2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学二卷

1、绝密启用前2020 年通高等学招生全国统一考试理科数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上回答选择题时出每小题答案后铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑需动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷无 效考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交一、选择题：本题共 小题每小题 5 分，共 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的已知集合U 1,0,1,2,3 ， A 1,0,1, B 1,2, 则 C ( A B ) U（ ）A B C D若 为四象限角，则A B cos2C 2D 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上

2、销售业务，每天能完成 1200 份单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某积压 份单未配货，预计第二的新订单 份概率为 0.05，愿者每人每天能完成 份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95则至少需要志愿者A10 名B 名C 名D32 名北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形板（称为天心石），环绕天心石砌 扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块向外每环依次也增加 块已知每层环数相同，且下层比中层多 块，则 三层共有扇面形石板（不含

3、天心石）A3699 块B C 块D 块理科数学第 页15 215 2若过点 圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2 y 距离为AB 5C 5D 5数列 中， ， n m ，若 a m ， A2 B3 C 图是一个多面体的三视图，这多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为 ，俯视 图中对应的点为 N 则该端点在侧视图中对应的点为MEGFHNA EB C D x 设 O 为标原点，直线 a 与曲线 : 0) 的条渐近线分交于 D、 两 b点，若A4 面积为 8，则 的距的最小值为B8 C16 D32 函数 f ( 2 ln ， ( x1A是偶函数，且在 ( ,调增21C偶函数，且在 ( ) 单递增

4、21 1B是奇函数，且在 ( , ) 单递减2 21D奇数，且在 ( 单递210. 已知 ABC 是面积为 3的等边三角形顶都在球 O 的表面上 O 的面积为16 ，则球 O 到面 的离为（ ）A B32C 1D11. 若 2，则（ ） y B ln( y C ln x y D 0-1 周序列在通信技术中有着重要应用，若序列 a 满 a (0,1)(i ) ，存在1 2 i正整数 m ，得 ai (i 1,2, 成，则称其为 0-1 周序列，并称满足 a ii (i 最 i小 正 整 数 为 这 个 序 列 的 周 期 对 于 周 期 为 m 的 0-1 序 列 ，1 2 理科数学第 页m m

5、 m m C ( k ) a ai i i ( k , m 是述其性的重要指标下列周期为 5 的 0-1 序中，满足1 ( k ) ( 1,2,3,4) 的列 5A11010B11011C10001D11001二、填空题：本题共 小题，每题 分，共 20 分已知单位向量 a, 的角为 45， a 与 垂，则 _ 名学到 3 个区加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 个区，每小区至少安排 1 名 同学，则不同的安排方法共有种设复数 z , z 满足 z z ， ，则 z 1 2 2 2设有下列四个命题： ：两相交不过同一点的三条直线必在同一平面内1 ：过空间中意三点有且仅有一个平面2 ：空间两直线不

6、相交，则这两条直线平行3 ：若直线 l 平 ，线 m 面 则 m l 4则下述命题中所有真命题的序号_ p14 12 p 2 34三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第7-21 题为必题，每个试 题考生都必须作答第 、 题为选考题，考生据要求作答（一）必考题：共 60 分（ 分）ABC 中， sin sin sin B sin C （1求 A ；（2若 求 周的最大值理科数学第 页2020202020 n n n 2020202020 n n n （ 分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加 为查该地区某种野生动物的数量将分成面积相的 200

7、 个地块从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 个作 为样区查得到样本数据 y y 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面单i i i i位 ： 公 顷 ） 和 这 种 野 生 动 物 的 数 量 并 计 算 得xi60 ，yi ，xi ，i i i y yi9000 ，x y i ii i （1求该地区这种野生动物数量的估计这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2求样本 （确到 ）；i i（3根据现有统计资料各地块间植物覆盖面积差异很大提高样本的代表性以获得该地区 这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由附：相关系数 r x y

8、i ii x i i， 2 1.414 i i （ 分）x 已知椭圆 : a 的右焦点 与抛物线 C 的点重合， C 的心与的 C 的顶 1 1 2点重合 过 且与 x 轴直的直线交 于 ， B 两，交 于 ， D 两，且 CD 1 （1求 C 的心率；1（2设 M 是 C 与 C 的共点，若 MF 求 与 的标准方程1 2 1 43AB 理科数学第 页（ 分）如图，已知三棱柱 A B 的底面是正三角形，侧面 BB C C 是矩形， M ， N 分别为 BC ，1 1 C 的点， P 为 AM 上一点，过 B C 和 的面 于 E ，交 于 F 1 1 （1证明： AA MN ，平面 平面E

9、；1 1 （2设 为 A B C 的心，若 AO 平面 F ，且 ，求直线 E 与平面 1 1 1所成角的正弦值（ 分）已知函数 f x sin x （1讨论 （2证明： 3 8；（3设 *证明： sin sin x 3 理科数学第 页（二）选考题：共 分请考生在第 22、 题中任选一题作如果多做，则按所做的第一题计 分选 ：坐标系与参数方 分已知曲线 C ， C 的数方程别为 C ： （ 为参数）， C ： t（ t为参数）（1将 ， C 的数方程化为普通方程； （2以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系设 C ， 的点为 P ，圆心在 极轴上，且经过极点和 P 的的极坐标方程选

10、 ：不等式选讲（ 分）已知函数 x x （1当 a 时求不等式 f （2若 x 求 的取值范围理科数学第 页1 i 1 i 参考答案1 2 3 4 5 6 7 8B 9 11 A 1236 15 2 3 17解：（1）正弦定理和已知条件得 ACAC ，由余弦定理得 BC AC AB AC cos ，由，得 .因为 A ，所以A .（）正弦定及1）AC 3 sin B C sin A，从而 AC sin ， AB 2 sin( A ) 3 B .故BC AC sin B sin( B .又 B ，所以当 B 时 ABC 周长取得最大值 3 3 . 18：1）已得样本平均数 y ，而地区这种野生动

11、物数量的估计值为 6020i （）本 x ) (i 的关系数i ir x )( y )i ii x ) )i i800 2 2 0.94 i i （）层抽样根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对 个块行分层抽样 理由如下：由2知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种 野生动物数量更准确的估计解：1）已知可设 C 的程为y cx，其中 c 22 .理科数学第 页1 11 11 1 1 11 1 11 11 11

12、 1 1 ，1 11 11 1 1 11 1 11 11 11 1 1 ，b b2不妨设 C 在第一象限题得 的纵坐标分别为 a aC , 的坐标分别为， ， 2ba2，| c.由| CD | |得 4c 23a，即c 1 2 ，得 舍）， a a 2.所以 C 的心率为 .（）（）知 ， c ，故 :1 2 2 4c c ，设 ( , y ) 0，则x 2 x 4 x0 y cx ，故 0 . 4 c c 3c由于 的线为 2，所以 MF | ，而 | | ， x 0 ，代入得(5 2 4(5 ) 4 c，即 c ，解得 （舍去）， .所以 C 的准方程为 2 36 ， C 的准方程为 2y

13、 .20 ：（ 1 ）为M N 分为BC ， B 的点，所以 MNMNCC1又由已知得 A ， AA 因为 eq oac(,A) eq oac(, ) C 是三角形，所 N又B MN， 面 AMN所以平面 AMN面EB 1 （）已知AMBCM为标原点， MA 的向为轴方向， MB 为单位长，建立如图 所示的空间直角坐标Mxyz，AB=2，= 连接 NP则四边形 AONP 为行四边形，故 PM 2 2 E ( , ,0) （）知平面 A 3 平面 ABC， AM，垂足为 Q，则 面 ABC设Q(a，则 2 3 ) , ( a 4 ) 3 3理科数学第 页1 1 1 1 1 1 故B 2 3 3

14、2 10 ) B E |3 3又n 是平面 A 的向量，故 sin( n, ) cos n B E | 10所以直线 E 与面 A 所成角的正弦值为 10解：1）f x ) x x sin 2 x 2 2sin 2sin sin3 cos2 当 x (0, )( ， f ； ) 3 时，f 所以f ( x) 在区间 ),( 单调递增，在区间 ( 单调递减 3 （）为f (0) f ( ，由（），f ( x)在区间 3的最大值为 ( ) ，3 最小值为 f ( 3) 3 而f ( x)3 3是周期为 周期函数，故 | f ( ) 8（）于x 2 sin x ) sin x sin x sin xsin 2 | |sin | f ( x f )f (2 ) | 2 f x f x)f (2 ) ，所以 x sin x 3 3 3) 8 4解：1） 的普通方程为 y 4(0 4)理科数学第 页x x 由 的数方程得 ， t t ，所以 故