【自考复习】02198 线性代数

1、 PAGE PAGE 1702198 线性代数 复习资料一、线性代数的基础内容：Aj M1j1D1j列全部元素后1 j1、行列式行列式的定义及计算性质(7 条)，克莱姆法则；2()；矩阵n 1a1j的余子式为1 j的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的()a1j的代数余子式。矩阵的秩；分块矩阵3、向量线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组D中a a11,ann所在的对角线称为行列式的主对角线，相应及其极大无关组二、线性代数的应用性内容的元素为主对角元。另一条对角线称为副对角线2 n 阶行列式的性质行列式的行与列(按原顺序)互换，其值不变；n1Ax 0 D aAaaAaA其

2、中解的性质和基础解系(不唯一)格式化的求基础解系的步骤；ii)Ax b ，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)i1i1i2i2i ni j1i ji j和结构格式化的解题步骤A ( ij MijM D 中去掉第i j 列全部元素后按ij2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基， 自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵n 1阶行列式，称为元素aij的余子式， A 为元ij3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量格式化的求解步骤， 关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量

3、的性质()格式化的对角化步骤4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正(关系)(a 的代数余子式；ij线性性质加法和数乘；推论：某行元素全为零的行列式其值为 00应元素上，行列式值不变；行列式的两行互换，行列式的值反号0。3(对称行列式的值)；存在P使PTP；所有特征值大于零)计算经验总结：利用行列式性质定义与性质，化成三角阵 (习惯上化成上三角阵)，或按零元素最多的行或列按定义展开等等第一章 行列式（列展开定理 克二 、 定 理 ( 克 莱 默 法 则 ) 设 线 性 非 齐 次 方 程 组n莱默法则这是行列式的递推法定义)n 2 个a xi

4、jb(i1,2,n)， 其 系 数 行 列 式 ：i数 a (i, j ,n)组 成的 n阶 行 列式ijaa1112aaD2122a1na2n 0 ， 这 方 程 组 有 唯 一 解aa11aaD21a12n1a22n n1时，定义aaan1n2nnDx j( j1,2,n) 是用常数项b, b替aaan1n2nnjDj12nD | a11| a11；当n,换 D 中第 j 列所成的行列式。D a A11 11aA12 aA1nnaA1j1j， 其 中n a xijj1 0 (i1,2,的系数行列式D0，则方程组只有零解，x 0(j,n)j第二章 矩阵一 、 矩 阵 相 关 概 念 ： 数

5、域 F中 m n 个数a 1 ,2 n;n1,成mn列，并扩以圆括ijaaa矩阵，区别于行列式kD An阶方阵，则|kAkn |A|ii） 矩阵数乘满足 以下运 算律： 1A klAk(lA); (klAkAkABkAkBAmnnsAB 1112 a21a22弧(或方括弧)的数表 n ，称为数域 F 上的的 乘积 AB( 记 作 C (cij) ) ms aaac ab abaa ABn1n2nni j1i 12i 2i nn ，即的i kk jmn矩 阵 ， 通 常 用 大 写 字 母 记 做k 1A或Amn,或A (aij)mn(ijni j cijA i n B j n 个元素a 称为矩

6、阵 A i 行第 j F R 时为实矩阵，ijF C mn个元素全为 0 的矩阵称为零矩阵； mnA为方阵(n阶方阵)；线性方程组的未知元系数A，称为系数矩阵，若加上右端常数项排成的矩阵称为增广矩阵，记为b)。DA是一张表，当是方阵时可以计算其所对应的行列式值，称|A|或det(A。若|A0A为奇异矩阵；若| A | 0 ，称 A 为非奇异矩阵。分别相乘的乘积之和【注】a)矩阵乘法满足：(AB)C A(BC);k(AB) (kA)B A(kB); A(B C) AB (BCA BACA；b)Ax bAB 0A0B 0 零因子、右零因子A0AB AC B C？当| A|0AB AC 能否有 B

7、C ？1二、矩阵的基本运算：加法、数量乘法和乘法；转置；逆矩阵、初A(BE2 A B2 E等行和列变换1、1)如果两个矩阵 A (aijB ij) 的行数和列数分别相特殊矩阵(Aaij)nn)：主对角元全为 1，其余元素均为等，且对应元素也相等，即n InI E abijm;bn) A和B数 k ，其余元素全为零时称为 n 阶数量矩阵，记作 kIn或 kI 或做 A BkE n 加 法 ： 设 A ()和 B Fmn， 规 定 diag(a ,)； 当 i j，a0ijij12nijA B (aijb AB AB之和。ij( j1,2,n1)时称为上三角矩阵，当i j ，a0ij【注】i)两个

8、矩阵可相加的条件是行数和列数均相同 (同型矩阵)， 且结果行数和列数也相同；( j2,3,n时称为下三角矩阵负矩阵(由此定义减法)相关结论：a) ImAmn AImn A；mn；数乘：设kFA) Fmn ，规对 角 阵 diag(a ,)左 乘 A等 于ij12n定kA ka )ija (i 1 , ,Ai行的每一个元素，右乘 A等于i【注】i)kAaij按原来的次序排成的a(i1,2,nA中第i列的每一个元素；i两个上(下)三角矩阵的乘积仍是上(下)三角矩阵；ABnAB AB行列式的乘积，即| AB A|B|逆，求出它们的逆；ii) A 3I A I 不同时可逆；d)A B n 成立，举出反

9、例21)m n Anm行和列互换得到一个(i)A A B AB A ，B 都可逆；(iii) AB A B A kA 可nmAAaT jinm ，逆( k 是数)其 中 aT a。 转 置 满 足 如 下 运 算 ： ( AT )T A;4、矩阵的初等变换和初等矩阵j ii j( A B)T AT BT ； (kA)T kAT ;( AB)T BT AT初等行变换：以非零常数c乘矩阵的某一行倍乘变换；将矩c Aaij)nn，若aijaj ) ，则称A为ji列变换统称为初等变换。初等变换矩阵：将单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵称为初aij aji(i, j 1,nA为反对称矩等矩阵。初等倍乘矩

10、阵E (c)diag(1,1,(c) 是由阵。AAT A A3、可逆矩阵：矩阵可逆的条件是什么？可逆矩阵怎么求？(伴随矩阵，初等行变换)ii单位阵第i 行(或列)乘 c ( c 0 )得到11行E (c) 逆矩阵：对于矩阵 AFnn ，如果存在矩阵 BFnn 使得初等倍加矩阵 ij，AB BA I A 为可逆矩阵(A 可逆B A的逆矩阵，记作 A1 B 。同样对于存在的B ，其也可逆，且A 是 B 的逆矩阵； A 和 B 互为逆矩阵。AA的逆矩阵是唯一的c1j行j行1伴随矩阵：设n Aaij)A，nn，是行列式det A 中元E (ci c 加到第 j 行得到的，第 j cija Aij)nn

11、A 的代数余子式矩阵，加到第i 列得到的；并称 cofA 的转置矩阵为 A 的伴随矩阵，记作 adjA 或 A* ，即Eij是由单位矩阵第i ， j 行(或列)对换而得到的A (cofA3)结论：a）初等矩阵左乘矩阵，相当于做相应的行变换；右矩阵B，相当于做列变换初等矩阵是可逆阵，且有4)(利用伴随矩阵求逆矩阵)A A 0 ，E (1/ c)E (c) I; E (c)E (c) I;E EIii1ijijijijii1且A1 | A |5)可 逆 矩 阵 满 足 运 算 率 ： a)( A1)1 Ab) (kA)1 k 1 A1 (k 0); c)( AB)1 B1 A1 ;A可以表示为若干

12、个初等矩阵的乘积；如果对可逆矩阵 A和同阶的I AI A1 ，即I (I A1 )1 A1 )T ; e) det(A1 1/ det A ，即| A1 A |1第三章 线性方程组维向量及其线性相关性AnnBAB0的必要条件是| A | 0 (充分也成立)11)n元(维)向量数域F 上n个数a ,a ,a12n构成的有序数组记做 (a ,a ,a) or(a ,a ,)T ，分别称为AA22A3I 0 AA2I 都可12n12n行向量和列向量，其中 ai称为 的第 i 个分量，全体 n 元向量的i集合记为Fni (a1i,a,a2i)T Fn(i 1,2,m)， 则向量的运算：两向量相等当且仅

13、当对应元素全相等；和为对应元素相加；数乘为各元素都乘上数 k 。,1,m线性相关的充要条件是齐次方程组 Ax 0 有非aaaaaanF 上1n n1矩阵，aaa 11121m 零解，其中 A, ,12, )m 21222m，2m行、列向量F n维向量集合，在其上定义了加法和数乘，aaaaaan1n2nmFnFnRn x 称为上的 维向量空间，仍记，当为实数域时为 维实Rn 1 xx 2 x向量空间记为2、1)线性组合：设 Fn,F(im，则向量x iimm k kk k 称为向量组i),12,m线性无关的 充要 条件是iii11122mmAx 0n m ,1,m有自由未知量，即必有非零解；任何

14、n 1n 维向量都是线性相关的； Rn 中，任何一组线性无关的向量最多只能含 n 个向量 mi1kii ，就说可由,1,m 线性表示5)如果向量组 ,12,m中有一部m个向量 ,12,m Fn m 个不分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组也线性无关全为零的数k ,k12,kmF，使若向量组,12,m, ,12,线性m线性k k 称,线性相关，则 可由 , ,线性表示，且表示法唯一；特别112m 2mn12m12m相关；否则，称为线性无关。Fn n 个向量 ,线性无关，则 Fn 中的任,1,m(m 线性相关的充要条件12n是 ,中至少有一个向量可由其余的m1个

15、向量线一向量 可由 ,12,n线性表示，且表示法唯一12mn维向量组 , ,线性无关，那么把这些向性表示。12m【注】i)逆否命题：向量组 ,(m 线性无关的充l ( n l ) 组 ,12mm1*,1*,m* 也是线性无关的；如果,1,是线m是线要条件是12m 中任一个向量都不能由其余的个性相关的，则去掉相同位置的若干个分量所得到的新的向量组也是向量线性表示n维单位(基本)向量：n维向量 , ,12nn 维单位向二、向量组的秩及其极大线性无关组1、秩：如果向量组 , ,中存在r个线性无关的向量，量； 任一个n 维向量 (a , a 都可表示为向量组2m1nrr称为向量组 ,的一个线性组合 a

16、 a a , r12n1 12 2n n12mi(0,0,1,0,0)(1在第i0)。i【 注 】 i) ,12,m线 性 无 关 ， 则秩是线性相关,1,m m r r 1 个向量向 量 相 关 与 方 程 组 的 关 系 ： 设是线性相关的；iii)秩的等价定义：若向量组中存在 r 个线性无关的r 1 r 为向量组的秩c)设 A 是 m n 矩阵， P, Q 分别是 m 阶、 n 阶可逆矩阵，则、等价：如果向 量组 12,l中每个向量可由向 量组r( r(PA) r( AQ) ,1,m4 、子式及其与秩的关系： a) 矩阵 A a )的任意 k 个行价的(i,i行)和任意 k 个列( j

17、, jij, mn列)的交点上的 k 23 ,可由向量组 ,线性表12k2k12示，且l m ，则 l,12m线性相关。k Ak 阶子行列式，简Ak k 阶子式等于零(不等于零)k 阶零12l子式(非零子式)；当i j , j , j A k ,1,l可由向量组 ,1,线性m阶主子式1122kk表示，且 12,l线性无关，则l mb) rA r A r4r 的向量组中，任一个线性无关的部分r r 个线性无关向量唯一。5a)AB(P和QPAQ B ABA Bb)矩阵等价的性质：i)Amn【注】设 秩 ,12,m p，秩 12,q，l矩阵，且r( A) r ，则一定存在可逆矩阵 P ( m 阶)和

18、Q ( n 阶)，如果1,l可由,1,mq p I使得PAQ r0U ，其中I为 r 阶单位矩阵，右端别的等价的向量组，秩相等。 00rmn二、矩阵的秩、等价(相抵)标准形1A(列)A的一个行(列A的行(列)向量组的秩称为其行(列)秩；mnA 的行秩m ；列秩n；2、初等变换与矩阵的秩：a)如果对矩阵 A 做初等行变换将其化为的矩阵称为等价标准形【秩相同的同型矩阵等价，且全都等价于同一标准形】三、线性方程组 Ax b1、齐次线性方程组(有非零解的条件和解的结构) ： Ax 0 ， A为mn 矩阵B ，则 B 的行秩等于 A 的行秩；b)ABAB的任何对应的列向量AA ,12,n) ，因此 Ax

19、 0 等价组有相同的线性相关性，即：于xx x 0 ，于是 Ax 0 有非零解的充要A ,1,n ,12,n B 112 ,nn,r(A) nA向量组 ,i,i与,ii,i条件是12线性相关，即n；特别的若为1212方阵， | A | 0(1 i i1ir n有相同的线性相关性解的性质：若 x 是齐次方程组 Ax 0 的两个解向量，则初等变换不改变矩阵的行秩和列秩；矩阵的行秩等于列秩，统称12A 的秩，记做秩rA)x k x1 1k x2 也是它的解rAnnnA满秩的充c)(i)基础解系：设x ,x ,x是 Ax 0 的解向量， 如果12pA为非奇异矩阵(即| A0)x ,x ,xAx 0 1

20、2pA 为满秩矩阵】3、加法、乘法运算与矩阵的秩：a) rA B) rA r(B) ；x ,x ,x12线性表示则称x ,x ,x12是 Ax 0 的一个基b) r(AB) minr(A), r (B) (I)础解系AmnrAr n，则齐次方程组 Ax 0 存在基础解系，且基础解系含 n r 个解向设 B1 ,1,n 是 Rn的 一 组 基 ， 且量； 若记基础解系的 n r 个解向量为 x , x,x12nr a a a Ax 0 的一般解为 x k xk kx， 其中1 11a212ana1 12 2nrnr 212122n2，则 ,线性无k ,k为任意实数 a a a2n12nrn1n1

21、2n2nnnIIBmnns矩aaa 11121n 阵且AB 0则r) r( )nr关的充要条件是det A0,其中Aa21aa222n222n2、非齐次线性方程组(有解的条件和解的结构) ：m n 矩阵Ax b ， A 为b), ,aaan1n1nn, a) 将AA ( ,Ax b 等将 a) 中12与n12的关系写成矩阵形nxx x 12bnAx b有解的充要条式有,1 , nA (， , 若,1n21122nnB与, 均为 Rn 的基，件 是 b可 由 ,12,n2线 性 表 示 ， 即1112nr( , r )(,)A B1到新基 B2的过渡矩阵(或称 A 是基 B1到基 B212n12

22、 n的变换矩阵)。事实上，根据a)，Aj 列是j 在旧基B 下的1即rb rA)的， r( A, b) r( A) A 的列数 时， Ax b 有唯一解。坐标c) B ,和B , , 下的坐标分量b) 解的性质结构(i) x x是 Ax b 的解向量， 则112n212n12分别为x(x ,x,)T y ( y , ,)T 。基 B 到x x1x Ax 0的解向量212n12n1(ii)Ax b x xx 是 Ax b基 B 的过渡矩阵为 A ，则 Ay x 或 y A1 x200二、欧式空间、标准正交基和正交矩阵的 一 个 特 解 ( 某 一 个 解) ， x是 Ax 0 的 一 般解1、什

23、么是欧式空间？向量空间(向量集合+线性运算)+长度、角度x kk 1122k,x)rAn rnr度量(内积运算)内积：设 (a , a,)T 和 ,)T Rn ，第四章 向量空间与线性变换一、什么是向量空间(前面已介绍：集合+线性运算)？如何刻画？1 、 Rn 12n规定 与 的内积为：12nB , Rn B Rn 中任一向(,)aa a b 。12n1 12 2n n量 B a a a 当 均为列向量，看成矩阵有() T T；若1 122nnB Rn 的一组基(或基底)(a ,) 是向量均为行向量类似。12n(, ) (,)；线性(加法、数乘)；非负性 B (B 下) (a a , a )

24、或B12n(,) 0，等号成立当且仅当 0 (a ,a ,)T ，并称之为 的坐标向量；特别的 n 个 (,)向 量 的 长 度； 向 量 内 积 满 足单位向量组成的基称为自然基或标准基2、不同的基之间有什么关系？过渡矩阵，坐标变换公式|(, )|，称为柯西-施瓦茨不等式向量,之间的夹角定义为n维向量使得 ，就称是矩阵A的一个特征值， , a ,),rccosrccos正交(垂直)的是 A 属于(或对应于)特征值 的一个特征向量2、如何求？根据定义特征值就是使得 (E A) 0有非零解充要条件是(, ) 0的 det(E A 0 的 是特征值；因此步骤为2、特殊的基：标准正交基Rn 中两两正

25、交且不含零向量的向量组 (称为非零正交向量组 )i) 求det(E 0的根, ,12n(可能有重根)；ii)求每 ,1,s是线性无关的个特征根i所对应方程组( E A) 0的非零解(基础解系)，i设 ,12,nRn，若即为特征值i所对应的特征向量。 1 i j, 事实上，称(,0 i j i, j n，则称 ,1,2, ,aa1111ij,12n1nanaaRn的 一 组 标 准 正 交 基 ， 如 单 位 向 量 组 ， 或f () det(E 21n2 (cos,sin),1(sin,cos)R2等等aan1n2 annRn 一组为 矩 阵 A 的 特 征 多 项 式 ； E A 为 特

26、征 矩 阵 ；线性无关向量 ,12,mi)正交化：det(E A) 0 为特征方程 ;3、特征值和特征向量的性质11,) ,),12A 0的 特 征 向 量 ， 则 j jj1( j 2)jj( , )1(,)jk k ( k ,k k 0 )也是 A 的属于11j11122 11 12 201单位化： (1j|j1,2,，, , 为12m的特征向量n阶矩阵 An 个特征值为 ,，则 i)j一标准正交向量组(当 m n 时为基)3A Rnn A I An inijatr(A)(A的迹；ii12n为正交矩阵；(以后二次型用)An阶正交矩阵的充要条件是 A的列向量组为一组标准正i1i1交基；B 皆

27、是 n 阶正交矩阵， 则有 i) det A 1ii)ii)ii1 det AA1 ；iii) A1 也是正交阵；iv) AB 也是正交阵若列向量 xyRn n 阶正交矩阵 A 作用下变换为Ax, AyRn Ay) (x, y);| Ax x |; Ax, Ay x, y 第五章 特征值与特征向量 矩阵对角化一、什么是矩阵的特征值和特征向量？怎么求 (步骤)？有什么性质？1ACn阶矩阵，如果存在数C和非零的若AA 的特征向量，则 i)k kA 的特征值；ii) mAm 的特征根；iii)A 可逆时， 1 是 A1 的特征根；且 仍是对应的特征向量矩 阵A和的 特 征 值 相 同 ， 即dt()

28、T e t 121 例 9：设A 242 ，求A的特征值和特征向量，并12P P1 AP 为对角矩阵1A 值都是实数，且对应于不同特征值的特征向量是正交的PP1APi) 求2、对于任一个 n 阶实对称矩阵A ，存在 n 阶正交矩阵 Q 使得A 的特征值和特征向量；Q1AQ, , ii ,(包括重根，如果存在的话)排成矩12n【如何寻找正交矩阵Q使得Q1AQ, 】阵的形式11 ,1, ) n格式化的步骤如下：12nm, ,12,)n)n ( , , ) 即可第一步求特征值由特征方程|IA( 0得i n12n到全部互异特征值 , , i1二、相似矩阵及其性质(什么是相似矩阵？比较前面学的等价矩阵)

29、1ABPP1AP B，就12m( I A)x0rABA B第二步：求特征向量并正交化。由i求出每个 重i2、矩阵的相似关系也是一种等价关系，满足反身性、对称性、传特征值 所对应的r 个特征向量 , ,并用施密特正iiiii递性123P1AP P1 A PP1 AP若A B，交化方法得到r个单位化正交向量,；由于不同特1212iiii12征 值 所 对 应 的 特 征 向 量 正 交 ， 因 此 得 到则 Am Bm ( m 为正整数)； ,|i1,2,iii为 n 个相互正交的单位特若A B，则f ( f，B 其中12f (xxn axn1 a xa,征向量；第三步：摆成矩阵。将得到 n 个相

30、互正交的单位特征向量按列摆成nn110n 阶矩阵，就是所求的矩阵Qf (A) a An aAn1 a A a E, f (B) Bn aBn1 a B aEnn110n1例 2： 设三1 实对0 矩阵 A的各行元素之和均为3，向量4、相似矩阵的特征值相同，但是逆命题不成立 ,1 (0, 1,1)T 是线性方程组 Ax 0 的两10B为同阶方阵，i)BB征多项式相同；i)过渡到后面的矩阵可对角化条件)个解。(I)A的特征值和特征向量(已讲)；(II)Q和对角矩阵使得QT AQ B 均为实对称矩阵时，试证i)的逆命题成立(后话)例 3：设 三 阶 实 对 称 矩 阵A第五章 特征值与特征向量 矩阵对角化 1 ,12 3 ,1个特1第六章 二次型1、相似标准形：若 A 与对角阵相似，则 的主对角元都是 AB A5 4 A3 E E 为