高等数学课件向量及其线性运算

1、第八章空间解析几何与向量代数第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式 点, 线, 面数量关系 坐标, 方程（组）基本方法 坐标法;向量法一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影第一节向量及其线性运算机动目录上页下页返回结束一、向量的概念M1向量的模:向量的大小,向径(矢径):起点为原点的向量，记做 r.单位向量:模为 1 的向量,记做 e .零向量: 模为 0 的向量（方向任意）, 记做 0.纯量: 只有大小的向量（又称标量）.向量:既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).表示法:有向线段 M1 M2 ,

2、 或 a , 或 a .或 a .M 2机动目录上页下页返回结束若向量 a 与 b大小相等, 方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作a ;将 a 或 b平移使它们始点重合，它们所在的射线之间的夹角（0 ）称为向量 a 与 b的夹角,记作（a, b）.机动目录上页下页返回结束若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作ab ;规定: 零向量与任何向量平行 ;因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k个向量共面 .机动目录上页下页返回

3、结束二、向量的线性运算向量的加法（特殊情形）如果a、b在同一条直线上:a、b同向：和的方向与原向量相同，其模等于两向量的模之和。a、b反向：和的方向与模值大的向量方向相同，其模等于两向量的模之差。机动目录上页下页返回结束1. 向量的加法（一般情形）三角形法则:平行四边形法则:运算规律: 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.a b b a( a b ) c a ( b c ) a b cbca bab c( a b ) c a ( b c )ba baa bba机动目录上页下页返回结束a4a5a3sa2a1s a1 a2 a3 a4 a5机动目录上页下页返回结束2. 向量的减法三角不等式

4、a机动目录上页下页返回结束 a a3. 向量与数的乘法规定:可见1a a ;1a a ; 是一个数, 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .总之:运算律: 结合律 ( a) ( a) a分配律(a b ) a b1aaa.因此 a 则有单位向量 ea 机动目录上页下页返回结束ea（P4）( 为唯一实数)证:“定理1.1：设 a 为非零向量, 则ab”.设 ab, 取, a , b 同向时取正号,反向时取负号,则 b 与 a 同向,且b故 b a.再证数 的唯一性. 设又有 b a , 则 ( ) a 0故 0, 即 .机动目录上页下页返回结束“MBCDba 2 MA 2 MB” 已知 b

5、a ,则b0a , b 同向a , b 反向ab例1. 设 M 为ABCD 对角线的交点,试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.解:a b ACb a BD2MA 1 ( a b )2MB 1 ( b a )A2MC 1 ( a b )2MD 1 ( b a )机动目录上页下页返回结束设数轴 Ou, 其原点为O,将与Ou轴的正向同方向的单位向量记作eu ，P为轴上任意一点，其坐标为u，则 u OP（OP与eu 同向时取正，反向时取负）.euu POu推论. 对数轴上任意一点 P，轴上有向线段OP 都可惟一地表示为点P的坐标与轴上单位向量eu 的乘积OP ueu机动目录上页下页返回结束A定理1.2：三向量a，b，c共面的充分必要条件是其中一个向量可以 表示成其余两个向量的线性组合。证略.