H∞控制器的设计

1、一、Hg控制器的设计(一)七状态反馈控制器设计思路图2-1广义系统针对如上图所示的广义系统，P (s)是一个线性时不变系统，其状态方程可以用下面的式子描述：x = Ax + B 3 + B u1112z - C x + D 3 + D u2-1y-Cx + D 3 + D u其中：x e Rn是状态向量，u g R，是控制输入，y e Rp是测量输出，z g Rr 是被调输出，3 e R4是外部扰动。这里考虑在外部扰动不确定但能量有限的情况 下，设计一个控制器u(s) - K(s)y(s)，使得闭环系统满足：(1)闭环系统内部稳定；(2)从扰动到被调输出的传递函数满足下面的关系：叱(s)12-

2、2满足这样性质的控制器称为系统的一个H s控制器。通过将系统模型中的系数矩阵分别乘以一个适当的常数，可以使得闭环系统 具有给定的H:性能y，即使得忆z( s )| y的H s控制问题转化为使得 Js)| 1的标准Hs控制问题。称具有给定H/性能y的Hs控制器为系统P(s) 的Y -次优Hs控制器。进一步可以通过对y的搜索，可以求取使得闭环系统的扰动抑制度丫最小化的控制器。对于上面给出的系统，令D21、d22为零矩阵，C2为单位阵，那么就形成了一 个状态反馈控制系统。对于这个系统，如果可以设计一个静态反馈控制器u(s) = K(s)x(s)，使得系统闭环稳定，并且满足从扰动到被调输出的传递函数为

3、:忆(s)| 二 |(q + D12K)sI - (A + B12)_iB11 + D1JI 12-3那么，我们称这样的反馈控制器为系统P(s)的一个状态反馈H控制律。 go定理 对于系统P(s)，存在一个状态反馈H /控制器，当且仅当存在一个对 称正定矩阵X和W，使得以下矩阵不等式成立：(C X + D W) tDt11一I2-4AX (C X + D W) tDt11一I2-4 TOC o 1-5 h z 121211Bt-111CX + D2WD11成立，而且，如果上面的矩阵不等式存在一个可行解W *、X *，则有K = W*(X*)-1为系统的状态反馈H控制矩阵。go对于次优控制问题，

4、通产可以进行一下变换:|Tz(s)| V n Y -1Twz(s)| 12-5将原模型中的C. D、D12替换为y-q y-1 % y-1 q，则得到新的状态反 馈次优控制器对应的矩阵不等式：AX + B WAX + B W + (AX + B W) tBt11yfX + D12WB11-Iy-1 D 11y -1( C X + D W) ty -1 Dt11-I2-6为了计算方便，在上式的左右两边分别乘以diagI,I,y I，则得到如下式子:AX + B WAX + B W + (AX + B W) t BBt-111q x + DJD11(C X + D W) tDt11-y 2I02-

5、7求解该不等式即可得到系统状态反馈V-次优Hg控制器求解该不等式，即 可得到系统状态反馈V -次优H控制器。这样，V -次优H控制器存在的条件下(LMI可解)，通过建立和求解以下 优化问题即可得到V -次优Hg控制器：min pAX + B W + (AX + AX + B W + (AX + B W) t12Bt11CX + D W12B11一I(CX + D W)T12D1112Dt1121下面利用状态反馈进行Y -次优H控制器的设计。（二）系统矩阵下面给出系统的各个矩阵:（二）系统矩阵下面给出系统的各个矩阵:C=1000010000-1011C=1000010000-1011001011

6、001211-3112010-1282-132341142,D11,D12243121=021=022（三）仿真结果仿真条件设置：系统的状态初值设置为:X仿真条件设置：系统的状态初值设置为:X0 = 0 0 0 0卜，时间间隔设置为0.01s，共仿真10s，在0.2秒处施加一个o =2 1T的扰动。设置mincx函数的解算精度为1e-5,计算得到系统的反馈控制矩阵:Solver for linear objective minimization under LMI constraintsIterations :Best objective value so far123424.40725452

7、1.995437621.995437.21.995437821.852114921,8521141021.8276141121.8276141221.8179661321.8179661421.8179661521.8167661621.8167661721.816706182L 8166641921.816664202L 8166642121.8166602221.8166552321.8166552421.8166542521.8166542621.8166542721.816654* switching to QR282L 8166542921.816654Result: feasLbl

8、e solut i ontest objective value:21.8L6654f-radi.iis Eaturat ion: 8. 335% of R = L. 00e+09Teiminat ion due t o SLQ-ff PROGRESS:the objective was decr&a.Eed by less than 口口01% during the last 10 it erat ions.flag =1. 0e+08 *-1. 4238-0.8756-0.4070-0. 3349-0.0000-0.0000-o.oaoo-o.oaoo1. 0e+07 *3.5792-0.

9、90030. 0017-2.2852-0.90031.6995-0.77930. 18940.0017-0.77931. 66460.6700-2.28520. 18940.67002.S9051. 0e-b07*-4.29750.2094-L. 2U82.37600. 2094-0. 39020.70050. 622S-1. 24480.7005-1. 3277-O.77292.37000.5228-0.7729-2. 3661-1. 5074-1. 30SF-L. 372C0. 03420. 1663-0.525S0.02320. 3760-0.9937-0.2690-0.5579-0. 90610.5S5S0. 74730.0526-0. 4166ron =4=. 6708I在上面的仿真结果中，flag同EVP问题中的flag 一样，都是X, W是否是系 统的解得标志。仿真结果中flag负定，说明X,W是系统的解。这样就求得了系统 的状态反馈控制矩阵。下面给出闭环系统的仿真结果：图2-2 0.2秒处加入脉冲干扰后的系统状态变量的响应曲线当取二sin(nT) cos(2 nT) F (T = 0.01,20 n