有放回与无放回的探讨

1、有放回与无放回的探讨(一)小议抽样方式在各种资料中经常会出现这样的问题：在20000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检 查，求检查得不合格品数的数学期望.学生在做这类题目时感到困惑：题目没有指明抽样方式，应视为有放 回抽样还是无放回抽样？应视为什么样的概率分布？【分析】若设& :表示检查得不合格品数，则所求数学期望为E(&)， 故解此题的关键是求概率p (& = k).为了解决学生提出的问题先看下面的例题.例1:一个口袋装有大小相等的10个球，其中6个白球,4个红球.在下 列三种情况下分别求事件“取出的球颜色相同”发生的概率一次取出3个球；“无放回”逐次取球3次，每次一个

2、；“有放回”逐次取出3个球，解：(1) 一次取出3个球共有c3 = 120种等可能情况，其中事件“取出10的球颜色相同”包含有C3 + C： = 24种等可能情况，它发生的概率为P =兰=1.64120 5“无放回”逐次取出3个球，共有10X9X8 = A3 = 720种等可能情10况，其中事件“取出的球颜色相同”包含有6 x 5 x 4 + 4 x 3 x 2 = A; + A： = 144 种等可能情况，它发生的概率为P =坦=1.720 5“有放回”逐次取出3个球共有103 = 1000种等可能情况，其中事 件“取出的球颜色相同”包含有63 + 43 = 280种等可能情况，它发生的概率

3、 为P =竺二.1000 25通过以上分析得出如下结论：无放回抽样”是指每次抽出的一个体不再放回总体中，下次再抽 取时，球总体的总数比前一次少一个，每次抽取的概率发生变化,无放回 抽取各次抽取作为一个事件，它们不是相互独立。对无放回抽取事件“无放回地逐个取左个球”与事件“一次性任取 k个球”的概率相等，是古典概型，服从超几何分布。“有放回抽样”是指每次抽出一个个体完成后还要把这个个体放 回总体中(即袋内)，下次再抽取时，球的总数不变，每次摸球的概率保 持不变；有放回摸球各次抽取作为一个事件，则它们是相互独立的，是独 立重复试验(贝努力概型)，服从二项分布。例2:在100件产品中有10件不合格品

4、，从中任意抽取3件进行检 查，求检查得不合格品数的数学期望.解法一：如视为“有放回抽样”用独立重复试验(伯努利概型)计算：设& : 3件产品中的不合格品数，则&的可能取值为：0，1，2, 3抽 取3件产品可看成进行了 3次独立重复试验(3重伯努利试验)& =k： 3件产品中恰有k件不合格品，其中k = 0,1,2,3每次抽得不合格品的概率为P =匹=1100 10由独立重复试验(伯努利概型)公式：p怎=k)= Ck(L)kG9)3-k于是3 10 10E (&) = E =k ) = kCk () k ()3-k =23 3 X Ck1(L) k1(?)31(k1)k =0k =1kk =0k =1k =1=3 x 22 Ck (1)k ()(3-i)-(k-i)= 3 x = 0.310 k 0 3-i10 10，10解法二:如视为无放回抽样”(服从超几何分布)设g： 3件产品中的不合格品数。则g的可能取值为：0, 1, 2, 3抽 取3件产品可看成是从100件产品中无放回地连续抽取3次.由古典概型 公式得：P(g= k) = CkC90-(k=0，1，2，3)C 3100从而g服从超几何分布即E(g) = 23 kP(g = k) = -kCC-k = -L(oCoC30 + qC* + 2C2 C* + 3C%) k=0100 k=1100=0.2998 0.3从上例讨论