2022年高考数学三轮冲刺之重难点预测04 三角函数、解三角形和平面向量（真题回顾+押题预测）（解析）

1、预测04 三角函数、解三角形和平面向量1、近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2、高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论

2、证能力、数学应用意识、数形结合思想等3、平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题； 1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C()cos()cos cos sin sin (C()sin()sin cos cos sin (S()sin()sin cos cos sin (S()tan()eq f(tan tan ,1tan tan )(T()tan()eq f(tan tan ,1tan tan )(T()2、二倍角公式sin 22sin cos ；cos 2cos

3、2sin22cos2112sin2；tan 2eq f(2tan ,1tan2).3、函数f(x)asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()eq r(a2b2)sin()(其中tan eq f(b,a)或f() eq r(a2b2)cos()(其中tan eq f(a,b).1正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R(R为ABC外接圆的半径)2余弦定理a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C.3三角形的面积公式 (1)SABCeq f(1,2)aha(ha为边a上的高)；(2)SABCe

4、q f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)acsin B；(3)Seq f(1,2)r(abc)(r为三角形的内切圆半径)1、向量共线定理如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.2、平面向量基本定理若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得。其中成为平面向量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）3、向量数量积运算，其中为向量的夹角4、平面向量的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此

5、得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|eq r(x2y2).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|eq o(AB,sup6()|eq r(x2x12y2y12).(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10 则abx1x2y1y20.一选择题（共8小题）1（2021新高考）若tan2，则sin(1+A-65B-25C2【解答】解：由题意可得：sin=sinsin+cos故选：C2（2021乙卷）cos212-cos2A12B33C22【解答】解：cos212-cos2512cos212-sin故选：D3

6、（2021甲卷）若（0，2），tan2=cos2-sinA1515B55C53【解答】解：由tan2=cos2-sin即2sincos（0，2），cos0则2sin（2sin）12sin2，解得sin=1则cos=1-tan=sin故选：A4（2021乙卷）函数f（x）sinx3+cosxA3和2B3和2C6和2D6和2【解答】解：f（x）sinx3+cosx3=T=21当sin（x3+4）1时，函数f（函数f（x）的周期为 6，最大值2故选：C5（2021新高考）下列区间中，函数f（x）7sin（x-A（0，2）B（2，）C（，32）D（3【解答】解：令-2+2k则-3+2k当k0时，x-3

7、，23， （0，2）故选：A6（2021乙卷）把函数yf（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数ysin（x-4）的图像，则Asin（x2-712） Bsin（x2+12）Csin（2x-7【解答】解：把函数yf（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的12再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数ysin（x-把函数ysin（x-4）的图像，向左平移得到ysin（x+3-4）再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得f（x）sin（12x+故选：B7（2021甲卷）在ABC中，已知B120，AC=19，AB2，则BCA1B

8、2C5D3【解答】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合余弦定理，可得19a2+42a2cos120，即a2+2a150，解得a3 （a5 舍去），所以BC3故选：D8（压轴）（2021乙卷）魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB（）A表高表距表目距的差+表高B表高表距表目距的差-表高C【解答】解：DEAB=EHAH，FGBA解得AE=EHEGCG-EH，故A

9、B=DEAH另解：如图所示，连接FD并延长交AB于点M，表目距的差表高表高表距表目距的差=表距表目距的差表高=ABBM+MA=表高故选：A二多选题（共1小题）（多选）9（压轴）（2021新高考）已知O为坐标原点，点P1（cos，sin），P2（cos，sin），P3（cos（+），sin（+），A（1，0），则（）A|OP1|OP2|B|ACOAOP3=OP1【解答】解：法一、P1（cos，sin），P2（cos，sin），P3（cos（+），sin（+），A（1，0），OP1=（cos，sin），OP2=（cos，sin），OP3=（cos（+），AP1则|OP1|=cos2+sin2|A|

10、A|AP1|APOAOP3=1cos（+）+0sin（+OP1OP2=coscossinsinOAOP3=OAOP1=1cos+0OP2OP3=coscos（+）sinsin（+）cos+（+OAOP1故选：AC法二、如图建立平面直角坐标系，A（1，0），作出单位圆O，并作出角，使角的始边与OA重合，终边交圆O于点P1，角的始边为OP1，终边交圆O于P3，角的始边为OA，交圆O于P2，于是P1（cos，sin），P3（cos（+），sin（+），P2（cos，sin），由向量的模与数量积可知，A、C正确；B、D错误故选：AC三填空题（共8小题）10（2021甲卷）已知函数f（x）2cos（x+

11、）的部分图像如图所示，则f（2）-3【解答】解：由图可知，f（x）的最小正周期T=43（13所以=2T=2，因为f（所以由五点作图法可得23+=所以f（x）2cos（2x-所以f（2）2cos（22-故答案为：-311（2021乙卷）已知向量a=（2，5），b=（，4），若ab，则【解答】解：因为a=（2，5），b=（，4），所以850，解得=8故答案为：8512（2021甲卷）已知向量a=（3，1），b=（1，0），c=a+kb若【解答】解：因为向量a=（3，1），b=（1，0），由ac，则a(a+kb)=|a|2+解得k=-故答案为：-1013（2021甲卷）若向量a，b满足|a|3，|a

12、-b|5，ab=【解答】解：由题意，可得(a因为|a|3，ab=所以b故答案为：3214（2021新高考）已知向量a+b+c=0，|a|1，|b|c|【解答】解：方法1：由a+b+c（a+b）2（-c）2或（a+c）2（-b又|a|1，|b|c|2，5+2ab=4，5+2aab=-12，ac=-12，故答案为：-9方法2：ab+b故答案为：-915（2021乙卷）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B60，a2+c23ac，则b22【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B60，a2+c23ac，12acsinB=312ac32=3ac4a又c

13、osB=a2+c2-b2故答案为：2216（压轴）（2021甲卷）已知函数f（x）2cos（x+）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）f（-74）（f（x）f（43）0的最小正整数x为【解答】解：由图像可得34T=(f(x)-(f观察图像可知当xf(x)2（3，5x2时最小，且满足题意，故答案为：2四解答题（共2小题）17（2021新高考）在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，ba+1，ca+2（1）若2sinC3sinA，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）2sinC3sinA，根据正弦定理可得

14、2c3a，ba+1，ca+2，a4，b5，c6，在ABC中，运用余弦定理可得cosC=sin2C+cos2C1，sinC=1-S（2）cba，ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，cosC=a22a30，a0，0a3，三角形的任意两边之和大于第三边，a+bc，即a+a+1a+2，即a1，1a3，a为正整数，a218（2021新高考）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知b2ac，点D在边AC上，BDsinABCasinC（1）证明：BDb；（2）若AD2DC，求cosABC【解答】解：（1）证明：由正弦定理知，bsinb2RsinABC，c2RsinACB，b2ac，b2RsinAB

15、Ca2RsinACB，即bsinABCasinC，BDsinABCasinC，BDb；（2）由（1）知BDb，AD2DC，AD=23b，在ABD中，由余弦定理知，cosBDA=B在CBD中，由余弦定理知，cosBDC=BBDA+BDC，cosBDA+cosBDC0，即13b2得11b23c2+6a2，b2ac，3c211ac+6a20，c3a或c=2在ABC中，由余弦定理知，cosABC=a当c3a时，cosABC=76当c=23a时，cos综上所述，cosABC=7单选题1若tan（）2，则1-2sin2A-13B3C13【解答】解：若tan（）tan2，则1-2si故选：A2已知（，0），

16、且3cos22sincos30，则sin（）A31010B1010C-3【解答】解：因为3cos22sincos30，即3（12sin2）2sincos30，所以sin（3sin+cos）0，因为（，0），所以sin0，由于3sin+cos=0si故选：D3已知（32，2），sin=-35，sin（+）3cosA3B-317C3D【解答】解：（32，2），sin=-35，cos=sin（+）3cos，sincos+cossin3cos，即 sin+costan3，-35+45tan3故选：D4若(2，A45B-45C520【解答】解：因为(所以cos=-1-sin2=-23，可得tan则tan

17、(故选：D5为了得到函数ysin（2x+3）的图象，可以将函数ycos（2xA向左平移524个单位B向右平移5C向左平移2个单位D向右平移【解答】解：将函数ycos（2x+4）sin（2x向右平移524个单位，可得ysin（2x-512+3故选：B6函数f（x）sin（x+）（其中（0，|2）的图象如图所示，为了得到g（x）sinxA向右平移6个单位B向右平移12C向左平移6个单位D向左平移【解答】解：根据函数f（x）sin（x+）（其中（0，|可得142再根据五点法作图，可得23+，=3，f（x）sin故只要将f（x）的图象向右平移6个单位，可得g（x）sin2x故选：A7关于函数f（x）s

18、inxcos（x-f（x）的最小正周期为2；f（x）在区间-6，f（x）的图象关于点（12，0f（x+ABCD【解答】解：f（x）sinxcos（x-6）sinx（32cosx+12sinx）=32sinxcosx+=34sin2x-14cos2x+14=12（32sin2x-12则f（x）的最小正周期为22=当x-6，3时，2x-3，23，2x-6-2，2，此时f（x）为增函数，当x=12时，2x-6=0，此时f（x）=14，即f（xf（x+3）=12sin2（x+3）-6+14=12故选：C8设函数f（x）cos2x-3cos（2+x）cos（+xAf（x）的一个周期为Byf（x）的图象关

19、于直线x=4C将函数ycos2x的图象向左平移3个单位可以得到函数f（x）的图象Df（x）在（0，3【解答】解：f（x）cos2x-3sinxcosx-12=12cos2x-32sin2xcos（则f（x）的周期T=22当x=43时，2x+3=243即yf（x）的图象关于直线x=43将函数ycos2x的图象向左平移3个单位得到ycos2（x+3）cos（2无法得到f（x）的图象，故C错误，当x（0，3）时，2x+3（3，），此时f（故选：C9在ABC中，已知D是AB边上的一点，若CD=1A13B23C12【解答】解：A、B、D、三点共线，CD13+=2故选：B10如图，在ABM中，BM3CM，

20、AN=27AM，若A-17B17C-2【解答】解：AN=27AM=27（AB故+=-故选：D11已知菱形ABCD的边长为4，B60，O为BC的中点，点P满足AP=AB，R，A12B-12C13【解答】解：由题意知，OP=BP-BOBD故OPBD=（1）BA-12BC（BA+BC）（116（1）-1216+（12-）4412解得=-故选：B12已知向量a与b的夹角为30，|a|=1A1+23B19C13+43D【解答】解：(a|a故选：B二多选题（共4小题）（多选）13已知cos（+）=-55，cos2=-4Asin2=35Bcos（）Ccoscos=310Dtantan【解答】解：由02，可得

21、02则sin2=1-cos由，为锐角，可得0+，则sin（+）=1-cos（）cos2（+）cos2cos（+）+sin2sin（+）=-45（-5由coscos+sinsin=255，coscossinsin=-55，可得coscos=5tantan=sinsincoscos=3，故C故选：AB（多选）14已知向量a=(2，1)，A（a+bB向量a在向量b上的投影向量为Ca与a-D若c=(【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，a+b=（1，2），而a=（2，1对于B，向量a在向量b上的投影向量a对于C，a-b=（5，0），a（a-b）10，|a对于D，若c=(55，-255)故选：AB

22、（多选）15关于函数f（x）2sin（2x+A函数yf（x）的图像可由函数y2sin2x的图像向左平移4个单位得到Byf（x）的图像关于直线x=-3Cyf（x）的表达式可以改写为f（x）2cos（2x-4D若函数f（x）在-4，m的值域为-2，2，则m的取值范围是【解答】解：函数yf（x）的图像可由函数y2sin2x的图像向左平移4个单位得到y2sin2（x+4）2cos2x当x=-38时，f（-38）2sin2（-38）+f（x）2sin（2x+4）2sin（2x+2-4）2cosx-4，m，2x+4-4，2m+4，又f22m+454，解得8m故选：BD（多选）16（压轴）已知函数f（x）s

23、in（x+）+1（0，0）为偶函数，其图象与直线y2的两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x1x2|的最小值为，将f（x）的图象向右平移6个单位，得到g（x）的图象，则下列说法正确的是（）Ag(B(56，1)是函数C函数g（x）在(6D若方程g（x）m在0，【解答】解：因为函数f（x）sin（x+）+1为偶函数，所以=2+k，k又0，所以k0，=2，故f（x）cosx由|x1x2|的最小值为，知最小正周期T=2，所以所以f（x）cos2x+1，g（x）cos2（x-6）+1cos（2x+6-2）+1sin（2因为g（56）sin（256+6）+1=121，所以（令2x+6（2k+2，2k+3

24、2），kZ，则x（k+6，k+23），kZ，当k因为x0，2，所以2x+66，76，所以sin（2x+6）-1若方程g（x）m在0，2上有两个不等实根，则32故选：AC三填空题（共4小题）17函数ycos2（x+）（0）是奇函数，那么常数的最大值为 3【解答】解：ycos2（x+）cos（2x+2k+2，k则2k+1，0，当k0时，1，当k1时，3，即的最大值为3，故答案为：318在ABC中，BAC=90，AB=33，AC=3，点D在线段BC上，且AD【解答】解：在ABC中，BACtanC=ABAC=3，0C180，C60，在ABD中，由余弦定理有AD2AB2+BD22ABBDcos30，72

25、7+BD29BD，CD1或CD2，BD4或5故答案为：4或519设0，若函数ysinx在区间0，2上恰有两个零点，则的取值范围为 12，1）【解答】解：当x0，2，则x0，2，则f（0）0，要使ysinx在区间0，2上恰有两个零点，则22，得12即的取值范围是12，1故答案为：12，120（压轴）如图，在四边形ABCD中，BAD90，ABC30，AB33，若|BC|4|AD|，ADBC=2，则|AD|1.若点E是线段CD上的动点，则AE【解答】解：由图可知AD与BC的夹角为又|BC|4|AD|，AD则|AD|BC|cos60则|AD|1建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（33，0

26、），D（0，1），C（33+4cos150，4sin150即C（3，2），设E（x，y），则DE=DC，（0即（x，y1）（3，即E（3，+1则AE=（3，+1），BE=（则AEBE=3（3）+（+1）2427+14（-7即当=78时，AE故答案为：1；-33四解答题（共6小题）21在c（cosA+sinA）b，csinB+bcosC=2b，sinB+tanCcosB=2sinABC的内角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，已知 _，c=2，cosB=（1）求cosA的值；（2）求ABC的面积【解答】解：若选：c（cosA+sinA）b，由正弦定理得sinCcosA+sinCsinAsinB

27、，sinBsin（A+C），sinCcosA+sinCsinAsinAcosC+cosAsinC，sinCsinAsinAcosC，sinA0，sinCcosC，tanC1，C（0，），C=（1）cosB=35，B（0，），sinBcosAcos（B+C）sinBsinCcosBcosC=4（2）A（0，），sinA=7由正弦定理得asinA=csinCSABC=12acsinB若选：csinB+bcosC=2b由正弦定理得sinCsinB+sinBcosC=2sinBsinB0，sinC+cosC=2，2sin（C+4即sin（C+4）1，C（0，），C下面步骤同若选：sinB+tanCco

28、sB=2sinA，则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcossin（B+C）=2sinAcosC，sinA=2sinAcossinA0，cosC=22，C（0，），C下面步骤同22在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bsinBasinA+（ca）sinC（）求B的大小；（）若4cosAcosC10，bc1，求ABC的周长【解答】解：（）ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bsinBasinA+（ca）sinC所以：b2a2+（ca）c，整理得：cosB=由于：0B，故：B=（）由（）得：B=另：4cosAcosC10，所以：4cosA所以：cosA(整理得：3sin所以：sin(2解得：A=故：ABC为等边三角形由于：bc1，故abc1，则：三角形的周长为323已知在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且cosC=-14，c（I）求a，b的值以及ABC的面积；（）记AD为A的角平分线且交BC 于D，求AD的值【解答】解：（）ABC中，cosC=