设，求的前项和2023年普通

26、高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：C D C C A D B B1C【解析】，而，即，2D【解析】，故3C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为4C 5A6D【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述表达中只有 为真命题7B【解析】，假设函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时，显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。8B二、填空题： 9【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍数1

27、2，即此时有。10【解析】按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。11【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。12【解析】，故函数的最小正周期。二、选做题1315题，考生只能从中选做两题13【解析】由解得，即两曲线的交点为。1415【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。三、解答题：本大题共6小题，总分值80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤16解：1依题意有，那么，将点代入得，而，故；2依题意有，而，。17解：1的所有可能取值有6，2，1，-2；，故的

28、分布列为：621-20.630.250.10.0223设技术革新后的三等品率为，那么此时1件产品的平均利润为AyxOBGFAyxOBGFF1图4所以三等品率最多为18解：1由得，当得，G点的坐标为， ，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；2过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。假设以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。19解：，对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是

29、增函数；对于，当时，函数在上是减函数；FCPGEAB图5D当FCPGEAB图5D20解：1在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即为以为直角的直角三角形。PAABH=ABADPAABH=ABADPD由有,ADPD即， 33ADPD;(2),而,即,，,是直角三角形；3时,即,的面积21解：1由求根公式，不妨设，得，2设，那么，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,两式相减，得，即，当时，即方程有重根，即，得，不妨设，由可知，即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，综上所述，3把，代入，得，解得绝密 启

30、用前2023年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学理科本试卷共4页，21小题，总分值150分。考试用时120分钟。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的巳知全集，集合和的关系的韦恩enn图如图1所示，那么阴影局部所示的集合的元素共有A个 个个 无穷个设是复数，表示满足的最小正整数，那么对虚数单位， 假设函数是函数的反函数，其图像经过点，那么 等比数列满足，且，那么当时， 5给定以下四个命题：假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；假设一个平面经

31、过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是和 和 .和 和6一质点受到平面上的三个力单位：牛顿的作用而处于平衡状态成角，且的大小分别为和，那么的大小为 72023年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案共有36种 12种 18种 48种8甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线假定为直线行驶甲车、乙车的速度曲

32、线分别为如图2所示那么对于图中给定的，以下判断中一定正确的是A在时刻，甲车在乙车前面B时刻后，甲车在乙车后面C在时刻，两车的位置相同D时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分一必做题题随机抽取某产品件，测得其长度分别为，那么图3所示的程序框图输出的，s表示的样本的数字特征是注：框图中的赋值符号“=也可以写成“：=假设平面向量满足，平行于轴，那么.11巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，那么椭圆的方程为12离散型随机变量的分布列如右表假设，那么，二选做题13 15题，考生只能从中选做两题13坐标系与

33、参数方程选做题假设直线与直线为参数垂直，那么14不等式选讲选做题不等式的实数解为15(几何证明选讲选做题如图4，点是圆上的点， 且，那么圆的面积等于三、解答题：本大题共6小题，总分值80分 16(本小题总分值12分向量互相垂直，其中1求的值； 2假设，求的值17本小题总分值12分根据空气质量指数API为整数的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年365天的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5.1求直方图中的值； 2计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；3求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示365=73518本

34、小题总分值分如图，正方体的棱长为，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；证明：直线；求异面直线所成角的正统值19本小题总分值分曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域含边界为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合假设点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 假设曲线与点有公共点，试求的最小值20本小题总分值分二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设假设曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；如何取值时，函数存在零点，并求出零点

35、w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21本小题总分值分曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为求数列的通项公式； 证明： 2023年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题1-8 BCBC DDAA二、填空题9.【解析】；平均数10.【解析】或，那么或11.【解析】，那么所求椭圆方程为.12.【解析】由题知，解得，.13.【解析】，得.14.【解析】且15.【解析】解法一：连结、，那么，那么；解法二：，那么.三、解答题16. 解：1与互相垂直，那么，即，代入得，又，.2，那么，17.1由图可知，解得；2；3该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，那么空气质量

36、不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.18. 解：1依题作点、在平面 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 内的正投影、，那么、分别为、的中点，连结、，那么所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ，又面，.2以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，那么，即，又， 平面.3，那么，设异面直线 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 所成角为，那么.19. 解：1联立与得，那么中点，设线段 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 的中点 EMBED Equatio

37、n.KSEE3 * MERGEFORMAT 坐标为，那么，即，又点在曲线上，化简可得，又点 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 是 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 上的任一点，且不与点 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 和点 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 重合，那么，即，中点 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 的轨迹方程为.xAxBD2曲线 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT ，

38、即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 与点 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 有公共点；当时，要使曲线 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 与点 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 有公共点，只需圆心到直线 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 的距离，得，那么 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT 的最小值为.20. 解：1依题可设 ()，那么；

39、又的图像与直线平行 ， ， 设，那么当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得 2由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，假设，函数有两个零点，即；假设，函数有两个零点，即；当时，方程有一解, , 函数有一零点 综上，当时, 函数有一零点；当()，或时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.21. 解：1设直线 EMBED Equation.KSEE3 * MERGEFORMAT ：，联立得，那么，舍去，即，2证明：由于，可令函数，那么，令，得，给定区间，那么有，那么函数在上单调递减，即在恒成立，又，那么有，即.2023年普通高等学校招生全国统一考试(广

40、东卷)数学(理科)一.选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.假设集合 EMBED Equation.DSMT4 那么集合 EMBED Equation.DSMT4 A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4 2.假设复数 EMBED Equation.DSMT4 ,那么 EMBED Equation.DSMT4 A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED E

41、quation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4 3.假设函数 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 的定义域均为 EMBED Equation.DSMT4 ,那么A. EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 均为偶函数 B. EMBED Equation.DSMT4 为偶函数, EMBED Equation.DSMT4 为奇函数C. EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 均

42、为奇函数 D. EMBED Equation.DSMT4 为奇函数, EMBED Equation.DSMT4 为偶函数4. EMBED Equation.DSMT4 为等比数列, EMBED Equation.DSMT4 是它的前 EMBED Equation.DSMT4 项和.假设 EMBED Equation.DSMT4 , 且 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 的等差中项为 EMBED Equation.DSMT4 ,那么 EMBED Equation.DSMT4 w_w w.k*s_5 u.c o_m A. EMBED Equat

43、ion.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBED Equation.DSMT4 5.“ EMBED Equation.DSMT4 是“一元二次方程 EMBED Equation.DSMT4 有实数解的A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分必要条件6.如图 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 为等边三角形, EMBED Equation.DSMT4 / EMBED Equation.DSMT4 / EMBED Equation.DS

44、MT4 , EMBED Equation.DSMT4 平面 EMBED Equation.DSMT4 且 EMBED Equation.DSMT4 ,那么多面体 EMBED Equation.DSMT4 的正视图是A.B.C. D. 7随机变量 EMBED Equation.DSMT4 服从正态分布 EMBED Equation.DSMT4 ,且 EMBED Equation.DSMT4 ,那么 EMBED Equation.DSMT4 A. EMBED Equation.DSMT4 B. EMBED Equation.DSMT4 C. EMBED Equation.DSMT4 D. EMBE

45、D Equation.DSMT4 8.为了迎接 EMBED Equation.DSMT4 年广州亚运会,某大楼安装 EMBED Equation.DSMT4 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯闪亮只能是红,橙,黄,绿,蓝中的一种颜色,且这 EMBED Equation.DSMT4 个彩灯闪亮的颜色各不相同.记这这 EMBED Equation.DSMT4 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 EMBED Equation.DSMT4 妙.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是A. EMBED Equation.DSM

46、T4 秒 B. EMBED Equation.DSMT4 秒 C. EMBED Equation.DSMT4 秒 D. EMBED Equation.DSMT4 秒二.填空题：本大题共7小题,考生作答6小题, 必做题(9-13题)每题5分,总分值30分.9.函数 EMBED Equation.DSMT4 的定义域是 .10.假设向量 EMBED Equation.DSMT4 ,满足条件 EMBED Equation.DSMT4 ,那么 EMBED Equation.DSMT4 .11. EMBED Equation.DSMT4 分别是 EMBED Equation.DSMT4 的三个内角 EM

47、BED Equation.DSMT4 所对的边,假设 EMBED Equation.DSMT4 ,那么 EMBED Equation.DSMT4 .12.圆心在 EMBED Equation.DSMT4 轴上,半径为 EMBED Equation.DSMT4 的圆 EMBED Equation.DSMT4 位于 EMBED Equation.DSMT4 轴左侧,且与直线 EMBED Equation.DSMT4 相切,那么圆 EMBED Equation.DSMT4 的方程是 .13.某城市缺水问题比拟突出,为了制定节水管理方法,对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中 EMBED Eq

48、uation.DSMT4 位居民的月均用水量分别为 EMBED Equation.DSMT4 (单位：吨),根据图 EMBED Equation.DSMT4 所示的程序框图,假设 EMBED Equation.DSMT4 ,且 EMBED Equation.DSMT4 分别为 EMBED Equation.DSMT4 ,那么输出的结果 EMBED Equation.DSMT4 为 .14.(几何证明选讲选做题)如图 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 是半径为 EMBED Equation.DSMT4 的圆 EMBED Equation.DS

49、MT4 的两条弦,它们相交于 EMBED Equation.DSMT4 的中点 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,那么 EMBED Equation.DSMT4 _. 15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 EMBED Equation.DSMT4 中,曲线 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 的交点的极坐标为_.三.解答题：本大题共6小题,总分值80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.(14分)函数 EMBED Equat

50、ion.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 时取得最大值 EMBED Equation.DSMT4 .(1)求 EMBED Equation.DSMT4 的最小正周期； (2)求 EMBED Equation.DSMT4 的解析式； (3)假设 EMBED Equation.DSMT4 ,求 EMBED Equation.DSMT4 .17.(12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上 EMBED Equation.DSMT4 件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)的分组区间为 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Eq

51、uation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,由此得到样本的频率分布直方图,如图4所示.(1)根据频率分布直方图,求重量超过 EMBED Equation.DSMT4 克的产品数量；(2)在上述抽取的 EMBED Equation.DSMT4 件产品中任取 EMBED Equation.DSMT4 件,设 EMBED Equation.DSMT4 为重量超过 EMBED Equation.DSMT4 克的产品数量,求 EMBED Equation.DSMT4 的分布列；(3)从流水线上任取 EMBED Equation.

52、DSMT4 件产品,求恰有 EMBED Equation.DSMT4 件产品的重量超过 EMBED Equation.DSMT4 克的概率.18.(14分)如图5,ABCE围成图形是半径为 EMBED Equation.DSMT4 的半圆, EMBED Equation.DSMT4 为直径,点 EMBED Equation.DSMT4 为弧AC的中点,点 EMBED Equation.DSMT4 和点 EMBED Equation.DSMT4 为线段 EMBED Equation.DSMT4 的三等分点。平面 EMBED Equation.DSMT4 外一点 EMBED Equation.DS

53、MT4 满足 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .(1)证明： EMBED Equation.DSMT4 ；(2)点 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 分别为线段 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 上的点,使得 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,求平面 EMBED Equation.DSMT4 与平面 EMBED Equation.DSMT4 所成二面角的正弦值.19.(12分)

54、某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.一个单位的午餐含 EMBED Equation.DSMT4 个单位的碳水化合物 EMBED Equation.DSMT4 个单位蛋白质和 EMBED Equation.DSMT4 个单位的维生素 EMBED Equation.DSMT4 ；一个单位的晚餐含 EMBED Equation.DSMT4 个单位的碳水化合物, EMBED Equation.DSMT4 个单位的蛋白质和 EMBED Equation.DSMT4 个单位的维生素 EMBED Equation.DSMT4 .另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 EMBED Equation.DSMT4

55、个单位的碳水化合物, EMBED Equation.DSMT4 个单位的蛋白质和 EMBED Equation.DSMT4 个单位的维生素 EMBED Equation.DSMT4 .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 EMBED Equation.DSMT4 元和 EMBED Equation.DSMT4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？20.(14分)双曲线 EMBED Equation.DSMT4 的左、右顶点分别为 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,点 EMBED Equa

56、tion.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 交点的轨迹 EMBED Equation.DSMT4 的方程；(2)假设过点 EMBED Equation.DSMT4 的两条直线 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 与轨迹 EMBED Equation.DSMT4 都只有一个交点,且 EMBED Equation.DSMT4 ,求 EMBED Equation.DSMT4 的值.21.(14分)设

57、 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 是平面直角坐标系 EMBED Equation.DSMT4 上的两点,先定义由点 EMBED Equation.DSMT4 到点 EMBED Equation.DSMT4 的一种折线距离 EMBED Equation.DSMT4 .对于平面 EMBED Equation.DSMT4 上给定的不同的两点 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .(1)假设点 EMBED Equation.DSMT4 是平面 EMBED Equation.DSMT4 上的点,试

58、证明 EMBED Equation.DSMT4 ；(2)在平面 EMBED Equation.DSMT4 上是否存在点 EMBED Equation.DSMT4 ,同时满足 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 假设存在,请求所给出所有符合条件的点；假设不存在,请予以证明.2023年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分1D【解析】 EMBED Equation.DSMT4 2A【解析】 EMBED Equation.DSMT4 3B【解析】 EMBED Equation.DSM

59、T4 4C【解析】设 EMBED Equation.DSMT4 的公比为 EMBED Equation.DSMT4 ，那么由等比数列的性质知， EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 。由 EMBED Equation.DSMT4 与2 EMBED Equation.DSMT4 的等差中项为 EMBED Equation.DSMT4 知， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.

60、DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 .5A【解析】由 EMBED Equation.DSMT4 知， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 或由 EMBED Equation.DSMT4 得 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 。 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 反之不成立，应选A。6D7B【