陕西统招专升本高数历年真题及答案详解

1、己知直线己知直线2 时，9/(x) = log2x + 8+oo,即 /(x) = Iog2x + 8 的值域为9，+oo)，这 就是其反函数的定义域，故选D.问题：若 的定义域为脚，则似 =f(ex _ 1)十尸(1 - x)的定义域为 ? 本題考查：sinx的高阶导数，直接用公式(sinx)(fl) = sin(x + ?2 f).(sinx)(2I) = sin(x + 21-f) = sin(x + f) = cosx,故选 B.(问题：(cosx)(2005) = ?)本題考查：函数的单调性.单调的函數没有极值(单减函数在区间左端点的值敢大，右端点的值最小；单增函数正好相反).当xg

2、(0,+co)时，f,(x) = l-ex 2)= -1,0,13；又:指定的方向为Z=-1,1,-1）,其方向余弦为（即/的单位向景） cosa, cos A cos / = - -1, 1,古，清，故耍求的方向导数为=(- W 清+ 0.士+ 13.清=-号=4 及=人(-1，1，2). cos a + 人(-1,1,2) =(- W 清+ 0.士+ 13.清=-号=4 及解：积分区域D = x,yx2 +/是圆心在坐标原点的单位圆盘（不用画图了吧!），它关于J轴对称（也关于A：轴对称），而/ =吁是x的奇函数（也是少的奇函数），所以，Jxydxd/ = 0；（这时的奇偶性只需看x、j中的

3、一个就够了！）而f2 =eKp*既是x的偶函数，乂是夕的偁函数，所以，几e，+dxdy = 4Jydxd7 （其中孕是D在第一象限的部分）. 故 / 二+ el+?+ ）dxd_y = xydxdy + je,+xl+,2 dxdy=0 + 4drdy =4d0-r dr = 4-f=7r（e2 一e）. 解：令P = x + -l, g = x-j + 1,因为 = 1 = ,所以，曲线积分与路径选取从点0（0,0）到点B（f,0）选取从点0（0,0）到点B（f,0）再到点的折线段OBA来积分:无关，从而可选取扱简路径来积分，以出三种选法：无关，从而可选取扱简路径来积分，以出三种选法：选取从

4、点0（0,0）到点j（f，1）的直线段OA来积分： 巧的方程为y = ix, xe0,f, H接代入积分表达式，得I- -(x + -l)dx + (x-j + l)dy + _(x +j-l)dx + (x-,y + l)dy在上:y = 0t xe0,y, dy = 0, (x 少+ l)d少=0 ;在 BA 上:x = y，少 e 0，1，dx = 0, j?_ (x + - l)dx = 0. =j(x + O-l)dx+ (f- + l)dy = - + |.(相比而言，稍简单一点) 高级解法：P，g同上，:磬=1 =勞，存在二元函数 u(x,y) = jx2 +xy-jy2 -x

5、+ y ,使得 du = Pdx + Qdy ,故 /=池 + 2办=:dw=w)O2+w!/-x + y|gl)= + *.19.解： : a=丄， R = limH7- = 1,”作”+1丨当x = -l时，裉级数成为是收敛的交错级数，当X = 1时，幂级数成为是发散的调和级数，:.收敛域为【-1，1); /!设 S(x) = y n=J两端求导，得两端再f积分，得= x + |x2+|x3+-,设 S(x) = y n=J两端求导，得两端再f积分，得/ S項求导,等比级数 1s,(刺汐一？(=口S(x) = S(x)- S(0) = pyd/ = In(l - x)；令 x = |e-l

6、,l),得77 = 5(I)= -lnGI) =ln2-20.解：先求出对应的齐次方程/-4y = 0的通解特征方程为A2 -4 = 0,特征根为=2,22=-2,所以，齐次方程的通解为Y = Cxe2x +C2e2x,再求出非齐次方程/-4y = 4e2x+l的一个特解少*: 非齐次方程/-4y = 4e2x 的一个特解为= Axe2x = xe2x t 非齐次方程/-4夕=1的一个特解为J2* = 1，:.非齐次方程，一4少= 4e2+l的一个特解为_F*=y1*+j2* = xe2x-. 故要求的通解为J = y + y* = Ce2x + C2e2 + xe2x其中C,，C2为任意常数

7、. 四、应用与证明：21.分析：从结论出发：/()-/()=0,换f为X，得/(x)-/(x) = 0,乘得 e-xfx)-exfx) = exf(x)i = 0 ,可令尸(x) = /(x)，但 F(0) = /(0) = 0, 而尸= e_I/没说等于零，所以，无法在区间0，1上用罗尔定理；但由 Ja积分中值定理/(x)dx=/W(l-|)/=0F=e-V(7)= 0，/2存在从而F=0 = F(rj),于是，只需对厂在0,7c0，l 上用罗尔定理即可. 证：首先，由题设可知：对/CO在1,1上用积分中值定理，得 存在一点使得 0 = /(0)= &/(x)dx = /(7)(l-l)，从

8、而，/(T7)= 0 ； 再令 F(x) = e=V(x),则 F(x) e C0，”, F(x) g D(0,tj),并耳尸(0) = 0 = F,即尸(幻在0，?;上满足罗尔定理的三个条件，于是，由罗尔定理可知：至少存在一点f e(0,77)c(0,1)，使得尸(O =，/-/(f) = 0，但 e-0,所以，= 0,证毕.问题：没/(x)eC0,2, /(x)eD(0,2),左 f/(x)dx = O,证明:至少存在一点$ 6 (0,2) 使得 /() + /() = 0:没/(x)eC0,2, /(x)eD(0,2),冱/(1)./(2)0,证明:至少存在一点$ e (0,2),使将f

9、(g) + ，=0 ；提示：由(x)dx = 0 ,先对/*(x)在1，2上用积分中值定理，得3 e1,2,使得 f(Jl) = 0 ；再对F(x)=xf(x)在0,上用罗尔定理.由/(1)./(2)4扣=厂ra 帝一&3 =l-(f)2 f -jsin2xdx；Vy=27rx-y上一jTdx = 2jx-r-sinxdx.2 X(十九)2014年专升本高等数学样题详解 一、单选题：1.本题是08样1 (个别数字稍作了变动而己)选C.2.本题是12样2，选B.在导数定义的重耍公式中取h = x, x0=3, a = 0, b = 2, c = 6,得 3 = lim 地 _#3 + 2x)=戶

10、/(3) = _!尸(3)，:.尸(3) = -9,故选 A.本题考查：对弧长的曲线积分的计算，其一般方法是：把曲线的方程直接代入积分表达式而化为定积分来计算，且积分变量一定要从小到大变化.分三种情况： 若曲线厶的方程为f(叫参数方程)，则d5 = 2(0 + V2(d(7 W) /(x,)d5 =K0W2(z)+ /2(0 山； 若曲线厶的方程为y = y(x)txGa,b,则ds = A/l + y2(x) dx , /(x,y)d5 = f/x，y(x)h/l + /2(x) dx ； 若曲线I的方程为x = x(yy g c,d,则dy =彳1+ x2Cy) dy , !Lf9y)ds

11、 = fdy.本题的曲线Z的方程为j = l一x，xe0,l则y(x) = -l,d.9 = 7l + y，2W dr =+ (-1)2 dx = V2dx ,:.(4x + 2 + l)ds=4x + 2(l-x) + lV2dx = V2(2x + 3)dx = 4V2 .故选 B. 或者I： x = l-/,e0,l,则xCy) = -l,(选少为积分变量) ds = yl + xl2(y) dy = /l + (-l)2 办=V2 dy ,j(4x + 2.y + l)ci5= 4(1-) + 2y + lV2dy = V2 (-2 + 5)dy = 4V2. 问题：设曲线L为: +y

12、2 =9 , (x2 +夕2 +3)ds =:xyds =. 本题选D.二、填空题：6.由二、填空题：6.由x + 2e0,2x + le0,2Cm1=XH*0-问题：设/*(x)的定义域为-1,1,则g(x) = /(sin x) + /(lnx)的定义域为 ;设 f(2x) = 3x -1,且 f(a) = 4 ,则 a = ; TOC o 1-5 h z 设/(士)=忐，则/=, /dx =； 设/(x)是连续的偶函数，则F(x) = f/(x)dx是().(答案后面找!)A.偶函数；B.奇函数；C非奇非偶的函数；D.可能是奇函数，也可能是偶函数.屮2_ 3 求得卜曇:法一：当xoO时，

13、(l + ax2)-l与cosx-1是等价的无穷小(比值极限为1)， .,r (l + ax2)%-l勞价无穷小代换r iax2 -2a .1 = hm-屮2_ 3 求得卜曇:x-* cosx-1x-*法二：:当x-0时，(1 + 似2)%-1 C0SX-1,又当X0时，(l + ox2)X-1 ！ar2，cosx-1|x2当x - 0时，jax2 *-|x2 a =(利用了等价无穷小的*传递性”，并且这时的等价符号可理解为等号= 问题：limX + bx-3两种不同的叙述方式，但其本质却相同.,b ,(答案后面找)当x 巧 Q 时,l-cos2x 与 走浮2/两种不同的叙述方式，但其本质却相

14、同.,b ,(答案后面找)本题考查：变限积分求导数的公式：F(x)=C/Wd/ 厂 W = /WWW-/a(x)a(x). I_ 积分变量为与所乘的x无关，先提出来再求导.Fx) = Jo= (xJg sinz2d/ = ljJsinr2d/+ x sin(2x)2 -2注意：这个X能忽悠一部分同学! 整体使用的是來积的求导法则.= 2x-sin(4x2)+ jsin/2d/.注意：这个X能忽悠一部分同学! 整体使用的是來积的求导法则.问题设sinx-e,2dr,则 F(x)=. 问题设设方程 Psin/2dr+ e,2dt =x + y确定函数y = y(x),则生= JOJydx=_.叫（

15、1”设z = ln(l+Ay2), |(i.i=_.叫（1”.dz =dx问题:尝U =-设方程 Vdr+【e-d/+sinAi/= 3 确定函数z = z(xty),.dz =dx问题:尝U =-本题考查：由三个变元的方程所确定的二元隐函数的偏导数(或全微分)，常规没难度，直接用公式：若F(x,z) = 0定之：办，则窖=_备，麥=-会即可. ox r2 ay F: 令 F = xy-z-eat 则 F = y-ea -z9 Fy =x9 F = 1 -ec -x). F l-xes dy F： l-xe ?办|_-?念 u=?办|_本題是08样10,不再给出解答. 问题：= dxj?rdy

16、 = dy sinx2dx 的值等于一三、计算题：分析：本题考查分段函数的连续性与间断点，一般而言，如果分段函数在每一个部分区间是初等函数，则在这个区间灼一定是连续的，所以，可能的间断点只可能是分界点， 从而只需对分界点做出判别即可.题10问题答案: sinl-士；+(l-cosl).解：: /(x)在区间(-oo,0)和(0，+ oo)内都是初等函数， :./(x)在区间(-00,0)和(0, + 00)题10问题答案: sinl-士；+(l-cosl).函数值/(0) = 0,1无穷小乘有界函致左极限 /(0-0)= lim/(x) = limxsin-= = -xW八7x-0- X 极限

17、为莩ln(l + r)ck 脚先1无穷小乘有界函致左极限 /(0-0)= lim/(x) = limxsin-= = -xW八7x-0- X 极限为莩ln(l + r)ck 脚先Xln(l + 0d/右极限 /(0 + 0)=lim /(x) = lim -_= lim J、x-0* xO* (e _i)2等价无穷小代换 x-0* x2吾，.In(l + x)分子再 ” x 1=lim = lim =,洛x-o* 2x等价无穷小代換x-0* 2x 2左、右极限虽都存在，但不相等，:.x = 0是/(x)的跳跃间断点(属第一类). 附注：从上面求解过程可以看出：本题相当于求了两个极限，这种題目作

18、为计算题仅出现 在09试题11之中，其余都是选择或填空题，猜想考题应是求极限.I, x = 0问题：1in丄 g(x) =1 + e0,等价无穷小代换x-0*，x*0,x = Oa + bx2,x0f 丄 x 0-e/x则x = 0 邊/(x)的.:邊g(x)的_； h(x)的- ; M(p(x)的- 九连续点;B.可去间断点;C.跳跃间断点;D.无穷间断点. 若屮在点x = Q处连续,则a, b满足 .下面给一个含变限积分的极限:r2 (e? -l)dr 1fe/2 -l)d/lim t- + xcos = lim0 x- x (arcsinx)xr (ex* -l)-2x A r x4 1

19、 “6x5o 3x43姗薇麵mln(1 + sin2x)Tsinx3-D 醐故意变了个花样): x-M)+ XCOS -X-X第一项分母先等价无穷小代换，然后再使用洛必达法则；第二项用无穷小的性质.fX tan/2dr Josinx-tanx lim；.x_* x-sinx12.分析：本題考查定积分的换元积分法，观察发现：有根号，可通过三角代换化去根号， 所要注意的是：从根号里面”拿出来”的式子必须大于零，换元的同时也要换限； 最后再使用一个重要的积分公式，本题常规没难度.解：令 x = sinr,则 dx = dsin/ = cos/d/,所以x2(l-x2)dx= jsin2r-(l-si

20、n2Z)cosr-d/ = sin2 r (cos2cost - dr =sin21 cos51 cosr-d/=- cos2 r) cos6 t-dt=cos6 t-di-jcos81 dzX-O 时，x-sinx ix3, sinx-tanx-lx3. 问嚴x-tanz？再利用公式 jcosnr-dr= jsin/-d/ = .W-1n 3nn-n-2n-3331冗.nn-242 2n为奇数,n为偶数531- 7531-1531、=rmrrrmTrrr (多*亮的结果！13.分析：本題考查不定积分的凑微分法和分部积分法，要恰当地选择w531- 7531-1531、=rmrrrmTrrr (

21、多*亮的结果！13.分析：本題考查不定积分的凑微分法和分部积分法，要恰当地选择w和dv:越做越简 单，本題常规没难度.r -分积分.解：J = Jx|sin2xdx=| Jx-d(-|cos2x) =|x(-cos2x) - J(-|cos2x)dx =| -1 x cos 2x +1 jcos 2xdx = | j x cos 2xr +1 | sin 2x + C 一 = -xcos2x + |sin2x+C.14 解-(1). 如= e(sinz-cosr) + g(cosf + sin/)2sin/dxe (sin t + cos /) + ez (cos r - sin /) 2co

22、sf而曲线_y = j(x)对应/ = f的点为x = V2-e, = 0,曲线在此点的切线斜率为dx 4= tanz(题4问题答案:(D12jc； 0.tan/,.耍求的切线方程为y = x-42e.题y问题答案:a = -4，b = 3 ；m = -2 / n = 2.V x2+=ax盖 + 2 + 1_ = 2 叮/: + /; + _，:皆:耽:=2x人+ 2f：u + Z： 1 + x2/X +/X-1J + (/) 2y =2x3y.人:+ (2 + x2 V： + /； + 2x.人+ 2广炉(/ ).分析：本题的积分区城与囵有关，且被积函数是包含r=y/x2 ”2的表达式，利用

23、极 坐标计算比较简单；而单独y的积分利用奇偶性和对称性可处理捽.解：积分区域D:x2+y2ax是圈心在(f，0),半径为f的圆盘， 如图所示，它关于x轴对称，而/ =-ay又是y的奇函数，所以， D(-ay)y = o，从而1 = f(x2 +/)dxdy + f(-qK)dxdy = Jj(x2 +y2)dxdy ;积分区域P在极坐标系下的表示为D:Qr.(1广1都发散，:.收敛域为(-1, 1);则两端 积分(为了消去系数中的W)，得:.两端再求猙，得(这种方法就叫先积分再求导”)则两端 积分(为了消去系数中的W)，得:.两端再求猙，得(这种方法就叫先积分再求导”)或者：等价地有(显然，此

24、法更直截了当，或者叫一气呵成”！)本題实际上是11年试题19.分析：本題考查利用曲线积分与路径无关来计算曲线积分的值，其特点是：被积表达式 中包含未知的函数p(x)t先根据曲线积分与路径无关的条件：磬=繁，得汐(x)满 足的微分方程的初值问題，解出妒(X)，再代入积分表达式求出其值，加大了难度， 解：令则誓=w(x),豢=2分，.曲线积分与路径无关，:.磬=聲，即ypx) = 2xy.就是(px)2x, 并且妒(0) = 0,求得炉(x) = x2.下面用两种方法计算 7= xy2dx + y(p(x)dy = jay2dr + p:2dy ： 法一：V曲线积分与路径无关，:.选择直线段L:y

25、 = x从(0,0)到(1，1)来积分(把 直线的方程代入积分表达式而化为定积分来计算)，得注：还可选取两条折线段来积分，不妨一试.注：还可选取两条折线段来积分，不妨一试.法二：: P = xy Q = yx2,取 (x,y) = |x2/,则 dW = Pdx + 0dy,= M(7)|(o.o)=ll/|(l，,o)=(此算法相当于牛顿莱布尼兹公式) 四、应用与证明：分析：本題考查利用拉格朗日中值定理或者罗尔定理证与函数/(x)的导数/(f)有关 的等式，拉格朗日中值定理的内容和形式如下：f(x) G Ca,b9f(x) e Da9b),則至少存在一点$ a，b), 使得 /()=吻： f

26、(b)- fa) = f(b - d)(叫拉格朗田中值公式). b-a当/(a)=y时，拉格朗曰定理就成了罗尔定理，考试题一般是：通过构造輔助函数 F(x),利用罗尔定理证明与/(x)的导数/(f)有关的结论(通常是个等式).证：下面给出两种方法:利用拉格朗日中值定理：要证的等式可变形为，它恰好 /(f) b-a是函数F(x) = ln/(x)在区间a，6上的拉格朗日中值公式.令 F(x) = ln/(x),则由题设可知：F(x) g Ca,b9 F(x) e Da,b)，即 F(x)在a，ft 上满足拉格朗日中值定理的条件，于是，由拉格朗日中值定理，得至少存在一点fe(a，ft)，使得F(b

27、) F=F(f )(5 - a)，即ln=/w(b-a)./()糊罗尔定理：要证的等式可变形为ln=/w(b-a)./(),而这只需把F*(x)略作修正即可，令 F(x) = in/(x)-Inf(a)+(x-a)(注意：修正了什么？)b-a则F(a) = F(6),并且其它结果保持不变，只需对FCO在a,W上用罗尔定理即可. 证明如下：令 F(x) = In/(x)一In/ + b-ln/(勺(x - a)，则由题设可知： .b a F(x)eCa，6，F(x)eD(a，b),并且尸= O = F(Z), 即尸(x)在a，6上满足罗尔定理的三个条件，于是，由罗尔定理可知：至少存在一点 f e

28、 (a, b),使得BP证毕.附注：以上两种证法略有差异，但其本质却相同，拉格朗日定理的条件少(少一个)，适 用的面广，构造辅助函数容易，证明起来稍简单；而罗尔定理的条件多(多一个)，适用的 面窄，构造辅助函数稍麻烦，证明起来稍难一点.一般而言，凡能用拉格朗日定理证的题 目，也一定能用罗尔定理来证明，务必要领会这种题目证明的思想和方法，考试题一定是罗 尔定理应用的題目.问题：没/(x)eCO，l，/(x)eD(O，l), /(1) = jj,/(x)dx = 0,证明:至少存在-e(O,I),便浮/()+尸()= 0.(参看13试题21)解：(1)耍求面积的平面图形如图所示，联立j = 2x

29、+ 4 求得抛物线y = 2x2与直线j = 2x + 4的交点为(一 1，2)和(2,8), -i, 所要求的面积为 5=-yTdx=(2x + 4)-2x2dx = x2|!1+4.3-|x3|!1=9；(2)要注意的是：左面一小块图形绕y轴旋转的体积被右面一大块图形绕J轴旋转的体 积包含在内，故要求的体积实际上就是右面一大块图形绕少轴旋转的体积(这是本题的最大 特点，以下给出两种解法：常规方法：r =()2dy(j-4)2dy =16冗一=今冗；柱壳法：V = 27Tx-y上一_y下dx = 2n- (2x + 4) - 2x2 dx=2n 2x2 +4x-2x3 dx = 2( + 8

30、-8) = f. 附注：右面一大块平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为已=开-y2,dx = j(2x+4)2 -(2x2)2dx= (Y + 32 + 32)-f.32 = (2-i).32 = .左面一小块平面困形绕A：轴旋转所得旋转体的体积为匕=汉fpi -片= f.必 + 4)2 -(2x2)2dx = 4-(-音+ 8-16)-4=罟;r.另外，这两个旋转体实际上都是外形的台体减掉内部的喇叭体， 而囷台的体积 K曲台=f/z(及2+r2十及r),中的 j?ldx = (2x + 4)2dx = f-2-(82 +42 +8.4) =平;r 恰为大K 台 W体积，中的 jdx = j(

31、2x + 4)2dx = f 1-(42 +22 +4-2) =-f 恰为小囿台的体积.问题拓展：(x) = 4-x2,人(x) = x + 2,求曲线y = /； (x)与 =人(x)所圈成的平面图形的面积S ；求上述平面图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积Vy ；求上述平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积Vx.提示：(1)两曲线的交点为(-2,0)和(1,3)，S= f2(?上-jT)dr= f2(4-x2)-(x + 2)dx;(74-)2 dy -Cy - 2)2 dy ,或Vy = 2冗 f2 H GV上-少下)dx = 2冗 2 |x|. (4 - x2) - (x + 2)dx;-y

32、)dx = 7rj(4-x2)2 -(x + 2)2dx.(本问题与样题非常相似)(二十)2014年专升本高等数学试题详解一、单选题：因为函数/(x) = 在点x = 0处没定义，所以，必不连续；又因为极限lim/(x) = lim- = 1存在，所以，x = 0是函数/(x) = 的可去间断点(属第-类)，故选A.在导数重耍公式中取a = l,6=-l,c = l,得Iim/(XpJ;A)y(x0-/z) = 1-(-1)= 2.2 = 4 ,故选 D.hh1? J/(x)dr = l + C, . /(x) = (i + C) = -女，/，(x) = (-)，= ,选D.4.因为在厶上x

33、2+/=4,所以，由对弧长的曲线积分的定义和几何意义，得 (7x2 +/ +l)dr = (V? + l)(k = 3於=3倍Z的弧长=3-2-2 = 12,选C. 特别注意：只有曲线积分可以这样代入，而二重积分不可以.而A是两个级数之和：一个是调和级数首先看到B,它是公比为=1 1的等比级数，所以是收敛的，故选而A是两个级数之和：一个是调和级数发散；一个是交错级数，收敛.而发散加收敛仍发散，所以，A是发散的;，收敛.而发散加收敛仍发散，所以，A是发散的;w nyjnC的通项人=cosj当时不趋向于零，不满足级数收敛的必耍条件，发散;D的通项un=e-l当时：=#-1卜所以，D与调和级数是一 个级别的，因而也是发敗的.二、填空题：sinox 时料側 sinox 时料側 ax7.定义域为(o,+00)，函数处处连续且可导，/(x) = (x2e) = (2x-x2f，X(-oo,0)0(0,2)2(2,-h