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文档简介
1、时针分针夹角问题解答有关时针分针夹角的计算钟表上的时针、分针你追我赶, 始终围绕中心按各自恒定的速度旋转,两针所成的夹角也随着时间的变化而变化。如何来计算两针的夹角呢?通常我们以两针各自正对钟表面上 “12”时为起始位置,以所计算角度时刻时针、分针暂停的位置为终止位置,两针各自旋转的角度之差为两针的夹角。由于我们常说的角都是小于 180 度的,当两针夹角大于 180 度时,应用周角 360 度减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。时针旋转一圈是12 小时,从起始位置旋转到终止位置旋转了360 度, 1 小时旋转了 30 度, 1 分钟旋转了 0。5 度;分针旋转一圈是 60 分钟,从起始位置旋
2、转到终止位置是 360 度, 1 分钟旋转了 6 度。一、整点两针夹角的计算例 1 2 点整时针分的夹角是多少度?分析:如图 1,时针从 0 点旋转到 2 点,旋转了 230 =60;分针没有旋转,从 0 分到 0 分,转了 0。所以两针的夹角为 60-0 =60。解: 230 -0 6=60练习 1:6 点整时,时针分针的夹角是多少度? 8 点整呢?(提示:当所计算的夹角大于 180 度时,应用周角 360 度减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。)二、非整点两针夹角的计算例 2计算 3 点 40 分时两针的夹角。分析:如图 2 所示, 3 点 40 分时,时针以正对 0 点为始边,以 2
3、以到 3 点 40 分时为终边,旋转角度为: 3 30 400.5=110;分针以正对 0 分为始边,以旋转到 40 分时为终边,旋转角度为: 40 6 =240。分针旋转角度大于时针旋转角度,所以两针夹角为 240- 110 =130 度。解:如图 2 所示,时针旋转角度为:330 400.5=110分针旋转角度为: 406=240两针夹角为 240- 110=130练习 2:计算 10 点过 5 分时两针的夹角。三、已知两针的夹角,求时间例 3 4点过多少时,时针与分针互相垂直?分析:存在两种情况:( 1)当时针旋转角度大于分针旋转角度时,如图 3,时针分针互相垂直;( 2)当分针旋转角度
4、大于时针旋转角度时,如图 4,时针分针互相垂直。解:( 1)当时针旋转角度大于分针旋转角度时,如图 3,设 4 点过 x 分钟时两针互相垂直。由题得:4 30+0.5x) 6x=90120+0.5x 6x=9025.5x=30 x=60/11(2) 当分针旋转角度大于时针旋转角度时,如图 4,设 4 点过 y 分钟时两针互相垂直。由题得:6y(4 300.5y)=906y1200.5y=905.5y=210y=420/11答: 4 点过 5 分或 4 点 38 分时,时针与分针互相垂直。练习 3:11 点过多少分时,时针与分针的夹角为60 度?(提示:也存在两种情况,一种是时针比分针旋转角度大
5、 60 度,另一种是时针比分针旋转角度大 360 60=300)四、时针与分针重合时的时间计算时针与分针重合时,时针与分针旋转角度相等,因此,可列一元一次方程解决问题。例 4 5 点过多少分钟时,时针与分针重合?解:设 5 点 x 分钟时,两针刚好重合。由题得:5300。5x=6x5.5x=150 x=27答: 5 点过 27 分时,时针与分针重合。3六年级专题讲座 ( 三 ) 时钟问题刘丹钟表是我们生活中重要的计时工具 . 钟面上的分针,时针都在连续不断的按规律转动着 . 时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题 . 是特殊的 , 在圆周上的行程问题,如求分针时针重合,成角等有趣的问题 .
6、研究此类问题对提高思维能力很有益处。 为解好这类问题应掌握以下基础知识 . 即特殊常用关系式 .讲座:1钟面的一周分为 60 格, 每格为 6. 每个数字间隔为 5 个格为 30. 分针每分钟走一格, 为 6. 时针每分钟走格. 为 0.5 . 分针速度是时针的 12 倍,时针速度是分针的.2时针和分针在重合状态时,分针每走 60(1 )=65( 分), 再与时针重合一次 .4若在初始时刻两针相差的格数为 a,分针在后,则后者赶上前者的时间为:a (1 )( 分)两针垂直 , 表示它们所成最小角是90.例题:现举几例阐述解题方法与思路.例 1 现在是 12 点, 分针与时针重合 . 问再过几分
7、钟两针第一次重合 ?解:由上面给出的公式得:60(1 )=65( 分)答: 再过 65 ( 分) 两针重合例 2 现在是 3 点,问什么时间时针与分针第一次重合?5分析 : 3点时 , 分针指在 12 处,时针指在 3 处.分针在时针后 5315(个)格 .答: 所求时刻为 3 点 16分。例 3当 5 点 08 分时,求时针与分针所成角度解: 5 点时分针与时针成 625=150 8 分钟分针走了 48,时针走了 48 =4.所以此时分针多转过了484=44。两针成角为 15044=106.答: 5 点 08 分时,时针与分针成106.例 4:在 10 点与 11 点之间,钟面上时针和分针在
8、什么时刻垂直?解:分两种情况进行讨论若从时针到分针沿顺时针方向上成90角时, 如图:6为达到两针成 90角 , 在这段时间内,分针要比时针多走 5 (个)格,由上述公式得 :5(1 )=5( 分)若在顺时针方向上分针与时针成90角:由于在 10 点整时分针落后时针510=50(个)格,成90时只落后 15 个格,所以在这段时间内, 分针要比时针多走50-15=35(个)格,因此到达这一时刻分针应走35(1 )=38( 分)例 5 在 9 点与 10 点之间的什么时刻,分针与时针在一条直线上?分两种情况进行讨论 .7若分针与时针的夹角为180角:当分针与时针的夹角为180角时,分针落后时针 60
9、 =30(个)格,而在 9 点整时,分针落后时针 59=45(个)格 . 因此,在这段时间内分针要比时针多走 45-30=15(个)格,由公式得 :15 (1 )=16( 分)分针与时针的夹角为 0,即分针与时针重合:因为 9 点整时,分针落后时针 59=45 (个)格,而当分针与时针重合时,分针要比时针多走 45 个格,因此到达这一时刻所用的时间为45(1 -)=49( 分)8例 6 分针和时针在数字“ 12”的两边,时针在 11 和 12 之间,分针在 12 和 1 之间。问再过多少分钟两针交换位置 .解: 两针交换位置表明: 分针转到原时针位置,时针转到原分针位置,两针合计转过了 60
10、格.所以经过了60( 1+)=55(分)答: 再过 55分两针交换位置 .例 7. 小龙在 7 点与 8 点之间解了一道题 . 开始时, 分针与时针正好在一条直线上,解完题时 ,两针正好重合,问:(1) 小龙解题的起始时间? (2) 小龙解题共用了多少时间?解: 要求出小龙解题共用了多少时间,必须先求出小龙解题开始时是什么时刻, 解完题时是什么时刻 .9小龙开始解题时的时刻:因为小龙开始解题时, 分针与时针正好成一条直线,也就是分针与时针的夹角为 180,此时分针落后时针 60 =30(个)格,而 7 点整时分针落后时针 57 35(个)格,因此在这段时间内分针要比时针多走 5 个格,由公式得
11、:5( 1)=5( 分)所以开始时间为7 点 5分小龙解题结束时的时刻:因为小龙解题结束时,两针正好重合,那么从 7 点整到这一时刻分针要比时针多走 35 个格,因此这段时间为:35(1 )=38( 分)10因此小龙解题结束时间为:7 点38分.这样小龙解题所用时间为:385=32( 分)答:小龙开始解题时间是7 点 5分,于 7 点 38分结束,共用了32分钟 .例 8 一时钟的时针与分针均指在4 与 6 之间,且钟面上的“ 5”字恰好在时针与分针的正中央,问这时是什么时刻?解: 由于现在可以是 4 点多,也可以是 5 点多,所以分两种情况进行讨论:先设此时是 4 点多 . 如图 (a)4
12、点整时,时针指 4,分针指 12. 从 4 点整到现在“5 在时针与分针的正中央”,分针11走的格数多于 25,少于 30,时针走不足 5 格.由于 5 到分针的格数等于 5 到时针的格数,相当由于分针到 6 的格数等于时针到 4 的格数,所以时针与分针在这段时间内共走 30 格. 又由于再设此时是 5 点多 . 如图 (b)5 点整时,时针指 5,分针指 12. 从 5 点整到现在“5 在时针与分针的正中央”,分针走的格数多于 20 格少于 25 格,时针走的数不足 5 格,由于 5 到分针的格数等于 5 到时针的格数,同上面的分析一样, 时针与分针在这段时间内共走25格.因此,从 5 点整
13、到图( b)钟面上这种状态共用了 25( 1+)=23(分)12所以此时是 5 点 23分答:此时是 4点 27分 也可是 5点 23分.例 9:小李的表比标准钟慢两分,小刘的表比标准钟快两分。 8 点时两人把表对准。问 : 小李的表是 12 点时,标准时间是几点几分?小刘的表是几点几分?解: 由已知条件得: 小李的表每小时走 58 分,小刘的表每小时走 62 分.小李的表,标准钟,小刘的表的速度比为 58 6062.由 8 点到 12 点,小李的表走了 240 分,则标准钟应走 240 =248 分,小刘的表应走240=256分。答:标准时间是 8 点 8分. 小刘的表是 8 点 16分.习
14、题:13*1、1 点到 2 点之间,时针与分针在什么时候重合?2、11 点到 12 点之间,时针与分针在什么时候重合?3、在 5 点到 6 点之间,时针与分针何时成直角?4、在 4 点到 5 点之间时针与分针何时成一条直线?5、在 3 点到 4 点之间时针与分针何时成60角?6、观察在镜面反射后的钟面的指针位置,并说出:1)两钟面所表示的实际时刻;2)两钟面的时间差 .147、钟敏家有一个闹钟, 每时比标准时间快 2 分 . 星期天上午 9 点整,钟敏对准了闹钟, 然后定上铃,想让闹钟在 11 点半闹铃,提醒她帮助妈妈做饭。钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上?8、小翔家有一个闹钟, 每时比标准时间慢 2 分。有一天晚上 9 点整,小翔对准了闹钟, 他想第二天早晨 6 点 40 分起床,于是他就将闹钟的铃定在了 6 点 40 分. 这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分?*下面是某
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