《线性代数及其应用》第一章Ch1.5

1、线性代数及其应用线性方程组的解集Slide 1.5- 2齐次线性方程组线性方程组称为齐次的，若它可以写为 的形式，其中A是 矩阵而0是 中的零向量。 这样的方程组 至少有一个解，即 ， ( 中的零向量)。零解通常称为平凡解。齐次线性方程组 有非平凡解，当且仅当方程至少有一个自由变量。Slide 1.5- 3齐次线性方程组例 1: 确定下列齐次线性方程组是否有非平凡解，并描述它的解集。解: 设 A 为该方程组的系数矩阵，用行化简法将增广矩阵 化为阶梯形。Slide 1.5- 4齐次线性方程组因 x3 是自由变量， 有非平凡解 (对x3 的每一个值都有一个解)。继续将 化为简化行阶梯形：Slide

2、 1.5- 5齐次线性方程组求解基本变量 x1 和 x2 得到： ， ，其中x3 是自由变量。 的通解写成向量形式如下： , 其中 。 Slide 1.5- 6齐次线性方程组这里 x3 由通解向量的表达式中作为公因子提出来。这说明 的每一个解都是v的倍数。平凡解可由 得到。几何意义下，解集是 中通过0点的一条直线。Slide 1.5- 7参数向量形式形如 (s, t 为实数)的方程称为平面的参数向量方程。在例1中, 方程 (x3 是自由变量), 或 (其中 t 为实数 ), 是直线的参数方程。当解集用向量显示表示为如例1时，我们称之为解的参数向量形式。Slide 1.5- 8非齐次线性方程组的

3、解当非齐次线性方程组有无穷多解时，可表示为参数向量形式，即由一个向量加上满足对应的齐次线性方程组的一些向量的任意线性组合的形式。例 2: 描述 的解，其中 ，和 。Slide 1.5- 9非齐次线性方程组的解解: 对 做行变换得 , .所以 , , x3 是自由变量。Slide 1.5- 10非齐次线性方程组的解 的通解写成向量形式如下：pvSlide 1.5- 11非齐次线性方程组的解方程 , 或用t 表示一般的参数 (t 为实数) -(1) 就是用参数向量形式表示了 的解集。方程 的解集有参数向量形式 (t 为实数 ) -(2)(v与（1）中的v相同)。所以 的解可以由向量p加上 的解来得

4、到。Slide 1.5- 12非齐次线性方程组的解向量p 本身刚好是 的一个特解（对应(1)中 ）。为了从几何上描述 的解集，我们可以把向量加法解释为平移。给定 或 中的 v 和 p ，把p加上v的结果就是把v沿着通过p和0直线的平行方向移动。 Slide 1.5- 13非齐次线性方程组的解我们称v 被平移p到 , 如下图。若 或 中的直线L上的每一点被平移p，就得到一条平行于L的直线，如下图。Slide 1.5- 14非齐次线性方程组的解设L 是通过0 和 v 的直线, 由方程(2)表示。L 的每个点加上 p 得到由方程(1) 表示的平移后的直线。我们称(1)为通过 p 平行于 v的直线方程。所以 的解集是一条通过 p 而平行于 的直线，下一页的图形说明了这一结论。Slide 1.5- 15非齐次线性方程组的解图中 和 的解集之间的关系可以推广到任意相容的方程 ，虽然当自由变量有多个时，解集将多于一条直线。下面的定理给出了这一结论。 Slide 1.5- 16非齐次线性方程组的解定理6: 设方程 对某个b 是相容的，p是一个特解，则 的解集是所有形如 的向量集，其中 是齐次方程 的任意一个解。定理6说明，若 有解，则解集可由 的解平移向量p 得到，p是 的任意一个特解。Slide 1.5- 17把相容方程组的解集表示成参数向量形式将增广矩阵行化简为简化阶梯形。把