概率论课后答案课件

1、习题3.11. 抽查两件商品,样本点记为wi,j , i , j分别表示两次抽查的等级(优等,合格和次品),设A表示两件中至少有一件次品的事件,B表示两件中没有次品的事件,C表示两件中有优质品的事件,试建立样本空间,并标明事件A,B,C,2 一个工人生产了三个零件,用A,B,C分别表示他生产的第一,二,三个产品是正品的事件,试用A,B,C分别表示下列事件.(1)第一件是次品;(2)只有第一件是正品;(3)三个零件中至少有一件是正品;(4)三个零件中只有一件是正品;(5)第一个零件是次品,但后两个零件中至少有一件是正品;(6)三个零件中最多有两件是正品;(7)三个零件都是次品.3. 在区间0,2

2、0上任取一数,记 . 化简(1)(2)4. 某城电话号码由7位数字组成,任取一号,求下列事件概率(1) 7个数字全不相同5(2) 首位数字不是零(3) 恰好出现两个1(4) 至少出现两个8. 设袋中装有编号为1,2,N的N个球，如果从袋中摸球n次（nN),每次1只，摸出后放回，问摸出球编号严格顺序排列的概率7. 外观相同的n把不同钥匙，逐把开锁，求第k次打开锁的概率8. 20只轮胎中混有2只漏气的，任取4只装到汽车上，问需返工的概率1011 . 一个盒子内装有11只分别标有号码1,2,11的球,随机同时摸出6只,求号码之和为奇数的概率.解 号码之和为奇数则有 “1奇5偶”，“3奇3偶”，“5奇

3、1偶”三种情况。随机同时摸出6只, 总的取法有C116 = 462种，“1奇5偶”，“3奇3偶”，“5奇1偶”分别有12 . 求4人中至少有2人生日在同一月的概率.解 4人不同月生日的概率为 所求概率为 . 某人外出旅游两天，据气象预报第一天下雨的概率为0.6, 第二天下雨的概率为0.3, 两天都下雨的概率为0.1，14(1) 第一天下雨而第二天不下雨的概率 P(A) = 0.6P(AB) = 0.1P(B) = 0.3P(A-B) = 0.5(2) 第一天不下雨而第二天下雨的概率P(B-A)P(B-A) = 0.2(3) 至少有一天下雨的概率(4) 两天都不下雨的概率(5) 至少有一天不下雨

4、的概率P(A-B)=0.5=0.2求 . 任取两不大于1的正数，试求其和不大于1，且积不大于2/9的概率解1517 . 6件产品中有两件次品,采用不放回形式抽样,每次抽一件,记A为事件”第一次抽到正品”, B为事件”第二次抽到正品”,试求P(A), P(AB), P(B|A), P(B)18 . 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知其中一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.所求概率为解 “任取两件其中一件是不合格品”即“至少有1件为不合格品”；“其中一件是不合格品, 另一件也是不合格品”即“2件皆为不合格品”， 所求即为“求在至少有1件是不合格品的条件下2件都是不合格品的概率

5、.令A = “至少有1件为不合格品”, B= “2件皆为不合格品”,19 . 对一批为100件的产品进行不放回的抽样检查，整批产品不合格的标准是被检查的5件产品中至少有一件是次品。如果该批产品有5%是次品,求这批产品被拒绝接收的概率.解 记A为事件“产品被拒绝接收”, 20 . 有12只新乒乓球，每次比赛从中取3只，使用后变旧球放回，求第三次取出的3只都是新球的概率.因为第一次使用放回后成了9新3旧, 所以有 A1=“第二次取3旧”, A2=“第二次取1新2旧”, A3=“第二次取2新1旧”, A4=“第二次取3新”, 解 记B=“第三次取3新”, 21 . 足球裁判手上三张形状相同卡片，一张

6、双面红，一张双面黄，一张一面红一面黄，随意抽一张出示时是红色的，求另一面是黄色的概率解 只有抽到第3张才有可能, 令A=“抽到第三张”,P(A)=1/3 . 一批产品中有96%是合格品,现有一种简化的检查方法,它把真正的合格品确认为合格的概率为0.98,而误将次品判为合格的概率为0.05,求此方法检查出合格品的概率和检查出合格品确为合格品的概率.解:设 A=抽查的产品合格， B=检查结果合格， 求P(B)和 P(A|B).已知 P(A)=0.96, P(B)=0.04, P(B|A)=0.98, (B|A)=0.0523 . 两个事件A,B相互独立，仅发生A与仅发生B的概率都是1/4,求P(A

7、)与P(B)解:26 . 6个独立工作的元器件中每个损坏的概率都是p,如果两两串联成形成支路,3个支路并联成电路,问这个电路畅通的概率是多少?解:设 Ai=第i个元器件损坏，B=电路畅通，每个支路不通的概率为3个支路不通的概率为电路畅通的概率为27 . 某系统由三个分系统组成，每一分系统在描写时间内不发生故障的概率为p1，发生故障能立即排除的概率为p2,试分串联和并联两种情况求系统在指定时间内能够运转的概率。解:令A =“系统能运转”， Ai =“第i个分系统能运转”则Ai =“不发生故障”“发生故障且立即排除”29串联时并联时 . 设甲乙两城间的通讯线路有n个中继站，每个中继站中断的概率均为

8、p,求(1)两地通讯中断的概率(2)若p=0.005,需少要设多少个中继站才能使通讯不中断的概率不小于0.95?解:令A =“通讯中断”， Ai =“第i个中继站中断”30 . 某工人看管甲乙丙3台机器,在一小时内这3台机器不需照管的概率分别为0.8,0.9和0.6,设这3台机器的照管是独立的，求:解:设 B =有机器需照管， =至少有两台需同时照管(1)有机器需要照管的概率； (2)照管不过来的概率31 . 射手对目标独立地射击3次,每次命中率都为p,求目标被击中的概率.解:设 C =目标被击中，32 . 5个水笼头,某时刻被使用的概率都为0.1,问在同一时刻下列事件的概率:.解:设 x =

9、同一时刻被使用的笼头数，则x B(5,0.1)(1) 恰有2个被使用; (2) 至少有3个被使用; (3) 至多有3个被使用; (4) 至少有1个被使用.33 . 设某厂生产的仪器以0.7的概率可以直接出厂， 0.3的需进一步调试，经调试后以0.8的概率可以出厂， 0.2的概率定为不合格不能出厂。现该厂生产了n(n2)台仪器（假定每台仪器生产过程相互独立）求解:考查每台仪器能出厂(A)的概率设 x =不能出厂的仪器台数，则x B(n,0.06)(1) 全部能出厂的概率a (2) 其中恰好有2件不能出厂的概率b (3)其中至少有2件不能出厂的概率q34A=“直接出厂”+“需调试且调试后可出厂”

10、. 某厂产品80%按工艺甲加工, 20%按工艺乙加工,2种工艺加工出的产品,正品率依次为0.85和0.9,如果从一大批产品中任取3只,求恰有2件次品的概率.解:设A = “任取一只为次品”, A1 = “按工艺甲生产”, A2 = “按工艺乙生产”,由题设有设 x =任取3只中的次品数，则x B(3,0.14)35 . 用甲乙两炮向某目标各发两发炮弹,命中率分别是0.7和0.8, 设目标在命中一发、两发、三发或四发后被击毁的概率分别是0.5,0.6,0.7,0.8,求目标被击毁的概率.解:Ai=“中i发”，i=1,2,3,4 B=“目标被击毁”36习题3.21. 编号为1,2,3,4,5的礼仪

11、小姐被抽到的概率相同,抽取3人,设x为抽出的3人中的最小编号,求x 的分布列和分布函数.解 样本空间样本点总数为若最小编号为1,则其余2个可在4位中选,选取数为同样若最小编号为2或3时, 选取数为 . 一盒零件中9正3废,任取一,若是次则不放回再取,直到取到正, 求所取到废品数x 的分布列和分布函数.解 x = 0即为第1次取到正, Px = 0=9/12=3/4 x = 1即为第1次取次第2次取到正, Px = 1=2 . 常数C应取何值时才能使下列实数列成为离散型随机变量的概率分布列?3. 离散型r.v.x 的分布列为:解4 . 设离散型r.v.x 的分布函数为:解5 . 某种零件次品率为

12、0.01,各零件是否是次品相互独立,若将零件10个包成一包出售,若发现一包内次品多于一件即可退贷,问被退贷的概率.解 令x 为一包中发现的次品数,则x B(10,0.01)6 . 在上题次品率为0.01的零件中抽取100件检验,问出现3 件或3 件以上的概率.(用二项分布和泊松分布分别做)解 令x 为抽取100件中的次品数,则x B(100,0.01)7 . 在n重伯努利试验中,设p=0.2,利用二项分布的泊松近似解 (1)8. A为何值时,才能使下列函数成为连续型随机变量的密度函数?解10解11 . 如果随机变量x 的一切可能取值为解12 . 连续型随机变量的分布密度为解确定k的值并写出x

13、的分布函数13求: (1)系数A,B的值; (2)P-aa /2; (3)随机变量的概率密度 (习题3-2第14题) . 设连续型随机变量的分布函数为解 (1) 因为 是连续型随机变量, 所以F(x)连续14(3) 随机变量的概率密度为 . 设随机变量x 的分布密度为解求(1)x 的分布函数;15 . 设随机变量x 的分布密度为解求(1)x 的分布函数;16 . 设随机变量x 在(0,6)内服从均匀分布,求方程解17 . 已知某种电子零件的耐用时间服从指数分布,其参数l=1(周),试求(1)某一零件耐用时间超过3周的概率;(2)在1周到3周之内的概率;(3)若已知该零件已用过1周,能再使用2周

14、的概率.解1819 . 设顾客等候时间x E(1/5),若等候时间超过10分钟他就离开, 设他每月要来五次, 以Y表示一个月内他没有等到服务就离开的次数, 求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率解解 . 已知x N(0,1), 求21解 . 已知x N(5,22), 求22解 . 设竞赛成绩x N(76,152), 其中一等奖15%,没有奖10%,问分数线各应设在何处?23解 . 已知某室日用电量x N(100,52), 又设每日用电量相互独立,试求(1)日用电量超105度的概率a;(2)一周7天内只有一天用电量超105度的概率b;(3)日供电量达到多少时,才能以不小于0.95的概率保证不

15、会因供电不足影响工作?24解 . 设随机变量x 的分布列为25解 . 设随机变量x 在a,b上均匀分布，试求随机变量26解 . 设随机变量x 服从参数为2的指数分布，试证h1-e-2x在区间(0,1)内服从均匀分布27解 . 设随机变量x 在区间 -p /2, p /2上服从参数均匀分布，hcosx的密度函数28 . 设有三个球,随机地等可能地放到四个编号为1,2,3,4的盒子中去，设x表示至少包含有一个球的最小号码盒子的号码数，求Ex. 解 所有等可能的结果数为43=64, “所有球落在第四盒中”,1种;29 “所有球落在第三、四盒中”,23=8种, 其中“第三盒至少有一球”,8-1=7种；

16、 “所有球落在后三盒中”,33=27种, 其中“第二盒至少有一球”,27-8=19种； “第一盒至少有一球”,64-27=37种。解2 所有等可能的结果数为43=64 “x =1”:第一盒无球33=27种,故第一盒至少一球37种, “x =2”:所有等可能的结果数为33=27,第二盒无球23=8种,故第二盒至少一球19种, “x =3”:所有等可能的结果数为23=8,第三盒无球1种,故第二盒至少一球7种,“x =4”:所有球落在第四盒中,1种. . 随机变量x 的分布列为:解30 . 设随机变量x 的概率分布为:解注意: 当|x|1时,注意: 当|x|1时,31 . 设连续型随机变量X 的密度

17、函数为:解32 . 设随机变量x 服从指数分布E (a ,q ),密度函数为:解33 . 已知二维随机变量(x , h )的联合分布，求边际分布并判断是否相互独立。 37解 . 设随机变量X和Y相互独立，填下面表 解38 . 设随机变量x和h 服从同一分布，且共同的概率分布为：并且P(xh =0 )=1,试建立(x,h) 的联合分布列，讨论x 与h 是否独立，并计算P(x=h )39 . 设(x ,h ) 的联合分布密度为：(1)写出x 和h 的边际密度函数; (2) 求x 与h 的关系数;(3) 讨论x 与h 是否相互独立.解40 . 设证44 . 从装有九个白球和一个黑球的箱子中,有放回地

18、每次取一球, 共取n次,设r.v.x 表示这n次取球中白球出现的次数，问n多大时才能使52解 x B(n,0.1),p=0.1,q=0.9由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理, . 保险公司利润问题.有10000人参加了某种寿险,每人每年付12元保险费,如果在一年内投保人死亡,则其家属可向保险公司领取1000元赔偿费,已知一年内这类人死亡率为0.006,求:(1)保险公司没有利润的概率q;(2)保险公司在一年内利润不少于60000元的概率p.解 p=0.006,n=10000由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,53习题4.11. 设总体x 服从伯努利分布(两点分布),其中P(x = 1) = p是未知参数, 设X = (X1, X2, , X5)是从中抽取的一个简单随